Normalny stożek

W geometrii algebraicznej stożek normalny podschematu schematu jest schematem analogicznym do normalnej wiązki lub sąsiedztwa rurowego w geometrii różniczkowej.

Definicja

Normalny stożek osadzania $jest$ $: zdefiniowany Spec jakiś zdefiniowany$ $snop I,$ przez ideałów jako względna

{\ Displaystyle \ nazwa operatora {Spec} _ {X} \ lewo (\ bigoplus _ {n = 0} ^ {\ infty} I ^ {n} / I ^ {n + 1} \ prawo).}

Gdy osadzenie i jest regularne , to stożek normalny jest wiązką normalną, wiązką wektorową na X odpowiada dualność snopka $I / I 2$ .

Jeśli X jest punktem, to stożek normalny i wiązka normalna do niego są również nazywane stożkiem stycznym i przestrzenią styczną ( przestrzeń styczna Zariski ) do punktu. Gdy Y = Spec R jest pokrewne , definicja oznacza, że stożek normalny do X = Spec R / I jest Specem powiązanego stopniowanego pierścienia R względem I .

Jeśli Y jest iloczynem X × X , a osadzenie i jest osadzeniem diagonalnym , to wiązka normalna do X w Y jest wiązką styczną do X.

Normalny stożek (a raczej jego rzutowy kuzyn) pojawia się w wyniku powiększenia. Dokładnie, niech

{\ Displaystyle \ pi: \ nazwa operatora {Bl} _ {X} Y = \ nazwa operatora {Proj} _ {Y} \ lewo (\ bigoplus _{n=0}^{\infty }I^{n}\right)\to Y}

będzie powiększeniem Y wzdłuż X . Wtedy, z definicji, wyjątkowym dzielnikiem jest obraz wstępny

{\ Displaystyle E = \ pi ^ {- 1} (X)}

; który jest stożkiem rzutowym

{\textstyle \bigoplus _{0}^{\infty}I^{n}\otimes _{{\mathcal {O}}_{Y}}{\mathcal {O}}_{X}=\bigoplus _ {0}^{\infty}I^{n}/I^{n+1}}

. Zatem,

{\ Displaystyle E = \ mathbb {P} (C_ {X} Y).}

⁰ Globalne sekcje wiązki normalnej klasyfikują osadzone nieskończenie małe deformacje Y w X ; istnieje naturalna bijekcja między zbiorem zamkniętych podschematów $Y \times k D$ , płaskich nad pierścieniem D liczb podwójnych i mających X jako specjalne włókno, a H ( X , N _X Y ).

Nieruchomości

Kompozycje regularnych zanurzeń

Jeśli ${\ Displaystyle i: X \ hookrightarrow Y, \, j: Y \ hookrightarrow Z}$ $i}$ { \ Displaystyle j osadzanie i istnieje naturalna dokładna sekwencja wiązek wektorowych na X :

{\ Displaystyle 0 \ do N_ {X/Y} \ do N_ {X/Z} \ do i ^ {*} N_ {Y /Z}\do 0.}

Y $\ hookrightarrow X}$ $}$ są regularnymi osadzaniami współwymiarów jeśli $\ textstyle W: = \ bigcap _{i}Y_{i}\hookrightarrow X}$ to regularne osadzenie współwymiaru

{\ Displaystyle \ suma c_ {i}}

Następnie

{\ Displaystyle N_ {W / X} = \ bigoplus _ {i} N_ {Y_ {i}/X} | _ {W}.}

W szczególności, jeśli jest gładkim morfizmem , to normalna wiązka do osadzania po przekątnej

{\ Displaystyle X \ do S}

{\ Displaystyle \ Delta: X \ hookrightarrow X \ razy _ {S} \ cdots \ razy _ {S} X}

( r -krotnie) jest bezpośrednią sumą

r - 1

kopii względnej wiązki stycznej

{\ Displaystyle T_ {X/S}}

.

Jeśli $Displaystyle X'=X\times _{Y}Y'}$ zamkniętym zanurzeniem i jeśli $Y$ $'\ do Y}$ płaskim morfizmem takim, że , a następnie ^{[ potrzebne źródło ]}

{\ Displaystyle C_ {X'/Y'} = C_ {X/Y} \ razy _ {X} X'.}

Jeśli jest gładkim morfizmem i jest regularnym osadzeniem, to istnieje naturalna dokładna sekwencja wiązek wektorowych na $\ Displaystyle X \$ : X $}$

{\ Displaystyle 0 \ do T_ {X/S} \ do T_ {Y/S} | _ {X} \ do N_ {X/Y} \ do 0,}

(co jest szczególnym przypadkiem dokładnej sekwencji dla krążków cotangensowych ).

Kwadrat kartezjański

Dla kartezjańskiego kwadratu schematów

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {macierz} X' i \ do & Y '\\\ strzałka w dół &&\ strzałka w dół \\ X&\ do & Y \ koniec {macierz}}}

z mapą pionową

{\ Displaystyle f: X'\ do X}

mapa pionowa ma zamknięte osadzanie

f ^ {*} C_ {X/Y}}

z normalnych stożków.

Wymiar elementów

Niech $będzie$ schematem typu skończonego $podschematem$ . Jeśli $r$ czysty wymiar _ ; tj. każdy nieredukowalny składnik ma $wymiar$ r , to czystego wymiaru (Można to postrzegać jako konsekwencję #Deformacji do normalnego stożka $cap X} ma$ teorii przecięć: biorąc pod uwagę parę zamkniętych podschematów w pewnej przestrzeni otoczenia, podczas gdy $X {$ teoretyczne schematu $komponenty$ $wymiar$ zależności delikatnie od pozycji , normalny stożek do .

Przykłady

Niech $.$ efektywnym Wtedy normalna wiązka do niego (lub równoważnie normalny stożek do niego) to

{\ Displaystyle N_ {D/X} = {\ mathcal {O}} _ {D} (D): = {\ mathcal {O}} _ {X} (D) | _ {D}.}

Nieregularne osadzanie

Rozważ nieregularne osadzanie

{\ Displaystyle X = {\ tekst {Spec}} \ lewo ({\ Frac {\ mathbb {C} [x, y,z]}{(xz,yz)}}\right)\do \mathbb {A} ^{3}}

następnie możemy obliczyć stożek normalny, najpierw obserwując

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} I & = (xz, yz) \\ ja ^ {2 }&=(x^{2}z^{2},xyz^{2},y^{2}z^{2})\\\koniec{wyrównany}}}

Jeśli stworzymy zmienne pomocnicze

{\ displaystyle a = xz}

i

{\ displaystyle b = yz},

otrzymamy zależność

{\ Displaystyle ya-xb = 0.}

Możemy to wykorzystać, aby przedstawić stożek normalny jako widmo względne

{\ Displaystyle C_ {X} \ mathbb {A} ^ {3} = {\ tekst {Spec}} _ {X }\left({\frac {{\mathcal {O}}_{X}[a,b]}{(ya-xb)}}\right)}

Ponieważ

afiniczny

, możemy po prostu zapisać widmo względne jako schemat

{\ Displaystyle C_ {X} \ mathbb {A} ^ {3} ={\text{Spec}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y,z][a,b]}{(xz,yz,ya-xb)}}\right)}

dając nam normalny stożek.

Geometria tego stożka normalnego

Geometrię normalnego stożka można dalej badać, patrząc na włókna w różnych zamkniętych punktach ${\ displaystyle X}$ . Zauważ, że geometrycznie jest to połączenie płaszczyzny H $H$ $\ Displaystyle$ $}$ z osią $\ Displaystyle Z}$ $X {\ Displaystyle X}$ Displaystyle ,

{\ Displaystyle X = H \ kubek L}

więc interesujące są gładkie punkty na płaszczyźnie, gładkie punkty na osi i punkt na ich przecięciu. Każdy gładki punkt na płaszczyźnie jest określony przez mapę

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {macierz} x \ mapsto z_ {1} i y \ mapsto z_ {2} & z \ mapsto 0 \ koniec {macierz}}}

dla

{\ Displaystyle z_ {1}, z_ {2} \ in \ mathbb {C}}

i albo

{\ Displaystyle z_ {1} \ neq 0}

lub

{\ styl wyświetlania z_{2}\neq 0}

. Ponieważ jest to arbitralne, który punkt weźmiemy, dla wygody załóżmy

{\ Displaystyle z_ {1} \ neq 0, z_ {2} = 0}

. Stąd włókno

{\ Displaystyle C_ {X} \ mathbb {A} ^ {3}}

w punkcie

{\ Displaystyle p = (z_ {1}, 0,0)}

jest izomorficzne z

{\ Displaystyle C_ {X} \ mathbb {A} ^ {3} | _ {p} \ cong {\ Frac {\ mathbb {C} [a,b]}{(z_{1}b)}}\cong \mathbb {C} [a]}

dając normalny stożek jako jednowymiarową linię, zgodnie z oczekiwaniami. Dla punktu

osi

jest to określone przez mapę

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {macierz} x \ mapsto 0 i y \ mapsto 0 i z \ mapsto z_ {3} \ koniec {macierz}}}

stąd włókno w punkcie jest

{\ Displaystyle q = (0,0, z_ {3})}

{\ Displaystyle C_ {X} \ mathbb {A} ^ {3} | _ {q} \ cong {\ Frac {\ mathbb {C} [ a,b]}{(0)}}\cong \mathbb {C} [a,b]}

co daje płaszczyznę. Na początku normalny stożek nad tym punktem jest ponownie izomorficzny z do

[

b]}

} [

.

Węzłowy sześcienny

Dla węzłowej krzywej sześciennej $określonej$ wielomianem ${\ Displaystyle y ^ {2} + x ^ {2} (x-1)}$ do $}}$ $\ displaystyle \mathbb {$ $izomorfizm$ i punkt w węźle, stożek ma

{\ Displaystyle C_ {X/Y} \ cong {\ tekst {Spec}} \ lewo (\ mathbb {C} [x ,y]/\lewo(y^{2}-x^{2}\prawo)\prawo)}

pokazując, że normalny stożek ma więcej elementów niż schemat, na którym leży.

Odkształcenie do normalnego stożka

Załóżmy, ${\ displaystyle i: X \ do Y}$ jest osadzeniem. Można to zdeformować $X}$ osadzenia wewnątrz $displaystyle$ stożka (jako przekrój zerowy) następującym sensie: istnieje płaska rodzina do

{\ Displaystyle \ pi: M_ {X/Y} ^ {o} \ do \ mathbb {P} ^ {1}}

z ogólnym włóknem

i

włóknem

tak,

zamkniętych

{\ Displaystyle X \ razy \ mathbb {P} ^ {1} \ hookrightarrow M_ {X/Y} ^ {o}}

nad takim, że

{\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {1}}

W dowolnym punkcie ${\ Displaystyle t \ w \ mathbb {P} ^ {1} - \ {0 \}}$ powiązane osadzenia są osadzeniem ${\ Displaystyle X \ razy \{t\}\hookrightarrow Y}$
Włókno nad ${\ Displaystyle 0 \ in \ mathbb {P} ^ {1}}$ jest osadzeniem określonym przez sekcję zerową ${\ Displaystyle X \ hookrightarrow C_ {X/Y}}$ .

Ta konstrukcja definiuje narzędzie analogiczne do topologii różniczkowej, w której przecięcia nie poprzeczne są wykonywane w rurowym sąsiedztwie przecięcia. Teraz przecięcie $displaystyle Z}$ cyklem w $Y$ $można podać$ $}$ $pushforward$ przecięcia z cofnięciem $displaystyle X$ w do $\ Displaystyle C_ {X/Y}}$ .

Budowa

Jednym z zastosowań tego jest zdefiniowanie produktów przecięcia w pierścieniu Chow . Załóżmy, że X i V są zamkniętymi podschematami Y z przecięciem W i chcemy zdefiniować iloczyn przecięcia X i V w pierścieniu Chow Y . Odkształcenie do normalnego stożka w tym przypadku oznacza, że zastępujemy osadzenie X i W w Y i V ich normalnymi stożkami C _Y ( X ) i C _W ( V ), tak że chcemy znaleźć iloczyn X i C _W V w C _X Y . Może to być znacznie łatwiejsze: na przykład, jeśli X jest regularnie osadzony w Y , to jego normalny stożek jest wiązką wektorów, więc sprowadzamy się do problemu znalezienia iloczynu przecięcia podschematu C _W V wiązki wektorów C _X Y z zerową sekcją X . Jednak ten iloczyn przecięcia jest po prostu dany przez zastosowanie izomorfizmu Gysina do C _W V .

Konkretnie, odkształcenie do normalnego stożka można skonstruować za pomocą powiększenia. Dokładnie, niech

{\ Displaystyle \ pi: M \ do Y \ razy \ mathbb {P} ^ {1}}

\ Displaystyle Y \ razy

powiększeniem wzdłuż

\ mathbb {P} ^ {1}

. Wyjątkowy dzielnik to

{\ Displaystyle {\ overline {C_ {X} Y}} = \ mathbb {P} (C_ {X} Y \ oplus 1)

} rzutowe zakończenie normalnego stożka; dla zastosowanej tutaj notacji patrz Stożek (geometria algebraiczna) § Właściwości . Normalny stożek

{

overline

{C_ {X} Y}}}

\ Displaystyle jest osadzony jako sekcja zerowa

{\ Displaystyle C_ {X} Y}

.

Teraz zauważamy:

Mapa $której$ jest $_$ _
Istnieje indukowane osadzenie zamknięte ${\ Displaystyle {\ widetilde {i}}: X \ razy \ mathbb {P} ^ {1} \ hookrightarrow M}$ to jest morfizm nad . ${\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {1}$ }
M jest trywialne oddalone od zera; tj. ${\ Displaystyle \ rho ^ {- 1} (\ mathbb {P} ^ {1} -0) = Y \ razy (\ mathbb {P } ^ {1} -0)}$ i ${\ Displaystyle {\ widetilde {i}}}$ ogranicza się do trywialnego osadzania ${\ Displaystyle X \ razy (\ mathbb {P} ^ {1} -0) \ hookrightarrow Y \ razy (\ mathbb {P} ^ {1} -0).}$
${\ Displaystyle \ rho ^ {- 1} (0)}$ ponieważ dzielnik jest sumą $\ Displaystyle {\ overline {C_ {X} Y}} + {\ widetilde {Y}}}$ gdzie $X$ powiększeniem wzdłuż i jest postrzegane jako efektywny dzielnik Cartiera.
Ponieważ $dzielniki$ i $P} ( C)}$ w $Displaystyle$ , gdzie ${\ Displaystyle \ mathbb {P} (C)}$ znajduje się w nieskończoności w ${\ Displaystyle {\ overline {C_ {X} Y}}}$ .

Pozycja 1 jest czysta (sprawdź brak skręcania). Ogólnie rzecz biorąc, biorąc pod uwagę , mamy $}Y}$ $Y {\ Displaystyle \ operatorname {Bl} _ {V} X$ $Bl} _$ . Ponieważ ${\ displaystyle X \ razy 0}$ jest już efektywnym dzielnikiem Cartiera na ${\ displaystyle X \ razy \ mathbb {P} ^ {1}}$ , otrzymujemy X × {\ displaystyle X \ razy 0}

{\ Displaystyle X \ razy \ mathbb {P} ^ {1} = \ operatorname {Bl} _ {X \ razy 0} X \ razy \ mathbb { P} ^{1}\hookrightarrow M,}

dając

{\ Displaystyle {\ widetilde {i}}}

. Pozycja 3 wynika z faktu, że mapa zrzutu π jest izomorfizmem oddalonym od centrum

{\ displaystyle X \ razy 0}

. Ostatnie dwa elementy są widoczne z jawnych obliczeń lokalnych. CO BYŁO DO OKAZANIA

Teraz ostatnia pozycja $sugeruje,$ $że$ obraz M nie przecina W ten sposób uzyskuje się odkształcenie i do osadzenia X w przekroju zerowym w normalnym stożku.

Wewnętrzny normalny stożek

Wewnętrzny normalny pakiet

Niech ${\ displaystyle X}$ będzie $stosem$ Deline'a-Mumforda lokalnie skończonego typu na . Jeśli oznacza cotangensowy kompleks $displaystyle$ względem , to wewnętrzna wiązka normalna do $X} jest stosem ilorazu L X {$ ${\ displaystyle$ displaystyle { \ }

{\ Displaystyle {\ mathfrak {N}} _ {X}: = h ^ {1} / h ^ {0} ({\ textbf {L}} _{X,{\text{fppf}}}^{\vee})}

który jest stosem fppf

{\ Displaystyle {\ textbf {L}} _ {X} ^ {\ vee, 0}}

- torsory na

{\ Displaystyle {\ textbf {L}} _{X}^{\vee,1}}

. Konkretną interpretację tego ilorazu stosu można uzyskać, patrząc na jego zachowanie lokalnie w etale

toposu

.

Właściwości wewnętrznej wiązki normalnej

$zanurzeniem$ $,$ że istnieje morfizm étale $f: U \ do M}$ $afinicznego$ typu wraz z lokalnie $Displaystyle$ w gładki afiniczny skończony -scheme ${\ displaystyle M}$ . Wtedy można pokazać

{\ Displaystyle {\ mathfrak {N}} _ {X} | _ {U} = [N_ {U / M} / f ^ {*} T_ {M} ]}

co oznacza, że możemy zrozumieć wewnętrzną normalną wiązkę jako stosową inkarnację niepowodzenia normalnej sekwencji

{\ Displaystyle {\ mathcal {T}} _ {U} \ do {\ mathcal {T}} _ {M} | _ {U} \ do {\ mathcal {N}} _ {U /M}}

dokładnie po prawej stronie. Co więcej, w szczególnych przypadkach omówionych poniżej, rozważamy teraz iloraz jako kontynuację poprzedniej sekwencji jako trójkąta w jakiejś triangulowanej kategorii. Dzieje się tak, ponieważ iloraz stosu lokalnego można interpretować jako

{\ Displaystyle [N_ {U/M}/f ^ {*} T_ {M}]}

{\ Displaystyle B {\ mathcal {T}} _ {U} = {\ mathcal {T}} _ {U} [+1]}

w szczególnych przypadkach.

Normalny stożek

Wewnętrzny normalny stożek do , $jest$ jako $następnie$ definiowany przez zastąpienie normalnego pakietu $/ M}}$ ${\ Displaystyle N_ {$ z normalnym stożkiem ${\ Displaystyle C_ {U / M}}$ ; tj,

{\ Displaystyle {\ mathfrak {C}} _ ​​{X} | _ {U} = [C_ {U / M} / f ^ {*} T_ {M}].}

Przykład : jeden ma to, że jest lokalnym pełnym skrzyżowaniem wtedy i tylko wtedy, gdy do $} _ {X }}$ ${ \ mathfrak {C}} _ {X} = {\ mathfrak$ . W szczególności, jeśli $X} = {\ mathfrak {N}} _ {X} = BT_{X}}$ T X { $Displaystyle$ jest stosem klasyfikacyjnym wiązki stycznej ${\ displaystyle T_ {X}}$ , który jest schematem grup przemiennych nad ${\ displaystyle X}$ .

$jest$ ogólnie, niech morfizmem Artina Stacksa typu Deline-Mumforda (typu DM), który jest lokalnie typu skończonego Wtedy ${\ Displaystyle {\ mathfrak {C}} _ {X/Y} \ subseteq {\ mathfrak {N}} _ {X/Y}} jest$ scharakteryzowany jako zamknięty stos taki, że , dla dowolnej mapy etale ${\ Displaystyle U \ do X}$ dla której ${\ Displaystyle U \ do X \ do Y}$ ${\ Displaystyle M \ do Y}$ (np. ), wycofanie jest następujące: M → $do Y}$