Podkategoria odblaskowa

W matematyce mówi się , że pełna podkategoria A kategorii B jest refleksyjna w B , gdy funktor inkluzji od A do B ma lewe sprzężenie . To połączenie jest czasami nazywane reflektorem lub lokalizacją . Podwójnie, A jest korefleksyjne w B , gdy funktor inkluzji ma prawe sprzężenie .

Nieformalnie reflektor działa jako rodzaj operacji uzupełniania. Dodaje wszelkie „brakujące” elementy struktury w taki sposób, że ponowne ich odbicie nie daje żadnego efektu.

Definicja

pełna podkategoria A kategorii B jest odblaskowa w B , jeśli dla każdego B - obiektu B istnieje A -obiekt ${B}}$ ${\ Displaystyle r_ {B} \ dwukropek B \ do A_ {B}}$ i B - morfizm takie, że dla każdego B -morfizmu ${\ Displaystyle f \ dwukropek B \ do A}$ do obiektu A istnieje unikalny morfizm A ${\ overline {f}} \ dwukropek A_ { b} \ do A}$ $Displaystyle$ z ${\ Displaystyle {\ overline {f}} \ circ r_ {B} = f}$ .

Para ${\ Displaystyle (A_ {B}, r_ {B})}$ nazywa się A- odbiciem B . Morfizm nazywa się $A$ odbicia. (Chociaż często, ze względu na zwięzłość, mówimy o ${\ displaystyle A_ {B}}$ tylko jako o A -odbiciu B ).

$,$ funktor osadzania jest prawym sprzężeniem Lewy funktor $_$ _ _ _ Mapa $dodatku$ jednostką tego .

Odbłyśnik przypisuje do $}$ A i R $fa$ $displaystyle$ $.$ dla morfizmu B jest przez dojazdów pracy

Jeśli wszystkie strzałki odbicia A są epimorfizmami (ekstremalnymi) , to mówi się, że podkategoria A jest (ekstremalnie) epimorfizmem . Podobnie jest birefleksyjne , jeśli wszystkie strzałki odbicia są bimorfizmami .

$te pojęcia$ szczególnym przypadkiem powszechnego uogólnienia - $refleksyjnej$ , gdzie jest klasą morfizmów.

$Odblaskowy$ A kadłub klasy A obiektów $-odblaskowa$ definiowany jako najmniejsza podkategoria . Możemy więc mówić o kadłubie odblaskowym, kadłubie epirefleksyjnym, kadłubie ekstremalnie epirefleksyjnym itp.

Podkategoria antyrefleksyjna to pełna podkategoria A taka, że jedynymi obiektami B , które mają strzałkę odblaskową A , są te, które już znajdują się w A . ^{[ potrzebne źródło ]}

dualne do wyżej wymienionych pojęć to korelacja, strzałka koryfleksyjna, podkategoria (mono)odblaskowa, kadłub odbiciowy, podkategoria przeciwodblaskowa.

Przykłady

Algebra

Kategoria grup abelowych Ab jest refleksyjną podkategorią kategorii grup , Grp . Odbłyśnik to funktor, który wysyła każdą grupę do jej abelianizacji . Z kolei kategoria grup jest refleksyjną podkategorią kategorii odwrotnych półgrup .
Podobnie kategoria przemiennych algebr asocjacyjnych jest refleksyjną podkategorią wszystkich algebr asocjacyjnych, w których reflektor ilorazuje przez ideał komutatora . Jest to wykorzystywane w konstrukcji algebry symetrycznej z algebry tensorowej .
Podwójnie, kategoria anty-przemiennych algebr asocjacyjnych jest refleksyjną podkategorią wszystkich algebr asocjacyjnych, w których reflektor ilorazuje ideał anty-komutatora. Jest to wykorzystywane w konstrukcji algebry zewnętrznej z algebry tensorowej.
Kategoria pól jest refleksyjną podkategorią kategorii domen integralnych (z iniekcyjnymi homomorfizmami pierścienia jako morfizmami). Odbłyśnik jest funktorem, który wysyła każdą domenę całkową do jej pola ułamków .
Kategoria abelowych grup skrętnych jest podkategorią współodblaskową kategorii grup abelowych. Coreflector to funktor wysyłający każdą grupę do jej podgrupy torsyjnej .
Kategorie elementarnych grup abelowych , abelowych grup p i grup p są refleksyjnymi podkategoriami kategorii grup, a jądra map odbicia są ważnymi przedmiotami badań; zobacz twierdzenie o podgrupach ogniskowych .
Kategoria grup jest współrefleksyjną podkategorią kategorii monoidów : prawy sprzężony odwzorowuje monoid na jego grupę jednostek .

Topologia

₀ Kategoria przestrzeni Kołmogorowa ( przestrzeni T) jest refleksyjną podkategorią Top , kategorią przestrzeni topologicznych , a iloraz Kołmogorowa jest reflektorem.
Kategoria całkowicie regularnych przestrzeni CReg jest refleksyjną podkategorią Top . Biorąc iloraz Kołmogorowa, widać, że podkategoria przestrzeni Tychonowa jest również refleksyjna.
Kategoria wszystkich zwartych przestrzeni Hausdorffa jest refleksyjną podkategorią kategorii wszystkich przestrzeni Tychonowa (i kategorii wszystkich przestrzeni topologicznych). Odbłyśnik daje zagęszczenie Stone-Čech .
Kategoria wszystkich kompletnych przestrzeni metrycznych z jednostajnie ciągłymi odwzorowaniami jest refleksyjną podkategorią kategorii przestrzeni metrycznych . Odbłyśnik jest uzupełnieniem przestrzeni metrycznej na przedmiotach i przedłużeniem o gęstość na strzałkach.
Kategoria snopów jest refleksyjną podkategorią snopów wstępnych w przestrzeni topologicznej. Odbłyśnikiem jest snopa, która przypisuje snopowi wstępnemu snop odcinków wiązki jego zarodków.

Analiza funkcjonalna

Kategoria przestrzeni Banacha jest refleksyjną podkategorią kategorii przestrzeni unormowanych i ograniczonych operatorów liniowych . Reflektor jest funktorem uzupełniania normy.

Teoria kategorii

Dla dowolnego miejsca Grothendiecka ( C , J ) topos snopów na ( C , J ) jest refleksyjną podkategorią toposu snopów wstępnych na C , ze specjalną dodatkową właściwością , że funktor reflektora pozostaje dokładny . Odbłyśnikiem jest funktor szefafikacyjny a : Presh( C ) → Sh( C , J ) i para sprzężona ( a , i ) jest ważnym przykładem morfizmu geometrycznego w teorii toposu.

Nieruchomości

Składniki counit są izomorfizmami .
Jeśli D jest refleksyjną podkategorią C , to funktor inkluzji D → C tworzy wszystkie granice obecne w C .
Odblaskowa podkategoria ma wszystkie współgranice obecne w kategorii otoczenia.
Monada indukowana przez dodatek reflektor/lokalizacja jest idempotentna.

Notatki

Adamek, Jiří; Horsta Herrlicha; George'a E. Streckera (1990). Kategorie abstrakcyjne i konkretne (PDF) . Nowy Jork: John Wiley & Sons .
Peter Freyd , Andre Scedrov (1990). Kategorie, alegorie . Biblioteka matematyczna, tom 39. Holandia Północna . ISBN 978-0-444-70368-2 .
Herrlich, Horst (1968). Topologische Reflexionen und Coreflexionen . Notatki z wykładów z matematyki. 78. Berlin: Springer .
Mark V. Lawson (1998). Półgrupy odwrotne: teoria symetrii cząstkowych . Świat naukowy. ISBN 978-981-02-3316-7 .