Rozgałęzione pokrycie

W matematyce pokrycie rozgałęzione to mapa, która jest prawie mapą pokrywającą , z wyjątkiem małego zestawu.

W topologii

W topologii mapa jest pokryciem rozgałęzionym, jeśli jest to mapa pokrywająca wszędzie z wyjątkiem zbioru nigdzie gęstego, zwanego zbiorem rozgałęzień. Przykłady obejmują mapę od klina okręgów do pojedynczego okręgu, gdzie mapa jest homeomorfizmem na każdym okręgu.

W geometrii algebraicznej

W geometrii algebraicznej termin pokrycie rozgałęzione $używany$ do opisania morfizmów $oba$ odmiany algebraicznej do innej , $przy czym$ wymiary są same, a typowe włókno z wymiaru 0 fa $\ displaystyle f} .$

$displaystyle f}$ takim przypadku będzie otwarty zbiór (dla topologii Zariskiego $) ,$ który jest gęsty w taki sposób że ograniczenie $displaystyle$$}$$W$ do ${\ Displaystyle W '}$ (od ${\ Displaystyle V '= f ^ {- 1} (W')}$ do ${\ Displaystyle W'}$ , czyli) jest nierozgałęziony . W zależności od kontekstu, możemy przyjąć to jako lokalny homeomorfizm dla silnej topologii , nad liczbami zespolonymi , lub ogólnie jako morfizm étale (przy niektórych nieco mocniejszych hipotezach dotyczących płaskości i separowalności ). Generalnie więc morfizm taki przypomina przestrzeń nakrywającą w sensie topologicznym. Na przykład, jeśli oba są zwartymi powierzchniami Riemanna , wymagamy tylko, aby $były$$istnieje$$były$ skończony zbiór $. \displaystyle P}$ z $W$ , poza którym znajdujemy uczciwe pokrycie

${\ Displaystyle V '\ do W'}$ .

Miejsce rozgałęzienia

Zbiór wyjątkowych punktów na $)$$jest$ miejscem rozgałęzienia ( tj Jest to dopełnienie największego możliwego zbioru otwartego Ogólnie monodromia występuje zgodnie z podstawową grupą działającą na $arkusze pokrycia (ten obraz topologiczny można uściślić$ również przypadku ogólnego pola bazowego)

Rozszerzenia Kummera

Pokrycia rozgałęzione są łatwo konstruowane jako rozszerzenia Kummera , tj. jako algebraiczne rozszerzenia pola funkcyjnego . Krzywe hipereliptyczne są przykładami prototypowymi.

Nierozgałęzione pokrycie

Nierozgałęzione pokrycie jest zatem występowaniem pustego miejsca rozgałęzienia.

Przykłady

Krzywa eliptyczna

Morfizmy krzywych dostarczają wielu przykładów pokrycia rozgałęzionego. Na przykład niech C będzie eliptyczną krzywą równania

${\ Displaystyle y ^ {2} -x (x-1) (x-2) = 0.}$

Rzut C na oś x jest rozgałęzionym pokryciem z miejscem rozgałęzienia określonym przez

${\ Displaystyle x (x-1) (x-2) = 0.}$

Dzieje się tak, ponieważ dla tych trzech wartości x włókno jest podwójnym punktem $dla$ innej wartości x włókno składa się z dwóch różnych punktów (na algebraicznie pole zamknięte ).

Ta projekcja indukuje algebraiczne rozszerzenie stopnia drugiego pól funkcyjnych : Ponadto, jeśli weźmiemy pola ułamkowe leżących u ich podstaw pierścieni przemiennych, otrzymamy morfizm

${\ Displaystyle \ mathbb {C} (x) \ do \ mathbb {C} (x) [y]/(y^{2}-x(x-1)(x-2))}$

Stąd ta projekcja jest pokryciem rozgałęzionym stopnia 2. Można to ujednolicić, aby skonstruować rozgałęzione pokrycie stopnia 2 odpowiedniej rzutowej krzywej eliptycznej do linii rzutowej.

Płaska krzywa algebraiczna

Poprzedni przykład można uogólnić na dowolną algebraiczną krzywą płaszczyzny w następujący sposób. Niech C będzie płaską krzywą zdefiniowaną równaniem f ( x , y ) = 0 , gdzie f jest rozdzielnym i nierozkładalnym wielomianem w dwóch nieoznaczonych. Jeśli n jest stopniem f w y , to włókno składa się z n różnych punktów, z wyjątkiem skończonej liczby wartości x . Zatem ta projekcja jest rozgałęzionym pokryciem stopnia n .

Wyjątkowe wartości x $to$ pierwiastki w i pierwiastki dyskryminatora f względem y .

Nad pierwiastkiem r dyskryminatora znajduje się co najmniej punkt rozgałęziony, który jest albo punktem krytycznym , albo punktem osobliwym . Jeśli r jest również pierwiastkiem współczynnika $,$ f to ten rozgałęziony punkt znajduje się „ w ” .

Nad pierwiastkiem s współczynnika $C$ , krzywa ma nieskończoną gałąź, a włókno w s ma mniej niż n . Jeśli jednak rozciągniemy projekcję na rzutowe uzupełnienia C i oś x , a s nie jest pierwiastkiem dyskryminatora, projekcja staje się pokryciem otoczenia s .

Fakt, że ta projekcja jest rozgałęzionym pokryciem stopnia n, można również zobaczyć, rozważając pola funkcyjne . W rzeczywistości rzut ten odpowiada rozszerzeniu pola o stopień n

${\ Displaystyle \ mathbb {C} (x) \ do \ mathbb {C} (x) [y] / f (x, y).}$

Różne konsekwencje

Możemy również uogólnić rozgałęzione pokrycia linii o różnych stopniach rozgałęzienia. Rozważmy wielomian postaci

${\ Displaystyle f (x, y) = g (x)}$

gdy wybieramy różne punkty $($ włókna podane przez znikające miejsce $alfa )}$${\ Displaystyle f (\ alfa, y)$ różnią się. $czynniki$ którym krotność jednego z członów liniowych jeden rozgałęzienie.

Teoretyczne przykłady schematów

Krzywe eliptyczne

Morfizmy krzywych dostarczają wielu przykładów rozgałęzionych pokrycia schematów. Na przykład morfizm z afinicznej krzywej eliptycznej do linii

${\ Displaystyle {\ tekst {Spec}} \ lewo ({\ mathbb { C} [x,y]}/{(y^{2}-x(x-1)(x-2)}\right)\to {\text{Spec}}(\mathbb {C} [x] )}$

jest rozgałęzioną osłoną z miejscem rozgałęzienia określonym przez

${\ Displaystyle X = {\ tekst {Spec}} \ lewo ({\ mathbb {C} [x]} / { (x(x-1)(x-2))}\prawo)}$

Dzieje się tak, ponieważ w dowolnym punkcie włókno $X$ { $displaystyle X}$

${\ Displaystyle {\ tekst {Spec}} \ lewo ({\ mathbb {C} [y]} / {(y ^ {2})} \ prawej)}$

Ponadto, jeśli weźmiemy pola ułamkowe leżących u ich podstaw pierścieni przemiennych, otrzymamy homomorfizm pola

${\ Displaystyle \ mathbb {C} (x) \ do {\ mathbb {C} ( x)[y]}/{(y^{2}-x(x-1)(x-2))},}$

co jest algebraicznym rozszerzeniem stopnia drugiego; stąd otrzymaliśmy rozgałęzione pokrycie 2 stopnia krzywej eliptycznej do linii afinicznej. Można to ujednolicić, aby skonstruować morfizm rzutowej krzywej eliptycznej do ${\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {1}}$ .

Krzywa hipereliptyczna

Krzywa hipereliptyczna zapewnia uogólnienie powyższego stopnia $displaystyle$ linii afinicznej, biorąc pod uwagę schemat afiniczny zdefiniowany przez wielomian postaci do $\ mathbb {C}}$

${\ Displaystyle y ^ {2} - \ prod (xa_ {i})}$ gdzie $\ Displaystyle a_ {i} \ neq a_ {j}}$ dla ${\ Displaystyle i \ neq j}$

Pokrycia wyższego stopnia linii afinicznej

Możemy uogólnić poprzedni przykład, biorąc morfizm

${\ Displaystyle {\ tekst {Spec}} \ lewo ({\ Frac {\ mathbb {C} [x,y]}{(f(y)-g(x))}}\right)\to {\text{Spec}}(\mathbb {C} [x])}$

gdzie ${\ Displaystyle g (x)}$ nie ma powtarzających się korzeni. Wtedy miejsce rozgałęzienia jest dane przez

${\ Displaystyle X = {\ tekst {Spec}} \ lewo ({\ Frac {\ mathbb {C} [x]} {(f (x)) }}\Prawidłowy)}$

gdzie włókna są podane przez

${\ Displaystyle {\ tekst {Spec}} \ lewo ({\ Frac {\ mathbb {C} [y]} {(f (y))}} \ prawo )}$

Otrzymujemy wtedy indukowany morfizm ciał ułamkowych

${\ Displaystyle \ mathbb {C} (x) \ do {\ Frac {\ mathbb {C} (x) [y ]}{(f(y)-g(x))}}}$

Istnieje izomorfizm modułu celu z do $mathbb {C} (x)}$

${\ Displaystyle \ mathbb {C} (x) \ oplus \ mathbb {C} (x) \ cdot y\oplus \cdots \oplus \mathbb {C} (x)\cdot y^{{\text{stopień}}(f(y))}}$

Stąd okładka ma stopień $\ Displaystyle {\ tekst {stopni}} (f)}$ .

Krzywe supereliptyczne

Krzywe supereliptyczne są uogólnieniem krzywych hipereliptycznych i specjalizacją poprzedniej rodziny przykładów, ponieważ są one podane przez schematy afiniczne z wielomianów postaci ${\ Displaystyle X/\ mathbb {C}}$

${\ Displaystyle y ^ {k} -f (x)}$ gdzie ${\ Displaystyle k> 2}$ i ${\ Displaystyle f (x)}$ nie ma powtarzających się korzeni.

Rozgałęzione pokrycia przestrzeni projekcyjnej

Inna użyteczna klasa przykładów pochodzi z rozgałęzionych pokrycia przestrzeni rzutowej. $_$ jednorodny _ ${\ Displaystyle \ mathbb {P} ^ {n}}$ z miejscem rozgałęzienia

${\ Displaystyle {\ tekst {Proj}} \ lewo ({\ Frac {\ mathbb {C} [x_ {0}, \ ldots, x_ {n }]}{f(x)}}\prawo)}$

rozważając morfizm schematów rzutowych

${\ Displaystyle {\ tekst {Proj}} \ lewo ({\ Frac {\ mathbb {C} [x_{0},\ldots,x_{n}][y]}{y^{{\text{stopień}}(f)}-f(x)}}\right)\do \mathbb {P} ^{n}}$

Ponownie będzie to pokrycie stopnia $\ Displaystyle {\ tekst {stopni}} (f)}$ .

Aplikacje

Rozgałęzione pokrycia pochodzą z grupą symetrii przekształceń do ${\ displaystyle$$C \$ . Ponieważ grupa symetrii ma stabilizatory w punktach miejsca rozgałęzienia, rozgałęzione pokrycia można wykorzystać do skonstruowania przykładów orbifoldów lub stosów Deligne-Mumford .

Zobacz też

• Morfizm Étale
• Orbifold
• Stos (matematyka)

•   Dimca, Alexandru (1992), Osobliwości i topologia hiperpowierzchni , Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-97709-6
•     Hartshorne, Robin (1977), Geometria algebraiczna , Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90244-9 , MR 0463157 , OCLC 13348052
• Osserman, Brian, Rozgałęzione okładki sfery Riemanna (PDF)