Krzywa skumulowana

W matematyce krzywa stosowa to obiekt w geometrii algebraicznej , który jest z grubsza krzywą algebraiczną z potencjalnie „punktami ułamkowymi” zwanymi punktami stosowymi . Krzywa stosowa to rodzaj stosu używany w badaniu teorii Gromowa-Wittena , geometrii wyliczeniowej i pierścieni form modułowych .

Krzywe piętrowe są głęboko spokrewnione z jednowymiarowymi krzywymi składanymi i dlatego czasami nazywane są krzywymi składanymi lub składanymi .

Definicja

Krzywa stosowa $nad$ polem k gładkim , prawidłowo połączonym geometrycznie stosem Deline'a-Mumforda o $wymiarze$ 1 nad $k$ , który zawiera gęsty otwarty podschemat.

Nieruchomości

Krzywa piętrowa jest jednoznacznie określona (z dokładnością do izomorfizmu) przez jej zgrubną przestrzeń $X$ (gładką quasi-rzutową krzywą nad $k$ ), skończony zbiór punktów $x i$ (jej punkty piętrowe) i liczby całkowite $n i$ (jej rzędy rozgałęzień) większe niż 1. Dzielnik kanoniczny z jest liniowo równoważny sumie kanonicznego dzielnika $X$ i dzielnika rozgałęzienia $R$ : ${\ displaystyle {\ mathfrak {X}}}$

{\ Displaystyle K _ {\ mathfrak {X}} \ sim K_ {X} + R.}

Przyjmując, że $g$ będzie rodzajem zgrubnej przestrzeni $X$ , stopień kanonicznego dzielnika wynosi zatem: X {\ ${\ mathfrak {X}}}$

{\ Displaystyle d = \ stopień K _ {\ mathfrak {X}} = 2-2 g - \ suma _ {i = 1} ^ {r} {\ Frac {n_ {i} -1} {n_ {i}}} .}

Krzywa piętrowa jest nazywana sferyczną , jeśli $d$ jest dodatnia, euklidesową , jeśli $d$ wynosi zero, i hiperboliczną, jeśli $d$ jest ujemne.

Chociaż odpowiednie stwierdzenie twierdzenia Riemanna – Rocha nie dotyczy krzywych spiętrzonych, istnieje uogólnienie twierdzenia Riemanna o istnieniu , które daje równoważność kategorii między kategorią krzywych spiętrzonych na liczbach zespolonych a kategorią złożonych krzywych orbifoldowych.

Aplikacje

Uogólnienie GAGA dla krzywych stosowych jest wykorzystywane do wyprowadzania teorii struktury algebraicznej pierścieni o formach modułowych .

Badanie krzywych stosowych jest szeroko stosowane w ekwiwariantnej teorii Gromowa-Wittena i geometrii wyliczeniowej.