Stos Deligne-Mumford

W geometrii algebraicznej stos Deligne-Mumford jest stosem F takim, że

morfizm diagonalny $,$ do przedstawienia -zwarty i
Istnieje schemat U i étale $)$ map (nazywany

Pierre Deligne i David Mumford wprowadzili to pojęcie w 1969 roku, kiedy udowodnili, że przestrzenie modułów stabilnych krzywych stałego rodzaju arytmetycznego są odpowiednio gładkimi stosami Deligne-Mumforda.

Jeśli „étale” zostanie osłabione do „ gładkiego ”, wówczas taki stos nazywany jest stosem algebraicznym (zwanym także stosem Artina, od nazwiska Michaela Artina ). Przestrzeń algebraiczna to Deligne-Mumford.

Kluczowym faktem dotyczącym stosu F $B$ , że każdy X w , gdzie jest quasi-zwarty, ma tylko skończenie wiele . Stos Deligne-Mumford dopuszcza prezentację grupy ; patrz schemat grupowy .

Przykłady

stosy afiniczne

Stosy Deligne-Mumford są zwykle konstruowane na podstawie pewnego ilorazu stosów , w którym stabilizatory są skończonymi grupami. Rozważmy na przykład działanie grupy cyklicznej ${\ Displaystyle C_ {n} = \ langle a \ mid a ^ {n} = 1 \ rangle}$ na ${\ displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$ podane przez

{\ Displaystyle a \ cdot \ dwukropek (x, y) \ mapsto (\ zeta _ {n} x, \ zeta _ {n} y).}

iloraz

stosu jest afinicznym gładkim stosem Deligne'a- Jeśli chcemy myśleć o tym jako o kategorii złożonej z grupoidów nad

{\ Displaystyle ({\ tekst {Sch}}/\ mathbb {C}) _ {fppf}} to

biorąc pod uwagę schemat

{\ Displaystyle S \ do \ mathbb {C}}

kategoria powyżej jest dana przez

{\ Displaystyle {\ tekst {Spec}} (\ mathbb {C} [s] / (s ^ {n} -1)) \ razy {\ text {Spec}} (\ mathbb {C} [x, y] )(S)\rightrightarrows {\text{Spec}}(\mathbb {C} [x,y])(S).}

Zauważ, że moglibyśmy być nieco bardziej ogólna, jeśli weźmiemy pod uwagę akcję grupową na

{\ Displaystyle \ mathbb {A} ^ {2} \ in {\ text {Sch}}/ {\text{Spec}}(\mathbb {Z} [\zeta _{n}])}

.

Ważona linia rzutowa

Przykłady nieafiniczne pojawiają się, gdy bierze się iloraz stosu dla ważonej przestrzeni rzutowej/rozmaitości. $C} ^ {2} - \ {0 \} / \ mathbb {C} ^ {*}]}$ przykład przestrzeń jest skonstruowana przez iloraz stosu $[$ gdzie akcja jest dana przez ${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {*}}$

{\ Displaystyle \ lambda \ cdot (x, y) = (\ lambda ^ {2} x, \ lambda ^ {3} y).}

Zauważ, że ponieważ ten iloraz nie pochodzi ze skończonej grupy, musimy szukać punktów ze stabilizatorami i odpowiadającymi im grupami stabilizatorów. wtedy