Regularne osadzanie

W $r,$ algebraicznej zamknięte zanurzenie schematów jest regularnym osadzeniem współwymiaru jeśli każdy punkt X ma otwarte sąsiedztwo afiniczne U w Y takie ideał jest generowany przez regularną sekwencję o długości r. ${\ displaystyle X \ cap U}$ . Regularne osadzenie współwymiaru jeden jest właśnie efektywnym dzielnikiem Cartiera .

Przykłady i użycie

Na przykład, jeśli X i Y są gładkie na schemacie S i jeśli i jest S -morfizmem, to i jest regularnym osadzeniem. W szczególności każda sekcja gładkiego morfizmu jest regularnym osadzeniem. Jeśli ${\ displaystyle \ operatorname {Spec} B}$ jest regularnie osadzony w regularnym schemacie , to B jest kompletnym pierścieniem przecięcia .

Pojęcie to jest używane na przykład w istotny sposób w podejściu Fultona do teorii przecięć . Ważnym faktem jest to, że gdy $.$ jest regularnym osadzeniem, jeśli jest idealnym snopkiem X w Y , to normalny snop , podwójny lokalnie wolny (a więc wiązka wektorów) i naturalna mapa ${\ Displaystyle \ nazwa operatora {Sym} (I / ja ^ {2}) \ do \ oplus _ {0} ^ {\ infty} ja ^ {n} / ja ^ {n + 1} }$ jest izomorfizmem: stożek normalny ${\ Displaystyle \ operatorname {Spec} (\ oplus _ {0} ^ {\ infty} I ^ {n} / I ^ { n+1})}$ pokrywa się z normalnym pakietem.

Brak przykładów

Jednym nie-przykładem jest schemat, który nie jest równowymiarowy. Na przykład schemat

{\ Displaystyle X = {\ tekst {Spec}} \ lewo ({\ Frac {\ mathbb {C} [x, y, z ]}{(xz,yz)}}\prawo)}

jest sumą i ${\ Displaystyle$ ${1}}$ . Następnie osadzanie nie jest regularne, ponieważ wzięcie dowolnego punktu innego niż punkt początkowy na ${3}$ - ma wymiar $} \ displaystyle 1}$ $\ Displaystyle X \ hookrightarrow \ mathbb {A} ^$ , podczas gdy dowolny punkt niezwiązany z początkiem na płaszczyźnie - ma wymiar ${\ displaystyle xy}$ ${\ Displaystyle 2}$ .

Lokalne morfizmy zupełnych przecięć i wiązki wirtualnych stycznych

Morfizm typu skończonego $każdy$ ( lokalnym) morfizmem pełnego przecięcia, jeśli punkt w X otwarte sąsiedztwo afiniczne U tak, f | _U $}$ jot gdzie j jest regularnym osadzeniem , g gładki . Na przykład, jeśli f jest morfizmem między gładkimi rozmaitościami , to czynniki f są takie, jak ${\ Displaystyle X \ do X \ razy Y \ do Y}$ gdzie pierwsza mapa jest morfizmem wykresu , a więc jest kompletna morfizm przecięcia. Zauważ, że ta definicja jest zgodna z definicją w EGA IV dla szczególnego przypadku płaskich morfizmów .

Niech ${\ Displaystyle f: X \ do Y}$ będzie morfizmem lokalnym-całkowitego przecięcia, który dopuszcza globalną faktoryzację: jest to kompozycja $overset {p} {\ do}} Y}$ ${\ Displaystyle X {\ overset {i {\ hookrightarrow}} P {$ $displaystyle i$ gdzie $}$ jest regularnym osadzeniem, a gładkim morfizmem. Wtedy wirtualna wiązka styczna jest elementem grupy Grothendiecka wiązek wektorowych na X podane jako:

{\ Displaystyle T_ {f} = [i ^ {*} T_ {P / Y}] - [N_ {X/P}]}

,

gdzie ${\ Displaystyle T_ {P/Y} = \ Omega _ {P/Y} ^ {\ vee}}$ jest względnym snopem stycznym ${\ displaystyle p}$ lokalnie wolny, ponieważ $gładki$ ) i jest normalnym snopkiem $\ mathcal {I}} ^ {2})^{\vee}}$ $Displaystyle ({\ mathcal {I}} /$ (gdzie $\ mathcal {I}}}$ $ponieważ$ jest idealnym snopem $regularnym$ , który jest lokalnie darmowy , $.$ osadzeniem

$przecięcia$ bardziej ogólnie, jeśli jest lokalnym morfizmem pełnego schematów, jego cotangensowy kompleks doskonały L $\ Displaystyle L_ {X/Y$ Tor-amplituda [-1,0]. Jeśli ponadto $lokalnie$ lokalnie typu skończonego i Noetherian, to odwrotność jest również $prawdziwa$

Pojęcia te są używane na przykład w twierdzeniu Grothendiecka – Riemanna – Rocha .

Przypadek nienoetherowski

SGA 6 Exposé VII wykorzystuje następującą nieco słabszą postać pojęcia regularnego osadzania, co jest zgodne z przedstawionym powyżej dla schematów noetherowskich:

Po pierwsze, biorąc pod uwagę rzutowy $Koszulem,$ E na pierścieniu przemiennym A , A -liniowa mapa nazywana jest jeśli wyznaczony przez nią kompleks acykliczny > 0 (w konsekwencji jest to rozdzielczość kokernela u ) . Wtedy zamknięte zanurzenie nazywa się Koszul-regularny ${\ Displaystyle X \ hookrightarrow Y}$ jeśli wyznaczony przez nią idealny snop jest taki, że lokalnie istnieje skończony swobodny A -moduł E i regularna suriekcja koszulska od E do idealnego snopka.

To właśnie ta regularność koszulska została wykorzystana w SGA 6 do zdefiniowania lokalnych morfizmów przecięć zupełnych; wskazano tam, że regularność koszulska miała zastąpić definicję podaną wcześniej w tym artykule, która pierwotnie pojawiła się w już opublikowanym EGA IV.

(Pytania te powstają, ponieważ dyskusja na temat dzielników zera jest trudna w przypadku pierścieni nienoetherowskich, ponieważ nie można użyć teorii powiązanych liczb pierwszych).

Zobacz też

zwykły podrozmaitość

Notatki

Grothendieck, Aleksandr ; Dieudonné, Jean (1967). „Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Quatrième partie” . Publikacje Mathématiques de l'IHÉS . 32 : 5–361. doi : 10.1007/bf02732123 . MR 0238860 . , rozdział 16.9, s. 46
Berthelot, Pierre ; Aleksandra Grothendiecka ; Luc Illusie , wyd. (1971). Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1966-67 - Théorie des skrzyżowania et théorème de Riemann-Roch - (SGA 6) (Notatki z wykładów z matematyki 225 ) (w języku francuskim). Berlin; Nowy Jork: Springer-Verlag . XII+700. doi : 10.1007/BFb0066283 . ISBN 978-3-540-05647-8 . MR 0354655 .
Illusie, Luc (1971), Complexe Cotangent et Déformations I , Lecture Notes in Mathematics 239 (po francusku), Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-05686-7
Fulton, William (1998), Teoria przecięć , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. Seria nowoczesnych ankiet z matematyki [Wyniki z matematyki i dziedzin pokrewnych. 3. seria. Seria współczesnych badań matematycznych, tom. 2, Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-62046-4 , MR 1644323 , sekcja B.7
E. Sernesi: Deformacje schematów algebraicznych