Normalny dopełniacz p

W matematycznej teorii grup normalne p-dopełnienie skończonej grupy dla liczby pierwszej p jest normalną podgrupą rzędu względnie pierwszego do p i indeksem potęgi p . Innymi słowy, grupa jest półbezpośrednim iloczynem normalnego p -dopełniacza i dowolnej p -podgrupy Sylowa . Grupę nazywamy p-nilpotentną , jeśli ma normalne p -dopełnienie.

Twierdzenie Cayleya o normalnym 2-dopełnieniu

Cayley wykazał, że jeśli podgrupa Sylow 2 grupy G jest cykliczna , to grupa ma normalne uzupełnienie 2, co pokazuje, że podgrupa Sylow 2 prostej grupy parzystego rzędu nie może być cykliczna.

Twierdzenie Burnside'a o normalnym p-dopełnieniu

Burnside ( 1911 , Theorem II, sekcja 243) wykazał, że jeśli podgrupa p Sylowa grupy G znajduje się w środku swojego normalizatora, to G ma normalne p -dopełnienie. Oznacza to, że jeśli p jest najmniejszą liczbą pierwszą dzielącą rząd grupy G , a podgrupa Sylowa p jest cykliczna, to G ma normalne p -dopełnienie.

Twierdzenie Frobeniusa o normalnym p-dopełniaczu

Frobeniusa o normalnym p -dopełnieniu jest wzmocnieniem twierdzenia Burnside'a o normalnym p -dopełnieniu, które stwierdza, że jeśli normalizator każdej nietrywialnej podgrupy p - podgrupy Sylowa G ma normalne p -dopełnienie, to G również . Dokładniej, następujące warunki są równoważne:

G ma normalne dopełnienie p
Normalizator każdej nietrywialnej p -podgrupy ma normalne p -dopełnienie
Dla każdej podgrupy p Q , grupa N _G ( Q )/CG ₍ Q ) jest grupą p .

Twierdzenie Thompsona o normalnym uzupełnieniu p

Frobeniusa o normalnym p -dopełnieniu pokazuje, że jeśli każdy normalizator nietrywialnej podgrupy p -podgrupy Sylowa ma normalne p -dopełnienie, to G . W zastosowaniach często przydatna jest mocniejsza wersja, w której zamiast używać wszystkich nietrywialnych podgrup p -podgrupy Sylowa, używa się tylko nietrywialnych podgrup charakterystycznych. Dla liczb pierwszych nieparzystych p Thompson znalazł takie wzmocnione kryterium: właściwie nie potrzebował wszystkich charakterystycznych podgrup, a tylko dwie specjalne.

Thompson (1964) wykazał, że jeśli p jest nieparzystą liczbą pierwszą i obie grupy N(J( P )) i C(Z( P )) mają normalne p -dopełnienia dla podgrupy Sylow P z G , to G ma normalną p - dopełnienie.

W szczególności, jeśli normalizator każdej nietrywialnej charakterystycznej podgrupy P ma normalne p -dopełnienie, to G również . Ta konsekwencja jest wystarczająca dla wielu zastosowań.

Wynik nie powiedzie się dla p = 2, ponieważ prosta grupa PSL ₂ ( F ₇ ) rzędu 168 jest kontrprzykładem.

Thompson (1960) podał słabszą wersję tego twierdzenia.

Twierdzenie Glaubermana o normalnym uzupełnieniu p

Thompsona o normalnym p -dopełnieniu stosowało warunki dla dwóch szczególnych charakterystycznych podgrup p -podgrupy Sylowa . Glauberman jeszcze bardziej to poprawił, pokazując, że wystarczy użyć tylko jednej charakterystycznej podgrupy: centrum podgrupy Thompsona.

Glauberman (1968) użył swojego twierdzenia ZJ do udowodnienia twierdzenia o normalnym p -dopełnieniu, że jeśli p jest nieparzystą liczbą pierwszą i normalizator Z(J(P)) ma normalne p -dopełnienie, dla P a Sylow p -podgrupa G , to także G . Tutaj Z oznacza środek grupy, a J podgrupę Thompsona .

Wynik nie powiedzie się dla p = 2, ponieważ prosta grupa PSL ₂ ( F ₇ ) rzędu 168 jest kontrprzykładem.

Burnside, William (1911) [1897], Teoria grup skończonego porządku (wyd. 2), Cambridge University Press , ISBN 978-1-108-05032-6 , MR 0069818 Przedrukowany przez Dover 1955
Glauberman, George (1968), „Charakterystyczna podgrupa grupy p-stabilnej” , Canadian Journal of Mathematics , 20 : 1101–1135, doi : 10.4153/cjm-1968-107-2 , ISSN 0008-414X , MR 0230807
Gorenstein, D. (1980), grupy skończone (wyd. 2), Nowy Jork: Chelsea Publishing Co., ISBN 978-0-8284-0301-6 , MR 0569209
Thompson, John G. (1960), „Normalne p-dopełniacze dla skończonych grup”, Mathematische Zeitschrift , 72 : 332–354, doi : 10.1007/BF01162958 , ISSN 0025-5874 , MR 0117289 , S2CID 120848984
Thompson, John G. (1964), „Normalne p-dopełniacze dla grup skończonych”, Journal of Algebra , 1 : 43–46, doi : 10.1016/0021-8693 (64) 90006-7 , ISSN 0021-8693 , MR 0167521