Snop algebr

W geometrii algebraicznej $snop$ snopem modułów w przestrzeni pierścieniowej X jest snopem przemiennych pierścieni X , który jest również . Jest quasi-spójny, jeśli jest taki jako moduł.

Kiedy X jest schematem , podobnie jak pierścień, można wziąć globalną Spec quasi -spójnego snopka algebr: skutkuje to funktorem kontrawariantnym ${\ displaystyle \ operatorname {Spec} _ {X}}$ quasi-spójnych (snopów) -algebr na X do kategorii schematów, które są pokrewne względem X , ${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X}}$ (zdefiniowane poniżej). Co $morfizmu$ równoważność: quasi-odwrotność jest dana przez do ${\ displaystyle f_ {*} {\ mathcal {O}} _ {Y}.}$

Morfizm afiniczny

Morfizm schematów nazywa $się$ afinicznym $,$ jeśli otwartą $_$ taką ${\ Displaystyle f ^ {- 1} (U_ {i})}$ są pokrewne. Na przykład skończony morfizm jest afiniczny. Morfizm afiniczny jest quasi-zwarty i rozdzielony ; w szczególności bezpośredni obraz quasi-spójnego snopka wzdłuż morfizmu afinicznego jest quasi-spójny.

Podstawowa zmiana morfizmu afinicznego jest afiniczna.

Niech ${\ Displaystyle f: X \ do Y}$ będzie morfizmem afinicznym między schematami i $wraz$ lokalnie otoczoną pierścieniami z mapą ${\ displaystyle g: E \ do Y}$ . Następnie mapa naturalna między zbiorami:

{\ Displaystyle \ nazwa operatora {Mor} _ {Y} (E, X) \ do \ nazwa operatora {Hom} _{{\mathcal {O}}_{Y}-{\text{alg}}}(f_{*}{\mathcal {O}}_{X},g_{*}{\mathcal {O}} _{MI})}

jest bijektywny.

Przykłady

Niech ${\ displaystyle f: {\ widetilde {X}} \ do X}$ będzie normalizacją rozmaitości algebraicznej X . ponieważ f jest skończona, $quasi$ spójna ${\ Displaystyle \ nazwa operatora {Spec} _ {X} (f_ {*} {\ mathcal {O}} _ {\ widetilde {X}}) = {\ widetilde {X}}}$ .
Niech będzie lokalnie $wolnym snopem o skończonej$ na schemacie X . Wtedy ${\ Displaystyle \ operatorname {Sym} (E ^ {*})}$ jest quasi-spójną algebrą i ${\ Displaystyle \ nazwa operatora {Spec} _ {X} (\ nazwa operatora {Sym} (E ^ {*})) \ do X}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X}}$ jest powiązaną wiązką wektorów nad X (nazywaną całkowitą przestrzenią ${\ displaystyle E}$ ).
Mówiąc bardziej ogólnie, jeśli F jest spójnym snopkiem na X , to nadal ma ${\ Displaystyle \ operatorname {Spec} _ {X} (\ operatorname {Sym} (F)) \to X}$ , zwykle nazywany kadłubem abelowym F ; patrz Stożek (geometria algebraiczna) # Przykłady .

Tworzenie obrazów bezpośrednich

Biorąc pod uwagę przestrzeń pierścieniową S , istnieje kategoria par $(f, M)}$ ${\ displaystyle C_ {$ $\ Displaystyle$ składająca się z morfizmu przestrzeni pierścieniowej ${\ mathcal {O}} _ {X}}$ M { $Displaystyle$ . Następnie tworzenie obrazów bezpośrednich określa funktor kontrawariantny ${\ Displaystyle C_ {S}}$ do kategorii par składających się z ${\ Displaystyle (f, M)}$ $A$ i modułu A M , wysyła każdą , do pary ${\ Displaystyle (f_ {*} {\ mathcal {O}}, f_ {*} M)}$ .

Załóżmy teraz, że S ${\ Displaystyle \ operatorname {Aff} _ {S} \ podzbiór$ schematem, a następnie niech będzie podkategorią składającą się z par $do S, M)}$ $} displaystyle ($ $\$ $\ displaystyle X}$ taki, że jest morfizmem afinicznym między schematami i quasi-spójnym snopem na $M$ . $\ mathcal {O}} _ {S}}$ powyższy funktor określa równoważność między ${\ displaystyle \ operatorname {Aff} _ {S}}$ a kategorią par $(A, M)}$ $Displaystyle$ się z $ZA {\ Displaystyle A}$ -algebra A i quasi-spójny -moduł ${\ Displaystyle M}$ .

Powyższą równoważność można wykorzystać (między innymi) do wykonania następującej konstrukcji. Tak jak poprzednio, biorąc pod uwagę schemat S , niech $A$ będzie ${\ Displaystyle f: X = \ nazwa operatora {Spec} _ {S} (A) \ do S}$ -spójną algebrą, a następnie weźmy jego globalną Spec . Wtedy dla każdego quasi-spójnego A -modułu M istnieje odpowiedni quasi-spójny ${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X}}$ - moduł ${\ Displaystyle {\ widetilde {M}}}$ taki, że ${\ Displaystyle f_ {*} {\ widetilde {M}}\simeq M,}$ zwany snopem powiązanym z M . Innymi słowy, $określa$ między kategorią quasi-spójnych $a$ quasi ${\ displaystyle A}$ -moduły.

Zobacz też

Grothendieck, Aleksandr ; Dieudonné, Jean (1971). Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften (w języku francuskim). Tom. 166 (wyd. 2). Berlin; Nowy Jork: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-05113-8 .
Hartshorne, Robin (1977), Geometria algebraiczna , Absolwent Teksty z matematyki , tom. 52, Nowy Jork: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9 , MR 0463157

Linki zewnętrzne

https://ncatlab.org/nlab/show/affine+morphism