Snop kostyczny

W geometrii algebraicznej, biorąc pod uwagę morfizm schematów f : X → S , ${\ Displaystyle {\ Displaystyle {$ snopem -modułów cotangens na X jest $\Omega _ {X/S}}$$\ Displaystyle$ , który reprezentuje (lub klasyfikuje) S - pochodne w tym sensie: dla dowolnych -modułów F istnieje izomorfizm ${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X}}$

${\ Displaystyle \ operatorname {Hom} _ {{\ mathcal {O}} _ {X}} (\ Omega _ {X} /S},F)=\nazwa operatora {Der} _{S}({\mathcal {O}}_{X},F)}$

to zależy naturalnie od F . Innymi słowy, snop cotangensa charakteryzuje się uniwersalną właściwością: istnieje różnica re $\ Displaystyle d: {\ mathcal {O}} _ {X} \ do \ Omega _ {X / S}}$ takie, że wszelkie czynniki S - wyprowadzenie re $\ Displaystyle D: {\ mathcal {O}} _ {X} \ do F}$ jako ${\ Displaystyle D = \ alfa \ circ d}$ z niektórymi ${\ Displaystyle \ alpha: \ Omega _ {X / S} \ do F}$ .

W przypadku, gdy $X$ i S są schematami afinicznymi, powyższa definicja oznacza, różniczek Kählera Standardowy sposób konstruowania snopa cotangensa (np. Hartshorne, Ch II. § 8) polega na zastosowaniu morfizmu diagonalnego (co sprowadza się do sklejania modułów różniczek Kählera na wykresach afinicznych w celu uzyskania globalnie zdefiniowanego snopa cotangensa). snop cotangensowy na schemacie X nazywany jest snopem stycznym na X i czasami jest oznaczany przez ${\ displaystyle \ Theta _ {X}}$ .

Istnieją dwie ważne dokładne sekwencje:

1. Jeśli S → T jest morfizmem schematów, to

   ${\ Displaystyle f ^ {*} \ Omega _ {S / T} \ do \ Omega _{X/T}\do \Omega _{X/S}\do 0.}$

2. Jeśli Z jest zamkniętym podschematem X z idealnym snopkiem I , to

   ${\ Displaystyle I/I ^ {2} \ do \ Omega _{X/S}\otimes _{O_{X}}{\mathcal {O}}_{Z}\do \Omega _{Z/S}\do 0.}$

Snop cotangensa jest ściśle związany z gładkością odmiany lub schematu. Na przykład rozmaitość algebraiczna jest gładka o wymiarze n wtedy i tylko wtedy, gdy Ω _X jest lokalnie wolnym snopkiem rzędu n .

Konstrukcja poprzez morfizm diagonalny

Zobacz także: Wiązka kostyczna § Definicja formalna

Niech ${\ displaystyle f: X \ do S}$ będzie morfizmem schematów jak we wstępie i Δ: X → X × _S X morfizmem diagonalnym. Wtedy obraz Δ jest lokalnie domknięty ; tj. domknięty w jakimś otwartym podzbiorze W z X × _S X (obraz jest domknięty wtedy i tylko wtedy, gdy f jest rozdzielone ). Niech I będzie idealnym snopkiem Δ( X ) w W . Następnie umieszcza się:

${\ Displaystyle \ Omega _ {X/S} = \ Delta ^ {*} (I / ja ^ {2})}$

i sprawdza, czy ten snop modułów spełnia wymaganą uniwersalną właściwość cotangensa snopka (Hartshorne, Ch II. Uwaga 8.9.2). Konstrukcja pokazuje w szczególności, że snop cotangensa jest quasi-spójny . Jest spójny, jeśli S jest noetherowskie , a f jest typu skończonego.

Powyższa definicja oznacza, że ​​cotangensowy snop na X jest ograniczeniem do X współnormalnego snopka do ukośnego osadzania X nad S .

Zobacz także: pakiet głównych części

Związek z wiązką linii tautologicznych

Główny artykuł: sekwencja Eulera

Snop kostyczny w przestrzeni rzutowej jest powiązany z wiązką linii tautologicznych O (-1) za pomocą następującej dokładnej sekwencji: pisanie dla przestrzeni rzutowej ${\ displaystyle \ mathbf {P} _ {R} ^ {n}}$ nad pierścieniem R ,

${\ Displaystyle 0 \ do \ Omega _ {\ mathbf {P} _ {R} ^ {n}/R}\to {\mathcal {O}}_{\mathbf {P} _{R}^{n}}(-1)^{\oplus (n+1)}\to {\mathcal {O}}_{\mathbf {P} _{R}^{n}}\do 0.}$

(Zobacz także Chern class#Złożona przestrzeń rzutowa .)

Stos cotangensów

Pojęcie to zob. § 1 ust

A. Beilinson i V. Drinfeld, Quantization of Hitchin's integrable system and Hecke eigensheaves [1] Zarchiwizowane 2015-01-05 w Wayback Machine

Tam stos kostyczny na stosie algebraicznym X jest zdefiniowany jako względny Spec algebry symetrycznej snopka stycznego na X . (Uwaga: ogólnie, jeśli E jest lokalnie wolnym snopem o skończonej randze, ${\ Displaystyle \ mathbf {Spec} (\ operatorname {Sym} ({\ check {E} }))}$ to algebraiczna wiązka wektorów odpowiadająca E. )

Zobacz także: Fibracja Hitchina ( $)$ stos Hitchina

Zobacz też

• kompleks cotangensowy

• „Snop różniczek morfizmu” .
•    Hartshorne, Robin (1977), Geometria algebraiczna , Absolwent Teksty z matematyki , tom. 52, Nowy Jork: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9 , MR 0463157

Linki zewnętrzne

• „Pytania o wiązkę styczną i cotangensową na schematach” . Wymiana stosu . 2 listopada 2014 r.