Przeliczalnie generowana przestrzeń

W matematyce przestrzeń topologiczna nazywana jest generowaną policzalnie , jeśli topologia jest określona przez policzalne zbiory w podobny sposób, jak topologia przestrzeni sekwencyjnej (lub przestrzeni Frécheta ) $\ displaystyle X$$}$ określone przez zbieżne ciągi.

Przeliczalnie wygenerowane przestrzenie są dokładnie przestrzeniami o przeliczalnej ciasności — dlatego też używana jest nazwa przeliczalnie ciasna .

Definicja

Przestrzeń topologiczna nazywana jest $}$ generowaną, $jest$ dla każdego podzbioru w ${\$$.$ ilekroć dla każdej podprzestrzeni $displaystyle U}$${$ z $displaystyle X}$ \ zbiór jest zamknięty w $displaystyle U}$ Równoważnie, jest generowany $policzalnie$ wtedy i tylko wtedy, gdy zamknięcie dowolnego $podzbiorów$ domknięć wszystkich ${\ Displaystyle A.}$

Policzalna szczelność wentylatora

Przestrzeń topologiczna $ma$ policzalną szczelność wentylatora $Displaystyle A_ {1}, A_$ jeśli dla każdego punktu $ZA$ każdej sekwencji $podzbiorów$ przestrzeni takich, że ${ n}}\,{\overline {A_{n}}}={\overline {A_{1}}}\cap {\overline {A_{2}}}\cap \cdots ,} jest skończony$ zbiór ${\ Displaystyle B_ {1} \ subseteq A_ {1}, B_ {2} \ subseteq A_ {2}, \ ldots}$ takie, że ${\ Displaystyle x \ w {\ overline {{\ textstyle \ bigcup \ ograniczenia _ {n}} \, B_ {n}}} = {\ overline {B_ {1} \ kubek B_ {2} \ kubek \ cdots} }.}$

Przestrzeń topologiczna $ma$ policzalną $A_ {2} } \ ldots }$ silną szczelność wachlarzową jeśli dla każdego punktu $ZA$ każdej sekwencji ${\ Displaystyle X \ w {\ textstyle \ bigcap \ limity _ {n}}\,{\overline {A_{n}}}={\overline {A_{1}}}\cap {\overline {A_{2}}}\cap \cdots ,} są$ przestrzeni ${\ Displaystyle X}$ takie, że punkty ${\ Displaystyle x_ {1} \ w A_ {1}, x_ {2} \ w A_ {2}, \ ldots}$ takie, że ${\ Displaystyle x \ in {\ overline {\ lewo \ {x_ {1}, x_ {2}, \ ldots \ right \}}}.}$ Każda silna przestrzeń Frécheta-Urysohna ma silną policzalną ciasność wachlarza.

Nieruchomości

Iloraz policzalnie generowanej przestrzeni jest ponownie generowany w sposób policzalny. Podobnie generowana jest przeliczalnie topologiczna suma przestrzeni generowanych w sposób policzalny. Dlatego przeliczalnie generowane przestrzenie tworzą podkategorię współzwrotną kategorii przestrzeni topologicznych . Są one rdzeniowo-odblaskowym kadłubem wszystkich policzalnych przestrzeni.

Każda podprzestrzeń przestrzeni generowanej w sposób policzalny jest ponownie generowana w sposób policzalny.

Przykłady

Każda przestrzeń sekwencyjna (w szczególności każda przestrzeń metryzowalna ) jest generowana w sposób policzalny.

Przykład przestrzeni, która jest generowana w sposób policzalny, ale nie sekwencyjny, można uzyskać na przykład jako podprzestrzeń przestrzeni Arens – Fort .

Zobacz też

• Skończenie generowana przestrzeń - przestrzeń topologiczna, w której przecięcie dowolnej rodziny zbiorów otwartych jest otwarte Strony wyświetlające opisy wikidanych jako rozwiązanie awaryjne
• Lokalnie zamknięty podzbiór
• Szczelność (topologia) − Szczelność jest funkcją kardynalną związaną z przeliczalnie generowanymi przestrzeniami i ich uogólnieniami.

• Herrlich, Horst (1968). Topologische Reflexionen und Coreflexionen . Notatki z wykładów z matematyki. 78. Berlin: Springer .

Linki zewnętrzne

• Glosariusz definicji z topologii ogólnej [1]
• https://web.archive.org/web/20040917084107/http://thales.doa.fmph.uniba.sk/density/pages/slides/sleziak/paper.pdf