Morfizm diagonalny (geometria algebraiczna)

W geometrii algebraicznej, biorąc pod uwagę morfizm schematów, morfizm przekątny ${\ Displaystyle p: X \ do S}$

{\ Displaystyle \ delta: X \ do X \ razy _ {S} X}

jest morfizmem określonym przez uniwersalną właściwość produktu włóknistego ${\ Displaystyle X \ razy _ {S} X}$ p i p zastosowanych do tożsamości $Displaystyle 1_ {X}: X \ do X}$ \ i tożsamość ${\ displaystyle 1_ {X}}$ .

Jest to szczególny przypadek morfizmu wykresu : biorąc pod uwagę morfizm nad $\times _ {S} Y}$ jego $morfizm wykresu$ to X $X \ do$ indukowane przez i tożsamość $displaystyle$ $1_ {X}}$ . Osadzenie po przekątnej $wykresu$ .

Z definicji $diagonalny$ jest oddzielnym schematem nad S ( jest oddzielnym morfizmem ) jeśli morfizm zamkniętym Ponadto morfizm $morfizmem$ skończonej prezentacji jest nierozgałęzionym jest zanurzeniem otwartym.

Wyjaśnienie

Jako przykład rozważmy rozmaitość algebraiczną nad algebraicznie zamkniętym polem k i mapą struktury ${\ Displaystyle p: X \ do \ operatorname {Spec} (k)} .$ Następnie, identyfikując X ze zbiorem jego k -racjonalnych punktów, ${\ Displaystyle X \ razy _ {k} X = \ {(x, y) \ w X \ razy X \}}$ i ${\ Displaystyle \ delta: X \ do X \ razy _ {k} X}$ jest podane jako ${\ Displaystyle x \ mapsto (x,x)}$ ; stąd nazwa morfizm diagonalny.

Oddzielny morfizm

Oddzielony morfizm $produkt$ morfizm taki, że włóknisty ze sobą wzdłuż ma swoją przekątną jako zamknięty $f$ - innymi słowy, morfizm przekątny jest fa {\ $}$ zanurzenie zamknięte .

$iloczynu$ konsekwencji schemat jest oddzielony $samą sobą$ gdy przekątna wewnątrz schematu $jest$ zamkniętym zanurzeniem . $,$ względny punkt widzenia, można równoważnie zdefiniować schemat, który ma zostać rozdzielony oddzielony

Zauważ, że przestrzeń topologiczna Y jest przestrzenią Hausdorffa , jeśli zanurzenie diagonalne

{\ Displaystyle Y {\ stackrel {\ Delta} {\ longrightarrow}} Y \ razy Y, \, y \ mapsto (y, y)}

zamknięte. W geometrii algebraicznej powyższe sformułowanie jest używane, ponieważ schemat będący przestrzenią Hausdorffa jest z konieczności pusty lub zerowymiarowy. Różnica między kontekstem topologicznym a algebro-geometrycznym wynika z topologicznej struktury produktu światłowodowego (w kategorii schematów) ${\ Displaystyle X \ razy _ {{\ textrm {Spec}} (\ mathbb {Z} )}X}$ , co różni się od iloczynu przestrzeni topologicznych.

Dowolny schemat afiniczny Spec A jest oddzielony, ponieważ przekątna odpowiada surjektywnej mapie pierścieni (stąd zamknięte zanurzenie schematów):

${\ Displaystyle A \ czasami _ {\ mathbb {Z}} A \ strzałka w prawo A, a \ czasami a'\ mapsto a \ cdot a'}$ .

Niech $będzie$ schematem uzyskanym przez identyfikację dwóch linii afinicznych na mapie tożsamości, z wyjątkiem początków (patrz klejenia # Przykłady ). Nie jest oddzielony. $.$ , obraz obrazu morfizmu diagonalnego dwa źródła, podczas gdy jego zamknięcie

Zastosowanie w teorii przecięć

Klasycznym sposobem zdefiniowania iloczynu przecięcia cykli algebraicznych na gładkiej rozmaitości X $jest$ przecięcie (ograniczenie) ich iloczynu kartezjańskiego z (do) przekątną

{\ Displaystyle A \ cdot B = \ delta ^ {*} (A \ razy B)}

gdzie $jest$ wycofaniem wzdłuż ukośnego osadzania ${\ Displaystyle \ delta: X \ do X \ razy$ .

Zobacz też

Hartshorne, Robin (1977), Geometria algebraiczna , Absolwent Teksty z matematyki , tom. 52, Nowy Jork: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9 , MR 0463157