Kategoria przestrzeni metrycznych

W teorii kategorii Met jest kategorią , której obiektami są przestrzenie metryczne , a morfizmami są mapy metryczne ( funkcje ciągłe między przestrzeniami metrycznymi, które nie zwiększają żadnej odległości parami) . Jest to kategoria, ponieważ kompozycja dwóch map metrycznych jest znowu mapą metryczną. Po raz pierwszy została rozważona przez Isbell (1964) .

Strzały

Monomorfizmy w Met to iniekcyjne mapy metryczne. Epimorfizmy to mapy metryczne, dla których dziedzina mapy ma gęsty obraz w zakresie . Izomorfizmami są izometrie , tj. odwzorowania metryczne, które są iniekcyjne, surjektywne i zachowujące odległość.

Na przykład włączenie liczb wymiernych do liczb rzeczywistych jest monomorfizmem i epimorfizmem, ale wyraźnie nie jest izomorfizmem; ten przykład pokazuje, że Met nie jest zrównoważoną kategorią .

Obiekty

Pusta przestrzeń metryczna jest początkowym obiektem Met ; każda singletonowa przestrzeń metryczna jest obiektem końcowym . Ponieważ obiekt początkowy i obiekty końcowe różnią się, w Met nie ma obiektów zerowych .

Obiekty iniekcyjne w Met nazywane są iniekcyjnymi przestrzeniami metrycznymi . Przestrzenie metryczne iniekcyjne zostały wprowadzone i zbadane jako pierwsze przez Aronszajna i Panitchpakdi (1956) , przed badaniem Met jako kategorii; można je również zdefiniować wewnętrznie w kategoriach właściwości Helly'ego ich kul metrycznych iz powodu tej alternatywnej definicji Aronszajn i Panitchpakdi nazwali te przestrzenie przestrzeniami hiperwypukłymi . Każda przestrzeń metryczna ma najmniejszą iniekcyjną przestrzeń metryczną, w której można ją izometrycznie osadzić , zwaną obwiednią metryczną lub ciasną rozpiętością .

Produkty i funktory

Iloczyn skończonego zbioru przestrzeni metrycznych w Met jest przestrzenią metryczną, której punktami jest iloczyn kartezjański przestrzeni; odległość w przestrzeni iloczynu jest określona przez supremum odległości w przestrzeniach bazowych. Oznacza to, że jest to metryka iloczynu z normą sup . Jednak iloczyn nieskończonego zbioru przestrzeni metrycznych może nie istnieć, ponieważ odległości w przestrzeniach bazowych mogą nie mieć supremum. Oznacza to, że Met nie jest kategorią kompletną , ale jest skończenie kompletna. W Met nie ma współproduktu .

Zapominalski funktor Met → Set przypisuje każdej przestrzeni metrycznej leżący u jej podstaw zbiór jej punktów i przypisuje do każdej mapy metrycznej leżącą u jej podstaw funkcję teorii mnogości. Ten funktor jest wierny , a zatem Met jest kategorią konkretną .

Powiązane kategorie

Met nie jest jedyną kategorią, której obiektami są przestrzenie metryczne; inne obejmują kategorię funkcji jednostajnie ciągłych , kategorię funkcji Lipschitza i kategorię odwzorowań quasi-Lipschitza. Mapy metryczne są zarówno jednolicie ciągłe, jak i mapy Lipschitza, przy czym stała Lipschitza wynosi co najwyżej jeden.

Zobacz też

• Kategoria grup – kategoria w matematyce Strony wyświetlające opisy wikidanych jako rozwiązanie awaryjne
• Kategoria zbiorów - Kategoria w matematyce, w której obiekty są zbiorami
• Kategoria przestrzeni topologicznych – duża kategoria, której obiektami są przestrzenie topologiczne, a morfizmami są mapy ciągłe Strony wyświetlające opisy wikidanych jako rozwiązanie awaryjne
• Kategoria przestrzeni topologicznych z punktem bazowym – Przestrzeń topologiczna z wyróżnionym punktem Strony wyświetlające krótkie opisy celów przekierowania
• Kategoria topologicznych przestrzeni wektorowych – Kategoria topologiczna

• Aronszajn, N. ; Panitchpakdi, P. (1956), „Rozszerzenia jednostajnie ciągłych przekształceń i hiperwypukłych przestrzeni metrycznych” , Pacific Journal of Mathematics , 6 (3): 405–439, doi : 10.2140/pjm.1956.6.405 .
•   Deza, Michel Marie ; Deza, Elena (2009), „Kategoria przestrzeni metrycznych”, Encyklopedia odległości , Springer-Verlag, s. 38, ISBN 9783642002342 .
•   Isbell, JR (1964), „Sześć twierdzeń o iniekcyjnych przestrzeniach metrycznych” , Komentarz. Matematyka Helv. , 39 (1): 65–76, doi : 10.1007/BF02566944 , S2CID 121857986 .