Stożek (geometria algebraiczna)

W geometrii algebraicznej stożek jest uogólnieniem wiązki wektorów . W szczególności, biorąc pod uwagę schemat X , względna Spec

${\ Displaystyle C = \ nazwa operatora {Spec} _ {X} R}$

quasi-spójnej stopniowanej O _X -algebry R nazywa się stożkiem lub stożkiem afinicznym R . Podobnie względny Proj

${\ Displaystyle \ mathbb {P} (C) = \ nazwa operatora {Proj} _ {X} R}$

nazywamy stożkiem rzutowym C lub R .

Uwaga $-działanie$ ma ze względu na stopniowanie R ; ta akcja jest częścią danych stożka (stąd terminologia).

Przykłady

• Jeśli X = Spec k jest punktem, a R jest jednorodnym pierścieniem współrzędnych , to stożek afiniczny R jest (zwykłym) stożkiem afinicznym nad rozmaitością rzutową odpowiadającą R .
• Jeśli $_$ _ _ _ ${\ displaystyle \ operatorname {Spec} _ {X} R}$ jest normalnym stożkiem do zamkniętego schematu określonego przez ja .
• R ${\ Displaystyle R = \ bigoplus _ {0} ^ {\ infty} L ^ {\ czasami n}}$ jakiejś wiązki linii L , to ${\ Displaystyle \ operatorname {Spec } _{X}R}$ jest całkowitą przestrzenią liczby podwójnej L .
• Mówiąc bardziej ogólnie, biorąc pod uwagę wiązkę wektorów (snop lokalnie swobodny skończonego rzędu) E na X , jeśli R = Sym ( E ^* ) jest algebrą symetryczną generowaną przez liczbę podwójną E , to stożek $}$${\ displaystyle \ operatorname {Spec$$to$ R całkowita przestrzeń E , często zapisywana tak samo jak E , a stożek rzutowy E , co jest zapisane jako ${\ Displaystyle \ mathbb {P} (E)}$ .
• Niech będzie $snopkiem$ na stosie Deligne – Mumford X . Niech więc ${\ Displaystyle C ({\ mathcal {F}}): = \ operatorname {Spec} _ {X} (\ operatorname {Sym} ({\ mathcal {F}})).} Dla$ dowolnego ${ \displaystyle f:T\to X}$ , ponieważ global Spec jest prawym sprzężeniem z bezpośrednim funktorem obrazu, mamy: ${\ Displaystyle C ({\ mathcal {F}}) (T) = \ operatorname {Hom} _ {{\ mathcal {O}} _ {X}} (\ operatorname {Sym} ({\ mathcal {F}} ),f_{*}{\mathcal {O}}_{T})}$ ; $w$ szczególności schematem X .
• Niech R ${X}}$ stopniowaną algebrą taką, że $O$ i $-algebra$ i lokalnie $generuje$ R jako Następnie następuje zamknięte zanurzenie

${\ Displaystyle \ operatorname {Spec} _ {X} R \ hookrightarrow C (R_ {1})}$

przez ${\ Displaystyle \ operatorname {Sym } (R_{1})\do R}$ . Z ${\ Displaystyle \ operatorname {Spec} _ {X} R.}$$się$ abelowym Na przykład, jeśli ${\ Displaystyle R = \ oplus _ {0} ^ {\ infty} ja ^ {n }/I^{n+1}}$ dla pewnego snopka idealnego I , to to osadzenie jest osadzeniem normalnego stożka w normalnej wiązce.

Obliczenia

Rozważ pełny ideał skrzyżowania ${n}]}$${\ Displaystyle (f, g_ {1}, g_ {2}, g_ {3}) \ podzbiór \mathbb {C} [x_ {0},\ldots,$$rzutowym$ i niech będzie schematem zdefiniowanym przez idealny snop ${\ Displaystyle {\ mathcal {I}} = (f) (g_ {1}, g_ {2}, g_ {3})}$ . Wtedy mamy izomorfizm -algebr jest dany przez ${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {\ mathbb {P} ^ {n}}}$

$Displaystyle \ bigoplus _ {n\geq 0}{\frac {{\mathcal {I}}^{n}}{{\mathcal {I}}^{n+1}}}\cong {\frac {{\mathcal {O} }_{X}[a,b,c]}{(g_{2}a-g_{1}b,g_{3}a-g_{1}c,g_{3}b-g_{2}c )}}}$

Nieruchomości

Jeśli jest stopniowanym homomorfizmem stopniowanych algebr O _X , to otrzymujemy morfizm indukowany między stożkami: ${\ displaystyle S \ to R}$

Nie udało się przeanalizować (SVG (MathML można włączyć za pomocą wtyczki przeglądarki): Nieprawidłowa odpowiedź („Rozszerzenie Math nie może połączyć się z Restbase”) z serwera „/ mathoid/local/v1 /”:: {\ displaystyle C_R = \ nazwa operatora { Spec}_X R \to C_S = \operatorname{Spec}_X S} .

${\ Displaystyle C_ {R} \ hookrightarrow C_ {S}, \ \ mathbb {P} (C_ {R}) \ hookrightarrow \ mathbb {P} (C_ {S}).}$ otrzymujemy zanurzenia

₀ W szczególności, zakładając R = O _X , konstrukcja dotyczy rzutu ${\ Displaystyle R = R_ {0} \ oplus R_ {1} \ oplus \ cdots \ do R_ {0} }$ (która jest mapą augmentacji ) i daje

${\ Displaystyle \ sigma: X \ hookrightarrow C_ {R}}$ .

To jest sekcja; tj. ${\ Displaystyle X {\ overset {\ sigma} {\ do}} C_ {R} \ do X}$ jest tożsamością i nazywa się osadzeniem o przekroju zerowym.

Rozważmy stopniowaną algebrę R [ t ] ze zmienną t mającą stopień jeden: jawnie, kawałek n -tego stopnia to

${\ Displaystyle R_ {n} \ oplus R_ {n-1} t \ oplus R_ {n-2} t ^ {2} \oplus \cdots \oplus R_{0}t^{n}}$ .

Wtedy jego stożek afiniczny jest oznaczony przez do $\ Displaystyle C_ {R [t]} = C_ {R} \ oplus 1}$ . Stożek $_$ R _ _ _ _{_} _ $\mathbb {P} (C_{R})$ , miejsce zerowe =  = 0 is exactly and the complement is the open subscheme C_R. The locus t = 0 is called the hyperplane at infinity.

O (1)

₀ Niech R będzie quasi-spójną stopniowaną algebrą O _X taką, że _R = O X _i R jest lokalnie generowana jako algebra OX przez R ₁ . Wtedy z definicji stożek rzutowy R to:

${\ Displaystyle \ mathbb {P} (C) = \ operatorname {Proj} _ {X} R = \ varinjlim \ operatorname {Proj } (R(U))}$

gdzie colimit przebiega przez otwarte podzbiory afiniczne U od X . Z założenia R ( U ) ma skończenie wiele generatorów stopnia pierwszego x _i 's. Zatem,

${\ Displaystyle \ operatorname {Proj} (R (U)) \ hookrightarrow \ mathbb {P} ^ {r} \ razy U.}$

Wtedy ${\ Displaystyle \ operatorname {Proj} (R (U))}$ ma wiązkę liniową O (1) określoną przez wiązkę hiperpłaszczyzn ${\ Displaystyle {\ mathcal { O}} _ {\ mathbb {P} ^ {r}} (1)}$ P $\ Displaystyle \ mathbb {P} ^ {r}}$ ; sklejenie takich lokalnych O (1), które zgadzają się lokalnie, daje wiązkę linii O (1) na ${\ Displaystyle \ mathbb {P} (C)}$ .

Dla dowolnej liczby całkowitej n zapisujemy również O ( n ) dla n -tej potęgi tensorowej O (1). Jeśli stożek C = Spec _X R jest całkowitą przestrzenią wiązki wektorowej E , to O (-1) jest wiązką linii tautologicznych na wiązce rzutowej P ( E ).

Uwaga : Gdy (lokalne) generatory R mają stopień inny niż jeden, konstrukcja O (1) nadal przechodzi, ale z ważoną przestrzenią rzutową zamiast przestrzeni rzutowej; więc wynikowy O (1) niekoniecznie jest wiązką linii. W języku dzielnika , to O (1) odpowiada dzielnikowi Q -Cartiera.

Notatki

Notatki z wykładu

• Fantechi, Barbara, Wprowadzenie do teorii skrzyżowań (PDF)

Odniesienie

•   Behrend, K.; Fantechi, B. (1997-03-01). „Wewnętrzny stożek normalny”. Inventiones Mathematicae . 128 (1): 45–88. doi : 10.1007/s002220050136 . ISSN 0020-9910 .
•    Williama Fultona. (1998), Teoria przecięć , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete . 3. Folge., tom. 2 (wyd. 2), Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-62046-4 , MR 1644323
• § 8   Grothendiecka, Alexandre ; Dieudonné, Jean (1961). „Éléments de géométrie algébrique: II. Étude globale élémentaire de quelquesclass de morphismes” . Publikacje Mathématiques de l'IHÉS . 8 . doi : 10.1007/bf02699291 . MR 0217084 .