Lemat o normalizacji Noether

W matematyce lemat o normalizacji Noether jest wynikiem algebry przemiennej wprowadzonej przez Emmy Noether w 1926 r. Stwierdza on, że dla dowolnego ciała k i dowolnej skończenie generowanej przemiennej k -algebry A istnieje nieujemna liczba całkowita d i algebraicznie niezależna elementy y ₁ , y ₂ , ..., y _d w A taki, że A jest skończenie generowanym modułem na pierścieniu wielomianu S = k [ y ₁ , y ₂ , ..., y _d ].

liczba całkowita d jest jednoznacznie określona; jest to wymiar Krulla pierścienia A . Gdy A jest dziedziną całkową , d jest również stopniem transcendencji pola ułamków A nad k .

Twierdzenie ma geometryczną interpretację. Załóżmy, że A jest całkowe. Niech S będzie pierścieniem współrzędnych d -wymiarowej przestrzeni afinicznej i niech A będzie pierścieniem współrzędnych jakiejś innej d -wymiarowej rozmaitości afinicznej X ZA $}}$ . Wtedy mapa inkluzji S → A indukuje surjektywny skończony morfizm rozmaitości afinicznych ${\ Displaystyle X \ do \ mathbb {A} _ {k} ^ {d}}$ . Wniosek jest taki, że każda odmiana afiniczna jest rozgałęzionym pokryciem przestrzeni afinicznej. Gdy k jest nieskończone, taka rozgałęziona mapa pokrywająca może być skonstruowana przez wykonanie rzutu ogólnego z przestrzeni afinicznej zawierającej X do d -wymiarowej podprzestrzeni.

Bardziej ogólnie, w języku schematów, twierdzenie można równoważnie sformułować następująco: każdy afiniczny k -schemat (typu skończonego) X jest skończony w afinicznej n -wymiarowej przestrzeni. Twierdzenie można udoskonalić, aby obejmowało łańcuch ideałów R (równoważnie domkniętych podzbiorów X ), które są skończone w podprzestrzeniach afinicznych współrzędnych o odpowiednich wymiarach.

Podana powyżej postać lematu normalizacyjnego Noether może być wykorzystana jako ważny krok w udowodnieniu Nullstellensatz Hilberta . Daje to dalsze znaczenie geometryczne, przynajmniej formalnie, ponieważ Nullstellensatz leży u podstaw rozwoju większości klasycznej geometrii algebraicznej . Twierdzenie to jest również ważnym narzędziem w ustalaniu pojęć wymiaru Krulla dla k -algebr.

Dowód

Poniższy dowód pochodzi od Nagaty i pochodzi z czerwonej księgi Mumforda. Dowód w geometrycznym smaku jest również podany na stronie 127 czerwonej księgi iw tym wątku Mathoverflow .

Pierścień A w lemacie jest generowany jako k -algebra przez elementy, powiedzmy ${\ displaystyle y_ {1}, ..., y_ {m}}$ . Indukujemy na m . Jeśli ${\ displaystyle m = 0}$ , to twierdzenie jest trywialne. Załóżmy teraz ${\ displaystyle m> 0}$ . Wystarczy pokazać, że istnieje podpierścień S z A , który jest generowany przez ${\ displaystyle m-1}$ elementy takie, że A jest skończone nad S. Rzeczywiście, na podstawie hipotezy indukcyjnej możemy znaleźć algebraicznie niezależne elementy $..., x_ {d}}$ , S takie, że jest skończony nad ${\ Displaystyle k [x_ {1}, ..., x_ {d}]$ }

Ponieważ w przeciwnym razie nie byłoby niczego do udowodnienia, możemy również założyć, że istnieje niezerowy wielomian f w m zmiennych nad k taki, że

{\ Displaystyle f (y_ {1}, \ ldots, y_ {m}) = 0}

.

Biorąc pod uwagę liczbę całkowitą r , która zostanie określona później, ustaw

{\ Displaystyle z_ {i} = y_ {i} -y_ {1} ^ {r ^ {i-1}}, \ quad 2 \ równoważnik ja \ równoważnik m.}

Następnie poprzedni brzmi:

{\ Displaystyle f (y_ {1}, z_ {2} + y_ { 1}^{r},z_{3}+y_{1}^{r^{2}},\ldots ,z_{m}+y_{1}^{r^{m-1}})=0 }

.

Teraz, jeśli ${\ Displaystyle ay_ {1} ^ {\ alfa _ {1}} \ prod _ {2} ^ {m} (z_{i}+y_{1}^{r^{i-1}})^{\alpha _{i}}} jest jednomianem występującym$ po lewej stronie powyższego równania, ze współczynnikiem ${\ Displaystyle a \ in k}$ , najwyższy termin w ${\ Displaystyle y_ {1}}$ po rozwinięciu wygląda produkt

{\ Displaystyle ay_ {1} ^ {\ alfa _ {1} + r \ alfa _ {2} + \ cdots + \ alfa _ {m} r ^ {m-1}}.}

zgadza się z najwyższym $wykładnikiem$ $wyraz$ przez inny jednomian, możliwe jest, że ${\ Displaystyle f (y_ {1}, z_ {2} + y_ {1} ^ {r}, z_ {3} + y_ {1} ^ {r ^ {2}}, ..., z_ {m}+y_{1}^{r^{m-1}})}$ nie będzie miało powyższej formy, ponieważ anulowanie może mieć na nie wpływ. Jeśli jednak r jest większe niż jakikolwiek wykładnik występujący we f , to każdy ${\ Displaystyle \ alpha _ {1} + r \ alpha _ {2} + \ cdots +\alpha _{m}r^{m-1}}$ koduje unikalną podstawę r numer, więc tak się nie dzieje. Zatem ${\ Displaystyle y_ {1}}$ jest całką po $m}]}$ . Ponieważ ${\ Displaystyle y_ {i} = z_ {i} + y_ {1} ^ {r ^ {i-1}}} są$ również całkowe na tym pierścieniu, A jest całka nad S. _ Wynika z tego że A jest skończone nad S, a ponieważ S jest generowane przez m-1 elementów, hipoteza indukcyjna jest skończona.

Jeśli A jest dziedziną integralną, to d jest stopniem transcendencji jego pola ułamków. Rzeczywiście, A i $y_ {d}]}$ mają ten sam stopień transcendencji (tj. stopień pola ułamków), ponieważ pole ułamków A jest algebraiczny nad S (ponieważ A jest całką po S ) i S ma stopień transcendencji d . Zatem pozostaje pokazać, że wymiar Krulla pierścienia wielomianowego S wynosi d . $Jest$ również konsekwencją teorii wymiarów ). Indukujemy na re , przy czym przypadek jest trywialny. Ponieważ ${\ Displaystyle 0 \ subsetneq (y_ {1}) \ subsetneq (y_ {1}, y_ {2}) \ subsetneq \ cdots \ subsetneq (y_ {1}, \ kropki, y_ {d})}$ jest łańcuchem ideałów pierwszych, wymiar wynosi co najmniej d . Aby uzyskać odwrotne oszacowanie, niech ${\ Displaystyle 0 \ subsetneq {\ mathfrak {p}} _ {1} \ subsetneq \ cdots \ subsetneq {\ mathfrak {p}} _ {m}}$ być łańcuchem ideałów pierwszych. Niech ${\ Displaystyle 0 \ neq u \ w {\ mathfrak {p}} _ {1}}$ . Stosujemy $_$ _ możemy wybrać pierwszą zmienną) tak, że S jest całkowalne po T . Zgodnie z hipotezą indukcyjną ma wymiar d - 1. Przez nieporównywalność , ${\ Displaystyle T / (u)}$ ${\ Displaystyle {\ mathfrak {p}} _ {i} \ cap T}$ jest łańcuchem o długości ${\ Displaystyle m}$ , a następnie w ${\ Displaystyle T / ({\ mathfrak {p}} _ {1} \ cap T)}$ staje się łańcuchem o długości ${\ displaystyle m-1}$ . Ponieważ ${\ Displaystyle \ operatorname {dim} T / ({\ mathfrak {p}} _ {1} \ cap T) \ równoważnik \ operatorname {dim} T/ (u)} ,$ mamy ${\ Displaystyle m-1 \ równoważnik d-1}$ . Stąd ${\ Displaystyle \ dim S \ równoważnik d}$ .

Udoskonalenie

W książce Eisenbuda, która opiera się na pomyśle Nagaty, pojawia się następujące udoskonalenie:

Twierdzenie - Niech A będzie ${\ Displaystyle \ nazwa operatora {dim} (A / I_ {i}) = d_ {i}> d_ {i + 1}.}$ $będzie$ polu k i łańcuchem ideałów Wtedy istnieją algebraicznie niezależne elementy y ₁ , ..., y _d w A takie, że

A jest skończenie generowanym modułem nad wielomianowym podpierścieniem S = k [ y ₁ , ..., y _d ].
${\ Displaystyle I_ {i} \ czapka S = (y_ {d_ {i} + 1}, \ kropki, y_ {d})}$ .
Jeśli $.$ są jednorodne, to y _{ja można} za jednorodne

Co więcej, jeśli k jest polem nieskończonym, to każdy wystarczająco ogólny wybór y _I ma powyżej Własność 1 („wystarczająco ogólny” jest sprecyzowany w dowodzie).

$→$ ${\ Displaystyle \ mathbf {A} ^ {m} \ do \ mathbf {A} ^ {d}}$ ostatnia część twierdzenia mówi ogólnego indukuje skończony morfizm ${\ Displaystyle X \ do \ mathbf {A} ^ {d}}$ (por. dioda); oprócz Eisenbuda zob. także [1] .

Wniosek — Niech A będzie dziedziną całkową, która jest skończenie generowaną algebrą na polu. Jeśli jest ideałem pierwszym A , to ${\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}$

{\ Displaystyle \ dim A = \ nazwa operatora {wysokość} {\ mathfrak {p}} + \ dim A / {\ mathfrak {p}}}

.

W szczególności wymiar Krulla lokalizacji A w dowolnym ideale maksymalnym jest słaby A .

Wniosek — Niech będą $są skończenie$ na polu. Następnie

{\ Displaystyle \ dim B = \ dim A + \ operatorname {tr.deg} _ {Q (A)} Q (B)}

(specjalny przypadek wzoru na wysokość Nagaty ).

Przykładowe zastosowanie: ogólna swoboda

Dowód ogólnej swobody (stwierdzenie później) ilustruje typowe, ale nietrywialne zastosowanie lematu o normalizacji. Ogólna swoboda mówi: niech $pierścieniami$ takimi, że jest $domeną całkową noetherowską$ załóżmy, że istnieje homomorfizm pierścieni, który $displaystyle A \ do B}$ wykazuje $.$ $skończenie$ algebrę nad Potem jest trochę ${\ Displaystyle 0 \ neq g \ w A}$ takie, że ${\ Displaystyle B [g ^ {-1}]}$ jest wolnym ${\ Displaystyle A [ g^{-1}]}$ -moduł.

Niech będzie polem ułamkowym ${\$ $A}$ . Argumentujemy $indukcję$ wymiarze Podstawowy przypadek ma miejsce, gdy wymiar Krulla wynosi ${\ displaystyle - \ infty}$ ; tj. ${\ Displaystyle F \ czasami _ {A} B = 0}$ . To znaczy, że istnieje jakieś ${\ Displaystyle 0 \ neq g \ in A}$ ${\ Displaystyle B [g ^ {-1}]}$ , że ${\ displaystyle gB = 0}$ ${\ Displaystyle A [g ^ {- 1}]}$ tak jest wolny jako -moduł. $przypadku$ kroku indukcyjnego zauważ $jest$ generowaną . Stąd, na mocy lematu o normalizacji Noether, ${\ Displaystyle F \ otimes _ {A} B}$ zawiera algebraicznie niezależne elementy takie, $\ Displaystyle F \ otimes _ {A} B}$ x $}$ $}$ jest skończony na pierścieniu wielomianu ${\ Displaystyle F [x_ {1}, \ kropki, x_ {d}]}$ . Mnożenie każdego ${\ Displaystyle x_ {i}}$ $na$ podstawie elementów możemy założyć, że $B$ { $displaystyle B$ . Rozważamy teraz:

{\ Displaystyle A': = A [x_ {1}, \ kropki, x_ {d}] \ do B.}

${\ displaystyle A'}$ być tak, że $jest$ skończony nad . Ale tak będzie po odwróceniu pojedynczego elementu w następujący sposób. Jeśli jest elementem $,$ ${\ Displaystyle B}$ to jako element jest całkowy po fa ⊗ ZA { $A} B} ,$ ${\ Displaystyle F [x_ {1}, \ kropki, x_ {d}]}$ ; tj. ${\ Displaystyle b ^ {n} + a_ {1} b ^ {n-1} + \ kropki + a_ {n} = 0}$ dla niektórych ${\ Displaystyle a_ {i}}$ w ${\ Displaystyle F [x_ {1}, \ kropki, x_ {d}]}$ . Zatem pewne ${\ Displaystyle 0 \ neq g \ w A}$ zabija wszystkie mianowniki współczynników za $\ Displaystyle a_ {i}}$ , więc ${\ Displaystyle b}$ jest całką po ${\ Displaystyle A'[g^{-1}]}$ . Wybierając kilka skończenie $-algebrę$ generatorów jako i stosując tę obserwację do każdego generatora, znajdujemy kilka ${\ displaystyle A'}$ ${\ Displaystyle 0 \ neq g \ w A}$ takie, że ${\ Displaystyle B [g ^ {-1}]}$ jest całkowe (a więc skończone) po ${\ Displaystyle A'[g^{-1}]}$ . ${\ Displaystyle B, A}$ przez $B [g ^ {- 1}], A [g ^ {- 1}]}$ Displaystyle a następnie możemy założyć, że jest skończony nad $′$ ${1}, \ kropki, x_ {d}] }$ . Aby zakończyć, rozważ skończoną filtrację ${\ Displaystyle B = B_ {0} \ supset B_ {1} \ supset B_ {2} \ supset \ cdots \ supset B_ { r}}$ autorstwa ${\ Displaystyle A'}$ -submoduły takie, że ${\ Displaystyle B_ {i} / B_ {i + 1} \ simeq A '/ {\ mathfrak {p}} _ {i}}$ dla ideałów pierwszych $)$ filtracja istnieje w teorii powiązanych liczb pierwszych . dla każdego ja , jeśli ${\ Displaystyle {\ mathfrak {p}} _ {i} \ neq 0}$ sol ${\ Displaystyle g_ {i} \ neq 0}$ $'/$ , { $A}$ ${\ Displaystyle A [g_ {i} ^ {-1}]}$ jako - moduł, podczas gdy ${\ displaystyle A'}$ jest pierścieniem wielomianowym, a więc wolnym. Stąd sol $\ Displaystyle g = g_ {0} \ cdots g_ {r}}$ , ${\ Displaystyle B [g ^ {-1}]}$ jest wolnym modułem nad ${\ Displaystyle A [g ^ {- 1}]}$ . ${\ Displaystyle \ kwadrat}$