Twierdzenie o podgrupach ogniskowych

W algebrze abstrakcyjnej twierdzenie o podgrupach ogniskowych opisuje fuzję elementów w podgrupie Sylowa grupy skończonej . Twierdzenie o podgrupach ogniskowych zostało wprowadzone w ( Higman 1953 ) i jest „pierwszym głównym zastosowaniem przeniesienia” według ( Gorenstein, Lyons & Solomon 1996 , s. 90). Twierdzenie o podgrupach ogniskowych odnosi się do idei transferu i fuzji, jak opisano w ( Grün 1936 ). Różne zastosowania tych pomysłów obejmują lokalne kryteria p -nilpotencji i różne kryteria nieproste , skupiające się na wykazaniu, że skończona grupa ma podgrupę normalną o indeksie p .

Tło

Twierdzenie o podgrupach ogniskowych dotyczy kilku linii badań w teorii grup skończonych: podgrupy normalne o indeksie potęgi p , homomorfizm przenoszenia i fuzja elementów.

Podgrupy

Następujące trzy podgrupy normalne o indeksie potęgi p są zdefiniowane w sposób naturalny i powstają jako najmniejsze podgrupy normalne, takie że iloraz jest (pewnego rodzaju) grupą p . Formalnie są jądrami refleksji nad refleksyjną podkategorią grup p (odpowiednio elementarne abelowe grupy p , abelowe grupy p ).

• E ^p ( G ) jest częścią wspólną wszystkich podgrup indeksu p normalnych; G / E ^p ( G ) jest elementarną grupą abelową i jest największą elementarną abelową grupą p , na którą nakłada się G.
• A ^p ( G ) (notacja z ( Isaacs 2008 , 5D, s. 164)) jest przecięciem wszystkich normalnych podgrup K takich, że G / K jest abelową grupą p (tj. K jest indeksem $k}} normalna podgrupa$${\ displaystyle p$ ^ { $sol$ która zawiera grupę pochodną ): / ( ) jest największą abelową grupą p niekoniecznie elementarną), na ^której G surjects.
• O ^p ( sol ) jest przecięciem wszystkich normalnych podgrup K z G takich, że G / K jest (prawdopodobnie nieabelową) grupą p (tj. K jest indeksem normalnym ${\ displaystyle p ^ {k}}$ podgrupa): G / O ^p ( G ) jest największą grupą p (niekoniecznie abelową), na którą nakłada się G. Op ( G ) jest również znana jako ^podgrupa p- resztkowa .

Po pierwsze, ponieważ są to słabsze warunki na grupach K, otrzymuje się zawieranie ${\ Displaystyle \ mathbf {E} ^ {p} (G) \ supseteq \ mathbf {A} ^ {p} (G) \ supseteq \ mathbf {O} ^ {p} (G).} Są one dalej powiązane$ jako :

ZA ^p ( sol ) = O ^p ( sol ) [ sol , sol ].

Op ( G ) ma następującą alternatywną charakterystykę, ponieważ podgrupa generowana przez wszystkie Sylow q -podgrupy G jako q ≠ p ^rozciąga się na pierwszych dzielnikach rzędu G różnych od p .

Op ( G ) służy do określenia dolnej serii p G , podobnie jak górna seria p ^opisana w p-core .

Przenieś homomorfizm

Główny artykuł: Transfer (teoria grup)

Homomorfizm transferu jest homomorfizmem, który można zdefiniować z dowolnej grupy G do grupy abelowej H /[ H , H ] zdefiniowanej przez podgrupę H ≤ G o skończonym indeksie , czyli [ G : H ] < ∞. Mapa przejścia ze skończonej grupy G do jej podgrupy Sylow p ma jądro , które jest łatwe do opisania:

Jądro homomorfizmu przeniesienia ze skończonej grupy G do jej Sylowa p -podgrupy P ma jądro A ^p ( G ), ( Isaacs 2008 , Theorem 5.20, s. 165).

Innymi słowy, „oczywisty” homomorfizm na abelową grupę p jest w rzeczywistości najbardziej ogólnym takim homomorfizmem.

Połączenie

Wzorzec fuzji podgrupy H w G jest relacją równoważności na elementach H , gdzie dwa elementy h , k z H są skondensowane , jeśli są G -koniugatami, to znaczy, jeśli jest jakieś g w G takie, że h = k ^g . Normalna struktura G ma wpływ na wzór fuzji jego podgrup p Sylow i odwrotnie, wzór fuzji jego podgrup p Sylow ma wpływ na normalną strukturę G ( Gorenstein, Lyons & Solomon 1996 , s. 89).

Podgrupa ogniskowa

Można zdefiniować, jak w ( Isaacs 2008 , s. 165) ogniskową podgrupę H w odniesieniu do G jako:

Foc _sol ( H. ) = ⟨ x ^-1 y | x , y w H i x jest G - sprzężone z y ⟩.

Ta ogniskowa podgrupa mierzy stopień, w jakim elementy H łączą się w G , podczas gdy poprzednia definicja mierzyła pewne abelowe homomorficzne obrazy grupy p grupy G . Treść twierdzenia o podgrupie ogniskowej polega na tym, że te dwie definicje podgrupy ogniskowej są zgodne.

( Gorenstein 1980 , s. 246) pokazuje, że ogniskowa podgrupa P w G jest przecięciem P ∩ [ G , G ] podgrupy p Sylowa P grupy skończonej G z podgrupą pochodną [ G , G ] G . Podgrupa ogniskowa jest ważna, ponieważ jest to podgrupa Sylowa p podgrupy pochodnej. Otrzymuje się również następujący wynik:

G Istnieje normalna podgrupa ^K z G / K abelową grupą p izomorficzną z ( P / P ∩ [ G , G ] ( tutaj K oznacza Ap G )), a

jeśli K jest normalną podgrupą G z G / K abelowa grupa p, wtedy P ∩[ G , G ] ≤ K , a G / K jest homomorficznym obrazem P / P ∩ [ G , G ], ( Gorenstein 1980 , Theorem 7.3.1, s. 90 ).

Stwierdzenie twierdzenia

Podgrupa ogniskowa skończonej grupy G z Sylowem p -podgrupa P jest dana wzorem:

P. ∩[ sol , sol. ] = P. ∩ ZA ^p ( sol ) = P. ∩ker( v ) = Foc _sol ( P. ) = ⟨ x ⁻¹ y | x , y w P i x jest G - sprzężone z y ⟩

gdzie v jest homomorfizmem przeniesienia z G do P /[ P , P ], ( Isaacs 2008 , Theorem 5.21, s. 165).

Historia i uogólnienia

Ten związek między przeniesieniem a fuzją przypisuje się ( Higman 1958 ) , gdzie w innym języku udowodniono twierdzenie o podgrupach ogniskowych wraz z różnymi uogólnieniami. Wymóg, aby G / K był abelowy, został odrzucony, więc Higman badał również O ^p ( G ) i nilpotentną resztę γ _∞ ( G ), jako tak zwane podgrupy hiperfokalne . Higman również nie ograniczał się do pojedynczej liczby pierwszej p , ale raczej dopuszczał grupy π dla zbiorów liczb pierwszych π i użył twierdzenia Philipa Halla o podgrupach Halla , aby udowodnić podobne wyniki dotyczące przeniesienia do podgrup Halla π ; biorąc π = { p } podgrupa Halla π jest podgrupą p Sylowa , a wyniki Higmana są takie, jak przedstawiono powyżej.

Zainteresowanie hiperfokalnymi podgrupami zostało odnowione przez pracę ( Puig 2000 ) nad zrozumieniem modułowej teorii reprezentacji pewnych dobrze zachowujących się bloków. Hiperfokalną podgrupę P w G można zdefiniować jako P ∩γ _∞ ( G ), to znaczy jako p -podgrupę Sylowa nilpotentnej reszty G . Jeśli P jest p -podgrupą Sylowa skończonej grupy G , to otrzymuje się twierdzenie o standardowej podgrupie ogniskowej:

P ∩γ _∞ ( G ) = P ∩ O ^p ( G ) = ⟨ x ⁻¹ y : x , y w P i y = x ^g dla pewnego g w G rzędu względnie pierwszych do p ⟩

i charakterystyka lokalna:

P ∩ O ^p ( sol ) = ⟨ x ⁻¹ y : x , y w Q ≤ P i y = x ^g dla pewnego g w NG ₍ Q ) rzędu względnie pierwszych do p ⟩.

Można to porównać do lokalnej charakterystyki podgrupy ogniskowej jako:

P ∩ ZA ^p ( sol ) = ⟨ x ⁻¹ y : x , y w Q ≤ P i y = x ^g dla pewnego g w N _sol ( Q ) ⟩.

Puig jest zainteresowany uogólnieniem tej sytuacji na układy fuzyjne , kategoryczny model wzorca fuzji podgrupy p Sylowa w odniesieniu do grupy skończonej, który również modeluje wzór fuzji grupy defektów bloku p w reprezentacji modułowej teoria. W rzeczywistości systemy fuzyjne znalazły wiele zaskakujących zastosowań i inspiracji w obszarze topologii algebraicznej znanej jako teoria homotopii ekwiwariantnych . Niektóre z głównych twierdzeń algebraicznych w tej dziedzinie mają obecnie tylko dowody topologiczne.

Inne charakteryzacje

Różni matematycy przedstawili metody obliczania podgrupy ogniskowej z mniejszych grup. Na przykład wpływowa praca ( Alperin 1967 ) rozwija ideę lokalnej kontroli syntezy jądrowej, a jako przykład aplikacji pokazuje, że:

P ∩ A ^p ( G ) jest generowane przez podgrupy komutatora [ Q , NG ₍ Q ) ], gdzie Q zmienia się w rodzinie C podgrup P

Wyboru rodziny C można dokonać na wiele sposobów ( C jest tak zwaną „rodziną słabej koniugacji” w ( Alperin 1967 )) i podano kilka przykładów: można przyjąć, że C to wszystkie nietożsamościowe podgrupy P , lub mniejszy wybór tylko przecięć Q = P ∩ P ^g dla g w G _{g ^,} w którym NP ₍ Q ) i NP ( Q ) są obie Sylow p -podgrupami NG ₍ Q ) . Ten ostatni wybór jest dokonywany w ( Gorenstein 1980 , Theorem 7.4.1, s. 251). Praca ( Grün 1935 ) badała również aspekty transferu i fuzji, czego wynikiem było pierwsze twierdzenie Grün :

P ∩ A ^p ( G ) jest generowane przez P ∩ [ N , N ] i P ∩ [ Q , Q ] gdzie N = N _G ( P ) i Q rozpiętości w zbiorze Sylow p -podgrupy Q = P ^g z G ( Gorenstein 1980 , Twierdzenie 7.4.2, s. 252).

Aplikacje

Prezentacje podręcznikowe w ( Rose 1978 , s. 254–264) , ( Isaacs 2008 , Chapter 5), ( Hall 1959 , Chapter 14), ( Suzuki 1986 , §5.2, s. 138–165), wszystkie zawierają różne zastosowania twierdzenia o podgrupach ogniskowych dotyczące fuzji, przenoszenia i pewnego rodzaju rozszczepienia zwanego p -nilpotencją .

W trakcie twierdzenia Alperina – Brauera – Gorensteina, klasyfikującego skończone grupy proste z quasi-dwuściennymi 2-podgrupami Sylowa, konieczne staje się rozróżnienie czterech typów grup z quasi-dwuściennymi 2-podgrupami Sylowa: 2-nilpotentne grupy, Q grupy typu D, których ogniskową podgrupą jest uogólniona grupa kwaternionów o indeksie 2, grupy typu D , których ogniskową podgrupą jest grupa dwuścienna o indeksie 2, oraz grupy typu QD , których ogniskową podgrupą jest cała grupa quasi-dwuścienna. Jeśli chodzi o fuzję, grupy 2-nilpotentne mają 2 klasy inwolucji i 2 klasy cyklicznych podgrup rzędu 4; typ Q ma 2 klasy inwolucji i jedną klasę podgrup cyklicznych rzędu 4; typ QD ma po jednej klasie inwolucji i podgrup cyklicznych rzędu 4. Innymi słowy, skończone grupy z quasi-dwuściennymi podgrupami Sylowa 2 można sklasyfikować zgodnie z ich ogniskową podgrupą lub równoważnie, zgodnie z ich wzorcami fuzji. Wyraźne listy grup z każdym wzorcem fuzji są zawarte w ( Alperin, Brauer & Gorenstein 1970 ).

Notatki

•    Alperin, JL (1967), „Sylow przecięcia i fuzja”, Journal of Algebra , 6 (2): 222–241, doi : 10.1016 / 0021-8693 (67) 90005-1 , ISSN 0021-8693 , MR 0215913
•     Alperin, JL ; Brauer, R .; Gorenstein, D. (1970), „Grupy skończone z quasi-dwuściennymi i splecionymi podgrupami Sylowa 2”, Transactions of the American Mathematical Society , American Mathematical Society , 151 (1): 1–261, doi : 10.2307/1995627 , ISSN 0002-9947 , JSTOR 1995627 , MR 0284499
•    Gorenstein, D. (1980), Grupy skończone , Nowy Jork: Chelsea, ISBN 978-0-8284-0301-6 , MR 0569209
•    Gorenstein, D .; Lyons, Richard; Solomon, Ronald (1996), Klasyfikacja skończonych grup prostych. Numer 2. Część I. Rozdział G , Przeglądy i monografie matematyczne, tom. 40, Providence, RI: Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne , ISBN 978-0-8218-0390-5 , MR 1358135
•    Grün, Otto (1936), "Beiträge zur Gruppenteorie. I." , Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (w języku niemieckim), 174 : 1–14, ISSN 0075-4102 , Zbl 0012.34102
•   Hall, Marshall, Jr. (1959), Teoria grup , Nowy Jork: Macmillan, MR 0103215
•    Higman, Donald G. (1953), „Serie ogniskowe w grupach skończonych”, Canadian Journal of Mathematics , 5 : 477–497, doi : 10.4153/cjm-1953-055-5 , ISSN 0008-414X , MR 0058597
•   Isaacs, I. Martin (2008), Teoria grup skończonych , Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne , ISBN 978-0-8218-4344-4
•     Puig, Lluis (2000), „Hiperfokalna podalgebra bloku”, Inventiones Mathematicae , 141 (2): 365–397, doi : 10.1007 / s002220000072 , ISSN 0020-9910 , MR 1775217 , S2CID 122330778
•    Rose, John S. (1994) [1978], Kurs teorii grup , New York: Dover Publications , ISBN 978-0-486-68194-8 , MR 0498810
•    Suzuki, Michio (1986), Teoria grup. II , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Podstawowe zasady nauk matematycznych], tom. 248, Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-10916-9 , MR 0815926