Stos (matematyka)

W matematyce stos lub 2-snop to, z grubsza mówiąc, snop , który przyjmuje wartości w kategoriach , a nie w zbiorach. Stosy są używane do sformalizowania niektórych głównych konstrukcji teorii pochodzenia oraz do konstruowania stosów drobnych modułów, gdy nie istnieją przestrzenie drobnych modułów .

Teoria pochodzenia dotyczy uogólnień sytuacji, w których izomorficzne , kompatybilne obiekty geometryczne (takie jak wiązki wektorów w przestrzeniach topologicznych ) można „skleić” w ramach ograniczeń podstawy topologicznej. W bardziej ogólnym układzie ograniczenia są zastępowane wycofaniami ; kategorie włókien następnie stwórz dobre ramy do przedyskutowania możliwości takiego sklejenia. Intuicyjne znaczenie stosu polega na tym, że jest to kategoria włókien, w której „działają wszystkie możliwe klejenia”. Specyfikacja klejeń wymaga określenia pokryć, w odniesieniu do których można rozpatrywać klejenia. Okazuje się, że ogólnym językiem opisującym te pokrycia jest topologia Grothendiecka . W ten sposób stos jest formalnie podawany jako kategoria włóknista na innej bazie kategorii, gdzie baza ma topologię Grothendiecka, a kategoria włóknista spełnia kilka aksjomatów zapewniających istnienie i niepowtarzalność pewnych sklejeń względem topologii Grothendiecka.

Przegląd

Stosy są podstawową strukturą stosów algebraicznych (zwanych również stosami Artina) i stosów Deligne-Mumforda, które uogólniają schematy i przestrzenie algebraiczne i które są szczególnie przydatne w badaniu przestrzeni modułowych . Istnieją inkluzje:

schematy ⊆ przestrzenie algebraiczne ⊆ stosy Deligne’a-Mumforda ⊆ stosy algebraiczne (stosy Artina) ⊆ stosy.

Edidin (2003) i Fantechi (2001) podają krótkie wstępne opisy stosów, Gómez (2001) , Olsson (2007) i Vistoli (2005) podają bardziej szczegółowe wprowadzenie, a Laumon i Moret-Bailly (2000) opisują bardziej zaawansowaną teorię .

Motywacja i historia

La wniosku pratique à laquelle je suis arrivé dès maintenant, c'est que chaque fois que en vertu de mes critères, une variété de Modules (ou plutôt, un schéma de module) pour la klasyfikacji desvariations (globales, ou infinitésimales) de surees struktury (variétés complètes non singulières, fibrés vectoriels itp.) ne peut egzystencja, malgré de bonnes hypothèses de fratitude, propreté, et non singularité éventuellement, la raison en est seulement l'existence d'automorphismes de la structure qui empêche la technika de zejście z marszu.

List Grothendiecka do Serre'a, 5 listopada 1959 r.

Pojęcie stosów ma swój początek w definicji efektywnych danych zejścia w Grothendieck (1959) . W liście do Serre'a z 1959 roku Grothendieck zauważył, że podstawową przeszkodą w konstruowaniu dobrych przestrzeni modułowych jest istnienie automorfizmów. Główną motywacją dla stosów jest to, że jeśli przestrzeń modułów dla jakiegoś problemu nie istnieje z powodu istnienia automorfizmów, nadal może być możliwe zbudowanie stosu modułów .

Mumford (1965) badał grupę Picarda stosu modułów krzywych eliptycznych , zanim stosy zostały zdefiniowane. Stosy zostały po raz pierwszy zdefiniowane przez Girauda ( 1966 , 1971 ), a termin „stos” został wprowadzony przez Deligne i Mumford (1969) dla oryginalnego francuskiego terminu „champ” oznaczającego „pole”. W tym artykule wprowadzili również stosy Deligne-Mumforda , które nazwali stosami algebraicznymi, chociaż termin „stos algebraiczny” obecnie zwykle odnosi się do bardziej ogólnych stosów Artina wprowadzonych przez Artina ( 1974 ).

Podczas definiowania ilorazów schematów za pomocą działań grupowych często niemożliwe jest, aby iloraz był schematem i nadal spełniał pożądane właściwości ilorazu. Na przykład, jeśli kilka punktów ma nietrywialne stabilizatory, to iloraz kategoryczny nie będzie istniał między schematami, ale będzie istniał jako stos.

W ten sam sposób przestrzenie modułów krzywych, wiązek wektorowych lub innych obiektów geometrycznych są często najlepiej definiowane jako stosy zamiast schematów. Konstrukcje przestrzeni modułów często polegają najpierw na konstruowaniu większej przestrzeni parametryzującej przedmiotowe obiekty, a następnie ilorazowaniu przez działanie grupowe w celu uwzględnienia obiektów z automorfizmami, które zostały przeliczone.

Definicje

Streszczenie stosy

Kategoria z funktorem do kategorii nazywana jest $}$ $displaystyle$ nad $,$ $jeśli$ dla dowolnego morfizmu $F: X \$ Y w do {\ $displaystyle c}$ $C}$ i dowolnym obiekcie $\$ obrazem do $\ displaystyle y} do {$ (pod funktorem) następuje wycofanie przez ${\ displaystyle f: x \ do y}$ z $\ displaystyle$ $y}$ . $: z \ do y$ to morfizm z obrazem $obrazem$ , że każdy morfizm może $\ Displaystyle$ g rozłożone jako ${\ Displaystyle g = f \ circ h}$ przez unikalny morfizm ${\ displaystyle h: z \ do x}$ w do $\ displaystyle c}$ tak, że funktor odwzorowuje ${\ displaystyle h}$ na ${\ Displaystyle H}$ . Element $\ Displaystyle x = F ^ {*} y}$ ${\ Displaystyle y}$ nazywany jest wycofaniem y wzdłuż ${\ displaystyle F}$ i jest unikalny aż do izomorfizmu kanonicznego.

Kategoria c nazywana jest stosem wstępnym nad kategorią C z topologią Grothendiecka , jeśli jest okablowana po C i dla dowolnego obiektu U z C i obiektów x , y z c z obrazem U , funktor z nad kategorią C/U do zbiorów biorąc F : V → U do Hom( F * x , F * y ) jest snopem. Ta terminologia nie jest zgodna z terminologią dotyczącą krążków: stosy wstępne są raczej odpowiednikami oddzielnych krążków wstępnych niż krążków wstępnych. Niektórzy autorzy wymagają tego jako właściwości stosów, a nie stosów wstępnych.

Kategoria c nazywana jest stosem nad kategorią C z topologią Grothendiecka, jeśli jest stosem wstępnym nad C i każdy układ odniesienia zejścia jest skuteczny. Układ odniesienia składa się z grubsza z pokrycia obiektu V z C przez rodzinę V _i , elementy x _i we włóknie nad V _i oraz morfizmy f _ji między ograniczeniami xi _i x _j do V _ij = V _ja × _V V _j spełniający warunek zgodności f _ki = f _kj fa _ji . Układ odniesienia nazywamy efektywnym , jeśli elementy x _i są zasadniczo wycofaniami elementu x z obrazem V .

Stos nazywany jest stosem w groupoidach lub (2,1)-snopem, jeśli jest również włóknisty w groupoidach, co oznacza, że jego włókna (odwrotne obrazy obiektów C ) są grupoidami. Niektórzy autorzy używają słowa „stos” w odniesieniu do bardziej restrykcyjnego pojęcia stosu w groupoidach.

Stosy algebraiczne

Stos algebraiczny lub stos Artina to stos w groupoidach X nad miejscem fppf, tak że ukośna mapa X jest reprezentatywna i istnieje gładka surjekcja od (stosu powiązanego z) schematem do X. Morfizm Y ${\ displaystyle \rightarrow }$ X stosów jest reprezentowalnych , jeśli dla każdego morfizmu $($ od stosu powiązanego z) schematem do X produkt włóknisty Y × _X S jest izomorficzny z (stos związany z) przestrzenią algebraiczną . Iloczyn włókien stosów jest definiowany przy użyciu zwykłej uniwersalnej właściwości i zmieniając wymaganie, aby diagramy dojeżdżały do wymogu, aby były 2-komutujące. Zobacz także morfizm stosów algebraicznych w celu uzyskania dalszych informacji.

Motywacja reprezentowalności przekątnej jest następująca: morfizm przekątnej jest następujący: morfizm przekątnej ${\ Displaystyle \ Delta: {\ mathfrak {X}} \ do {\ mathfrak {X}} \ razy {\ mathfrak { X}}} jest reprezentowalny wtedy i tylko wtedy$ $mathfrak {$ dowolnej pary morfizmów przestrzeni algebraicznych produkt włóknisty $}}}$ jest reprezentowalne.

Deligne'a -Mumforda jest stosem algebraicznym X takim, że istnieje surjekcja étale ze schematu do X . Z grubsza mówiąc, stosy Deligne'a-Mumforda można traktować jako stosy algebraiczne, których obiekty nie mają nieskończenie małych automorfizmów.

Struktura lokalna stosów algebraicznych

Od początku stosów algebraicznych oczekiwano, że są to lokalnie ilorazowe stosy postaci ${\ Displaystyle [{\ tekst {Spec}} (A) / G]}$ gdzie ${\ displaystyle G }$ jest liniowo redukcyjną grupą algebraiczną . Niedawno okazało się, że tak jest: biorąc pod uwagę quasi-rozdzielony stos algebraiczny $lokalnie$ typu skończonego na algebraicznie zamkniętym polu $displaystyle k}$ którego stabilizatory są pokrewne i gładki i zamknięty punkt z liniowo redukcyjną grupą stabilizatorów , ${\ mathfrak {X}} (k)$ $\ Displaystyle$ } istnieje etale pokrycie ilorazu GIT ${\ Displaystyle (U, u) \ do (N_ {x} // G_ {x}, 0)}$ , gdzie ${\ Displaystyle N_ {x} = (J_ {x} / J_ {x} ^ {2}) ^ {\ vee}}$ tak, że diagram

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {macierz} ([W /G_{x}],w)&\do &([N_{x}/G_{x}],0)\\\strzałka w dół &&\strzałka w dół \\(U,u)&\do &(N_{x }//G_{x},0)\end{macierz}}}$

jest kartezjański i istnieje morfizm etale

${\ Displaystyle f: ([W / G_ {x}], w) \ do ({\ mathfrak {X}}, x)}$

wywołując izomorfizm grup stabilizatorów w $displaystyle$ x $x}$ .

Przykłady

Elementarne przykłady

Każdy snop z kategorii z topologią Grothendiecka można kanonicznie przekształcić w snopek z kategorii ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}: C ^ {op}$ $to$ stos. Dla obiektu ${\ Displaystyle X \ w {\ tekst {Ob}} (C)}$ zamiast zestawu fa $\ Displaystyle {\ mathcal {F}} (X)}$ jest groupoidem, którego obiektami są elementy ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} (X)}$ a strzałki to morfizm tożsamości.
Konkretniej, niech $kontrawariantnym$ funktorem

${\ Displaystyle h: (Sch / S) ^ {op} \ do zestawów}$

Następnie ten funktor określa następującą kategorię

{\ displaystyle H}

obiekt to para ${\ Displaystyle (X \ do S, x)}$ $się$ ze schematu w ${\ Displaystyle (Sch / S) ^ {op}}$ i element ${\ Displaystyle x \ w h (X)}$
morfizm ${\ Displaystyle (X \ do S, x) \ do (Y \ do S, y)}$ składa się z morfizmu ${\ displaystyle \ phi: X \ do Y}$ w $\ Displaystyle (Sch / S)}$ takie, że ${\ displaystyle h (\ fi) (y) = x}$ .

P

\ do (Sch / S)

{ \ Displaystyle p:

}

kategoria kategorią włóknistą

{\ Displaystyle (Sch / S)}

. Na przykład, jeśli jest schematem w

{\ displaystyle X}

{\ Displaystyle (Sch / S)}

, to określa funktor kontrawariantny

{\ Displaystyle h = \ operatorname {Hom} (-, X)},

a odpowiednia kategoria włókien jest powiązana ze stosem do X. _ Stosy (lub prestaki) mogą być konstruowane jako wariant tej konstrukcji. W rzeczywistości każdy schemat z

-

zwartą przekątną jest stosem algebraicznym powiązanym ze schematem

{\ displaystyle X}

.

Stosy obiektów

Stos grupowy .
Stos modułów wiązek wektorowych : kategoria wiązek wektorowych V → S jest stosem nad kategorią przestrzeni topologicznych S . Morfizm od V → S do W → T składa się z ciągłych map od S do T i od V do W (liniowych na włóknach), tak że oczywisty kwadrat komutuje. Warunek, że jest to kategoria włóknista, jest spełniony, ponieważ można przyjąć wycofania wiązek wektorowych na ciągłych mapach przestrzeni topologicznych, a warunek, że układ odniesienia jest efektywny, wynika z tego, że można skonstruować wiązkę wektorową na przestrzeni przez sklejenie wiązek wektorowych na elementy otwartej okładki.
Stos quasi-spójnych snopów na schematach (w odniesieniu do topologii fpqc i słabszych topologii)
Stos schematów afinicznych na schemacie podstawowym (ponownie w odniesieniu do topologii fpqc lub słabszej)

Konstrukcje ze stosami

Ilorazy stosu

Jeśli $i$ schematem jest gładkim schematem grup afinicznych działających na $X } ,$ $X$ Displaystyle tam $X$ jest stosem algebraicznym ilorazu $Y \ do S$ biorąc schemat $S$ grupy ${\ displaystyle G}$ -torsors nad $Y$ ${\ displaystyle Y}$ z -równoważnymi $G$ do ${\$ } . Jawnie , $styl wyświetlania Y}$ $pod$ uwagę spację z $-akcją$ , utwórz stos $G$ który (intuicyjnie mówiąc $wysyła$ Y do grupy diagramów pullback

${\ Displaystyle [X/G] (Y) = {\ rozpocząć {Bmatrix} Z & {\ xrightarrow {\ Phi }}&X\\\strzałka w dół &&\strzałka w dół \\Y&{\xrightarrow {\phi }}&[X/G]\end{Bmatrix}}}$

gdzie $jest$ równoważnym $_$ przestrzeni $pakietem$ _ $_$ _ Morfizmy w tej kategorii to po prostu morfizmy diagramów $na$ których strzałki po prawej stronie są równe, a strzałki po lewej stronie to morfizmy głównych wiązek .

Klasyfikacja stosów

Szczególny przypadek tego, gdy X jest punktem, daje stos klasyfikacyjny BG gładkiego schematu grup afinicznych G : ${\ Displaystyle {\ textbf {B}} G: = [pt / G].}$ Nazywa się tak od kategorii ${\ Displaystyle \ mathbf {B} G (Y)}$ włókno nad Y , jest właśnie kategorią $Displaystyle \ operatorname {kok} _ {G} (Y)}$ $\$ zleceniodawcy - pakiety na ${\ Displaystyle Y}$ . Zauważ, że modułów G na sam $Y$ uznać za stos .

Ważnym $.$ $_$ głównych _ Ponieważ dane pakietu głównego $,$ danym pakietu wektorów rangi to izomorficzne ze $displaystyle$ stosem modułów rangi $n} }$ wiązki wektorowe ${\ Displaystyle Vect_ {n}}$ .

Stos modułów wiązek linii

Stos modułów wiązek linii wynosi $}$ z głównym $\ Displaystyle \ mathbb {G} _ {m}$ - pakiet. $,$ biorąc pod uwagę wiązkę linii $,$ schemacie względna specyfikacja

${\ Displaystyle {\ podkreślenie {\ tekst {Spec}}} _ {S} ({\ tekst {Sym}} _ {S} (L ^ {\ vee} ))\do S}$

daje wiązkę linii geometrycznych. Usuwając obraz sekcji zerowej, uzyskuje $podstawowy$ . I odwrotnie, z reprezentacji ${\ Displaystyle id: \ mathbb {G} _ {m} \ do {\ tekst {Aut}} (\ mathbb {A} ^ {1}) }$ , powiązana wiązka linii może zostać zrekonstruowana.

Gerby

Gerbe to stos w groupoidach, który zawsze ma niepustą kategorię . $wiązek$ przykład trywialny gerbe $jakiejś$ $który$ przypisuje każdemu schematowi grupoid głównych nad schematem, .

Względna specyfikacja i proj

Jeśli A jest quasi-spójnym snopem algebr w stosie algebraicznym X nad schematem S , to istnieje stos Spec( A ) uogólniający konstrukcję widma Spec( A ) pierścienia przemiennego A . Obiekt Spec( A ) jest dany przez S -schemat T , obiekt x z X ( T ) i morfizm snopów algebr z x * ( A ) do pierścienia współrzędnych O ( T ) z T .

Jeśli A jest quasi-spójnym snopem stopniowanych algebr w stosie algebraicznym X nad schematem S , to istnieje stos Proj( A ) uogólniający konstrukcję schematu rzutowego Proj( A ) stopniowanego pierścienia A .

Stosy modułów

Moduły krzywych

Mumford (1965) zbadał stos modułów M _1,1 krzywych eliptycznych i wykazał, że jego grupa Picarda jest cykliczna rzędu 12. Dla krzywych eliptycznych nad liczbami zespolonymi odpowiedni stos jest podobny do ilorazu górnej półpłaszczyzny przez działanie grupy modułowej .
Przestrzeń modułów krzywych algebraicznych zdefiniowana jako uniwersalna rodzina gładkich krzywych danego rodzaju nie istnieje jako odmiana algebraiczna, ponieważ w szczególności M $}} _ {g}$ $Displaystyle {\ mathcal {$ istnieją krzywe dopuszczające nietrywialne automorfizmy. Istnieje jednak stos modułów $jest$ $który$ dobrym substytutem nieistniejącej przestrzeni drobnych modułów gładkich . Bardziej ogólnie istnieje stos modułów ${M}} _ {g, n}}$ $z$ $krzywych$ zaznaczonymi punktami . Ogólnie jest to stos algebraiczny i jest stosem Deline'a-Mumforda dla lub ${\ Displaystyle g \ geq 2}$ $g=0,n\geq 3$ lub g $\ Displaystyle g = 1, n \ geq 1$ (innymi słowy, gdy grupy automorfizmów krzywych są skończone). $,$ $się$ ze stosu modułów stabilnych krzywych (dla danych ) które są właściwe dla Spec Z . $Na$ przykład $jest$ stosem _ (Istnieje subtelność w definiowaniu ${\ Displaystyle {\ mathcal {M}} _ {1}}$ , ponieważ do jego skonstruowania trzeba użyć raczej przestrzeni algebraicznych niż schematów.)

Przestrzenie modułów Kontsevicha

$której$ przestrzeni modułów są przestrzenie modułów Kontsevicha parametryzujące przestrzeń stabilnych map między krzywymi ustalonego rodzaju do ustalonej przestrzeni, obraz reprezentuje stałą klasę kohomologii. Te przestrzenie modułów są oznaczone

${\ Displaystyle {\ overline {\ mathcal {M}}} _ {g, n} (X, \ beta)}$

i może mieć dzikie zachowanie, takie jak redukowalne stosy, których komponenty nie mają równych wymiarów. Na przykład stos modułów

${\ Displaystyle {\ overline {\ mathcal {M}}} _ {1,0} (\ mathbb {P} ^ {2}, 3 [H])}$

ma gładkie krzywe sparametryzowane przez otwarty podzbiór ${\ Displaystyle U \ podzbiór \ mathbb {P} ^ {9} = \ mathbb {P} (\ Gamma (\mathbb {P} ^{2},{\mathcal {O}}(3)))}$ . Na granicy przestrzeni modułów, gdzie krzywe mogą zdegenerować się do krzywych redukowalnych, znajduje się podstos parametryzujący redukowalne krzywe z komponentem rodzaju {\ $displaystyle 0}$ i rodzajem ${\ displaystyle 1}$ $do$ się w jednym punkcie, a mapa wysyła krzywą rodzaju punktu. Ponieważ wszystkie takie krzywe rodzaju $są$ parametryzowane przez a istnieje dodatkowy $1$ wybór miejsca przecięcia się tych krzywych na krzywej rodzaju, 1 ${$ $}$ składnik brzegowy ma wymiar ${\ displaystyle 10}$ .

Inne stosy modułów

Stos Picarda uogólnia odmianę Picarda .
Stos modułów formalnych praw grupowych klasyfikuje formalne prawa grupowe .
Ind -schemat, taki jak nieskończona przestrzeń rzutowa i schemat formalny, to stos.
Stos modułów shtuków jest używany w geometrycznym programie Langlandsa . (Zobacz także shtukas ).

Stosy geometryczne

Ważone stosy rzutowe

Konstruowanie ważonych przestrzeni rzutowych polega na przyjmowaniu różnorodności ilorazowej niektórych $n + 1} - \ {0 \}}$ $. } _{m}}$ przez -działanie. W szczególności akcja wysyła krotkę

${\ Displaystyle g \ cdot (x_ {0}, \ ldots, x_ {n}) \ mapsto (g ^ { a_{0}}x_{0},\ldkropki,g^{a_{n}}x_{n})}$

a iloraz tego działania daje ważoną przestrzeń rzutową ${\ Displaystyle \ mathbb {WP} (a_ {0}, \ ldots, a_ {n})$ } Ponieważ zamiast tego można to przyjąć jako iloraz stosu, ważony rzutowy stos ^{pg 30} jest

${\ Displaystyle {\ textbf {WP}} (a_ {0}, \ ldots, a_ {n}): = [\ mathbb {A} ^{n}-\{0\}/\mathbb {G} _{m}]}$

Biorąc znikające miejsce wielomianu ważonego w wiązce linii ${\ Displaystyle f \ in \ Gamma ({\ textbf {WP}} (a_ { 0},\ldots ,a_{n}),{\mathcal {O}}(a))}$ daje skumulowaną ważoną rozmaitość rzutową.

Ułożone krzywe

Krzywe stosowe lub krzywe orbitalne można konstruować, biorąc iloraz stosu morfizmu krzywych przez grupę monodromiczną pokrycia nad punktami ogólnymi. Weźmy na przykład morfizm rzutowy

${\ Displaystyle {\ tekst {Proj}} (\ mathbb {C} [x ,y,z]/(x^{5}+y^{5}+z^{5}))\to {\text{Proj}}(\mathbb {C} [x,y])}$

który jest ogólnie etale . $} \mathbb {Z} / 5}$ stosu domeny przez daje stos $}$ punktami stosu, które mają grupę stabilizatorów $\ Displaystyle \ mathbb {P$ na piątym pierwiastku jedności na wykresie ${\ displaystyle x/y}$ . Dzieje się tak, ponieważ są to punkty, w których pokrywa się rozgałęzia. ^{[ potrzebne źródło ]}

Stos nieafiniczny

Przykładem stosu nieafinicznego jest półprosta z dwoma początkami stosu. Można to skonstruować jako kolimit dwóch inkluzji ${\ Displaystyle [\ mathbb {G} _ {m} / (\ mathbb { Z} /2)]\do [\mathbb {A} ^{1}/(\mathbb {Z} /2)]}$ .

Quasi-spójne krążki na stosach algebraicznych

Na stosie algebraicznym można skonstruować kategorię krążków quasi-spójnych, podobnie jak kategorię krążków quasi-koherentnych na schemacie.

Snop quasi-spójny to z grubsza taki, który lokalnie wygląda jak snop modułu nad pierścieniem. Pierwszym problemem jest podjęcie decyzji, co należy rozumieć przez „lokalnie”: obejmuje to wybór topologii Grothendiecka, a istnieje wiele możliwych wyborów, z których wszystkie mają pewne problemy i żaden z nich nie wydaje się w pełni zadowalający. Topologia Grothendiecka powinna być wystarczająco silna, aby stos był lokalnie pokrewny w tej topologii: schematy są lokalnie powinowate w topologii Zariski, więc jest to dobry wybór dla schematów odkrytych przez Serre'a, przestrzenie algebraiczne i stosy Deligne-Mumforda są lokalnie powinowate w topologia etale, więc zwykle używa się do tego topologii etale, podczas gdy stosy algebraiczne są lokalnie pokrewne w gładkiej topologii, więc w tym przypadku można użyć gładkiej topologii. W przypadku ogólnych stosów algebraicznych topologia etale nie ma wystarczającej liczby zbiorów otwartych: na przykład, jeśli G jest grupą gładko spójną, to jedynymi etalowymi pokryciami stosu klasyfikacyjnego BG są sumy kopii BG, które nie są wystarczające, aby dać właściwą teorię quasi-koherentnych krążków.

Zamiast używać gładkiej topologii dla stosów algebraicznych, często stosuje się jej modyfikację zwaną topologią Lis-Et (skrót od Lisse-Etale: lisse to francuski termin oznaczający gładkość), który ma te same zbiory otwarte, co gładka topologia, ale otwarte osłony są podawane przez etale, a nie gładkie mapy. Zwykle wydaje się, że prowadzi to do równoważnej kategorii quasi-spójnych snopów, ale jest łatwiejsze w użyciu: na przykład łatwiej jest porównać z topologią etale w przestrzeniach algebraicznych. Topologia Lis-Et ma subtelny problem techniczny: morfizm między stosami generalnie nie daje morfizmu między odpowiednimi toposami. (Problem polega na tym, że chociaż można skonstruować parę sprzężonych funktorów f _* , f *, zgodnie z potrzebą morfizmu geometrycznego toposu, funktor f * nie jest generalnie pozostawiony dokładny. Ten problem jest znany z tego, że powodował pewne błędy w publikowanych artykułach i książkach.) Oznacza to, że skonstruowanie wycofania quasi-koherentnego snopka pod morfizmem stosów wymaga dodatkowego wysiłku.

Możliwe jest również użycie drobniejszych topologii. Wydaje się, że większość rozsądnych „wystarczająco dużych” topologii Grothendiecka prowadzi do równoważnych kategorii quasi-spójnych snopów, ale im większa topologia, tym trudniej jest ją obsłużyć, więc ogólnie woli się używać mniejszych topologii, o ile mają wystarczającą liczbę otwartych zbiorów. Na przykład topologia big fppf prowadzi zasadniczo do tej samej kategorii quasi-koherentnych snopów, co topologia Lis-Et, ale ma subtelny problem: naturalne osadzenie quasi-spójnych snopów w modułach O X w tej topologii nie jest _dokładne ( ogólnie nie konserwuje jąder).

Inne rodzaje stosu

Stosy różniczkowalne i stosy topologiczne są definiowane w sposób podobny do stosów algebraicznych, z tym wyjątkiem, że podstawowa kategoria schematów afinicznych jest zastępowana kategorią gładkich rozmaitości lub przestrzeni topologicznych.

Bardziej ogólnie można zdefiniować pojęcie n -snopa lub n -1 stosu, który jest z grubsza rodzajem snopka przyjmującego wartości w n -1 kategoriach. Istnieje kilka nierównoważnych sposobów na zrobienie tego. 1-krążek to to samo, co snopy, a 2-krążki to to samo, co stosy. Nazywa się je wyższymi stosami.

Bardzo podobnym i analogicznym rozszerzeniem jest rozwinięcie teorii stosu na obiektach niedyskretnych (tj. przestrzeń jest tak naprawdę widmem w topologii algebraicznej). Powstałe w ten sposób obiekty piętrowe nazywane są stosami pochodnymi (lub stosami widmowymi). Książka Jacoba Lurie w trakcie budowy Spectral Algebraic Geometry bada uogólnienie, które nazywa widmowym stosem Deligne-Mumford. Z definicji jest to pierścieniowy ∞-topos E _∞ , który jest lokalnie widmem etalnym pierścienia (pojęcie to obejmuje pojęcie schematu pochodnego , przynajmniej w charakterystycznym zera).

Problemy teorii mnogości

Istnieją pewne drobne problemy teoretyczne związane ze zwykłymi podstawami teorii stosów, ponieważ stosy są często definiowane jako pewne funktory kategorii zbiorów i dlatego nie są zbiorami. Istnieje kilka sposobów radzenia sobie z tym problemem:

Można pracować ze wszechświatami Grothendiecka: stos jest wtedy funktorem między klasami jakiegoś ustalonego wszechświata Grothendiecka, więc te klasy i stosy są zestawami w większym wszechświecie Grothendiecka. Wadą tego podejścia jest to, że trzeba założyć istnienie wystarczającej liczby wszechświatów Grothendiecka, co jest zasadniczo dużym aksjomatem kardynalnym .
Można zdefiniować stosy jako funktory do zbioru zbiorów o wystarczająco dużej randze i uważnie śledzić rangi różnych zbiorów, z których się korzysta. Problem polega na tym, że wiąże się to z dodatkową, dość męczącą księgowością.
Można wykorzystać zasady odbicia z teorii mnogości stwierdzające, że można znaleźć modele zbiorów dowolnego skończonego fragmentu aksjomatów ZFC, aby pokazać, że można automatycznie znaleźć zbiory, które są wystarczająco bliskimi przybliżeniami do wszechświata wszystkich zbiorów.
Problem można po prostu zignorować. Takie podejście przyjmuje wielu autorów.

Zobacz też

Notatki

Pedagogiczny

Behrend, Kai; Konrad, Brian; Edidin, Dan; Fulton, William; Fantechi, Barbara; Göttsche, Lothar; Kresch, Andrew (2006), stosy algebraiczne , zarchiwizowane z oryginału w dniu 05.05.2008
Goméz, Tomás (1999), Stosy algebraiczne , arXiv : math/9911199 , Bibcode : 1999math.....11199G to artykuł wyjaśniający opisujący podstawy stosów z przykładami.
Edidin, Dan (2003), „Co to jest… stos?” (PDF) , Zawiadomienia AMS , 50 (4): 458–459

Przewodniki po literaturze

Bibliografia

Artin, Michael (1974), „Odkształcenia wersetowe i stosy algebraiczne”, Inventiones Mathematicae , 27 (3): 165–189, Bibcode : 1974 InMat..27..165A , doi : 10.1007/BF01390174 , ISSN 0020-9910 , MR 039909 4 , S2CID 122887093
Deligne, Pierre ; Mumford, David (1969), „Nieredukowalność przestrzeni krzywych danego rodzaju” , Publications Mathématiques de l'IHÉS , 36 (36): 75–109, CiteSeerX 10.1.1.589.288 , doi : 10.1007/BF02684599 , ISSN 1618-1913 , MR 0262240 , S2CID 16482150
Fantechi, Barbara (2001), „Stosy dla każdego” (PDF) , Europejski Kongres Matematyki, tom I , progr. Matematyka, tom. 201, Bazylea: Birkäuser, s. 349–359, ISBN 3-7643-6417-3 , MR 1905329
Giraud, Jean (1964), „Metoda zejścia” , Société Mathématique de France. Biuletyn. Suplement. Mémoire , 2 : VIII+150, MR 0190142
Giraud, Jean (1966), Cohomologie non abélienne de degré 2 , praca dyplomowa, Paryż
Giraud, Jean (1971), Cohomologie non abélienne , Springer , ISBN 3-540-05307-7
Gómez, Tomás L. (2001), „Stosy algebraiczne”, Proceedings - Mathematical Sciences , 111 (1): 1–31, arXiv : math / 9911199 , doi : 10.1007 / BF02829538 , MR 1818418 , S2CID 373638
Grothendieck, Aleksander (1959). „Technique de descente et théorèmes d'existence en géométrie algébrique. I. Généralités. Descente par morphismes fidèlement plats” . Seminaire Bourbaki . 5 (Exposé 190).
Laumon, Gerard; Moret-Bailly, Laurent (2000), Champs algébriques , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. Seria nowoczesnych ankiet z matematyki, tom. 39, Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-65761-3 , MR 1771927 Niestety ta książka wykorzystuje błędne twierdzenie, że morfizmy stosów algebraicznych wywołują morfizmy toposów lisse-étale. Niektóre z tych błędów zostały naprawione przez Olssona (2007) .
Laszlo, Yves; Olsson, Martin (2008), „Sześć operacji dla snopów na stosach Artina. I. Współczynniki skończone”, Institut des Hautes Études Scientifiques. Publikacje Mathématiques , 107 (1): 109–168, arXiv : math/0512097 , doi : 10.1007/s10240-008-0011-6 , MR 2434692 , S2CID 371801
Mumford, David (1965), „Grupy Picarda problemów modułów” , w Schilling, OFG (red.), Arithmetic Algebraic Geometry (Proc. Conf. Purdue Univ., 1963) , New York: Harper & Row, s. 33– 81, MR 0201443
Olsson, Martin Christian (2007), Geraschenko, Anton (red.), Notatki z kursu dla matematyki 274: Stosy (PDF)
Olsson, Martin (2016), Przestrzenie algebraiczne i stosy , Colloquium Publications, tom. 62, Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne, ISBN 978-1470427986
Vistoli, Angelo (2005), „Topologie Grothendiecka, kategorie światłowodowe i teoria pochodzenia”, Podstawowa geometria algebraiczna , Math. Ankiety Monogr., tom. 123, Providence, RI: Amer. Matematyka Soc., s. 1–104, arXiv : math/0412512 , Bibcode : 2004math.....12512V , MR 2223406

Dalsza lektura

Morawa, Jack (2012). „Teorie wszystkiego”. arXiv : 1202,0684 [ matematyka.CT ].

Linki zewnętrzne

stos w laboratorium n
zejście w n Lab
de Jong, Aise Johan, Stacks Project
Fulton, William, Co to jest stos? , wykład wideo MSRI i notatki
Toën, Bertrand (2007), Cours de Master 2: Champs algebriques (2006-2007)
„Dobre odniesienia wprowadzające do stosów algebraicznych?”