Lokalnie zamknięty podzbiór

W topologii , gałęzi matematyki, mówi się, że podzbiór przestrzeni topologicznej jest lokalnie zamknięty , jeśli spełniony $displaystyle$ którykolwiek z następujących równoważnych warunków: mi { $E }$

${\ displaystyle E}$ jest przecięciem zbioru otwartego i zbioru zamkniętego w ${\ Displaystyle X.}$
$x$ punktu istnieje sąsiedztwo z $}$ $Displaystyle$ że ${\ Displaystyle E \ cap U}$ zamknięte w ${\ Displaystyle U.}$
${\ displaystyle E}$ jest otwartym podzbiorem jego zamknięcia ${\ Displaystyle {\ overline {E}}.}$
Zbiór $_$ ${\ Displaystyle X.}$ _
${\ displaystyle E}$ jest różnicą dwóch zbiorów zamkniętych w ${\ Displaystyle X.}$
${\ displaystyle E}$ jest różnicą dwóch otwartych zbiorów w ${\ Displaystyle X.}$

Drugi warunek uzasadnia terminologię lokalnie zamkniętą i jest definicją lokalnie zamkniętą Bourbakiego. Aby zobaczyć $że drugi warunek implikuje$ $domknięty$ skorzystaj z faktów, że dla podzbiorów $jest$ wtedy tylko wtedy, ${\ Displaystyle A = {\ overline {A}} \ cap B}$ i to dla podzbioru mi $\ displaystyle E}$ i otwartego podzbioru ${\ Displaystyle U}$ ${\ Displaystyle {\ overline {E}} \ cap U = {\ overline {E \ cap U}} \ cap U.}$

Przykłady

Przedział ${\ Displaystyle (0,1] = (0,2) \ cap [0,1]}$ jest lokalnie zamkniętym podzbiorem ${\ Displaystyle \ mathbb {R}.}$ Jako inny przykład rozważmy względne wnętrze $Displaystyle \ mathbb {R} ^$ dysku w $.}$ Jest lokalnie zamknięte, ponieważ jest to przecięcie zamkniętego dysku i otwartej kuli.

$mi,} wokół$ z definicji podrozmaitość $-rozmaitości$ jest podzbiorem takim, że dla każdego punktu $}$ x $displaystyle x}$ $\$ x { $\ displaystyle x$ niego znajduje się wykres taki, że ${\ Displaystyle \ varphi: U \ do \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ Displaystyle \ varphi (E \ cap U) = \ mathbb {R} ^ {k} \ cap \ varphi (U).}$ Stąd podrozmaitość jest lokalnie zamknięta.

Oto przykład z geometrii algebraicznej. Niech U będzie otwartym wykresem afinicznym na rozmaitości rzutowej X (w topologii Zariskiego). Wtedy każda domknięta podrozmaitość Y z U jest lokalnie domknięta w X ; mianowicie $= U \ cap {\ overline {Y}}}$ $gdzie$ oznacza zamknięcie Y w X . (Zobacz także odmianę quasi-projekcyjną i odmiana quasi-afiniczna ).

Nieruchomości

Skończone przecięcia i obraz wstępny pod ciągłą mapą zbiorów lokalnie domkniętych są lokalnie domknięte. Z drugiej strony suma i dopełnienie podzbiorów lokalnie zamkniętych nie muszą być lokalnie domknięte. (To motywuje pojęcie konstruowalnego zestawu ).

Zwłaszcza w teorii stratyfikacji $($ dla lokalnie zamkniętego podzbioru dopełnienie nazywa się granicą ${\ displaystyle {\ overline {E}} \$ $}$ nie mylić z granicą topologiczną ). Jeśli $podrozmaitością$ z granicą rozmaitości $displaystyle M,}$ wtedy względne wnętrze (to znaczy wnętrze jako rozmaitość) $lokalnie$ domknięte w rozmaitości , a jej granica jako rozmaitości jest taka sama jak jej granica jako rozmaitości lokalnie domkniętej M {\ displaystyle $}$ podzbiór.

Mówimy, że przestrzeń topologiczna jest submaksymalna , jeśli każdy podzbiór jest lokalnie domknięty. Zobacz Glosariusz topologii #S, aby uzyskać więcej informacji na temat tego pojęcia.

Zobacz też

Przestrzeń generowana policzalnie - przestrzeń topologiczna, w której topologia jest określona przez jej policzalne podzbiory

Notatki

Bourbaki, Topologia ogólna , 2007.
Bourbaki, Nicolas (1989) [1966]. Topologia ogólna: rozdziały 1–4 [ Topologie Générale ]. Éléments de mathématique . Berlin Nowy Jork: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64241-1 . OCLC 18588129 .
Engelking, Ryszard (1989). Topologia ogólna . Heldermann Verlag w Berlinie. ISBN 3-88538-006-4 .
Pflaum, Markus J. (2001). Analityczne i geometryczne badanie przestrzeni warstwowych . Notatki z wykładów z matematyki. Tom. 1768. Berlin: Springer. ISBN 3-540-42626-4 . OCLC 47892611 .

Linki zewnętrzne

lokalnie domknięty zbiór w n Lab