Zamknięte zanurzenie

Aby zapoznać się z pojęciem geometrii różniczkowej, zobacz Zanurzenie (matematyka) .

W geometrii algebraicznej zamknięte zanurzenie schematów jest morfizmem $X$ , który identyfikuje Z jako zamknięty podzbiór tak że lokalnie funkcje Z można rozszerzyć X. _ Ten ostatni warunek można sformalizować, mówiąc, że ${\ Displaystyle f ^ {\ #}: {\ mathcal {O}} _ {X} \ rightarrow f_ {\ ast} {\ mathcal {O}}_{Z}}$ jest suriekcją.

Przykładem jest mapa inkluzji ${\ Displaystyle \ nazwa operatora {Spec} (R/I) \ do \ nazwa operatora {Spec} (R)}$ indukowana przez mapę kanoniczną ${\ displaystyle R \ do R / ja}$ .

Inne charakteryzacje

Następujące są równoważne:

1. ${\ displaystyle f: Z \ do X}$ jest zamkniętym zanurzeniem.
2. $} (R) \ podzbiór$$istnieje$ Spec ideał taki, że ${\ Displaystyle f ^ {- 1} (U) = \ operatorname {Spec} (R / I)}$ jako schematy nad U .
3. Istnieje $_$ _ _ istnieje ideał $)$$} (U_ {j}) = \ operatorname {Spec} (R_ {j} / I_ {j})}$ że $f ^$ jako schematy nad ${\ Displaystyle U_ {j}}$ .
4. Istnieje quasi-spójny snop ideałów na X taki, że $fa$$mathcal {O}} _ {Z} \ cong {\ mathcal {O}} _ {X} / {\ mathcal {I}}}$ a f jest izomorfizmem Z na globalną specyfikację O $\ Displaystyle {\ mathcal {O} }_{X}/{\mathcal {I}}}$ nad X .

Definicja przestrzeni z pierścieniami lokalnymi

W przypadku przestrzeni z pierścieniami lokalnymi morfizm $jest$ podobna lista kryteriów

1. Mapa $}$ homeomorfizmem na swoim obrazie ${\ displaystyle Z$
2. Powiązana $_$ _ $_ styl wyświetlania {\ mathcal {I}}}$
3. Jądro jest generowane lokalnie przez sekcje jako moduł $\ mathcal {I}}$${$

Jedynym zmiennym warunkiem jest trzeci. Pouczające jest spojrzenie na kontrprzykład, aby wyczuć, co daje trzeci warunek, patrząc na mapę, która nie jest zamkniętym zanurzeniem, ${\ Displaystyle i: \ mathbb {G} _ {m}\hookrightarrow \mathbb {A} ^{1}}$ gdzie

${\ Displaystyle \ mathbb {G} _ {m} = {\ tekst {Spec}} (\ mathbb {Z} [x, x ^ {-1}] )}$

Jeśli spojrzymy na łodygę ${\ Displaystyle i_ {*} {\ mathcal {O}} _ {\ mathbb {G} _ {m}} |_ {0}} w ∈ ZA 1 {\ Displaystyle 0 \ w \ mathbb {$ A $1 }}$ wtedy nie ma sekcji. $Oznacza to,$$że$ dla każdego otwartego podschematu ma sekcji Narusza to trzeci warunek, $ponieważ$$najmniej$ jeden obejmujący zawiera $.$

Nieruchomości

Zamknięte zanurzenie jest skończone i radialne (uniwersalnie iniekcyjne). W szczególności zamknięte zanurzenie jest uniwersalnie zamknięte. Zamknięte zanurzenie jest stabilne przy zmianie zasady i składzie. Pojęcie zamkniętego zanurzenia jest lokalne w tym sensie, że $)$ jest zanurzeniem wtedy i tylko wtedy, gdy dla pewnego (równoważnie każdego mapa ${\ Displaystyle f: f ^ {- 1} (U_ {j}) \ strzałka w prawo U_ {j}}$ jest zamkniętym zanurzeniem.

$jest$ kompozycja zamkniętym zanurzeniem i oddzielona , Z $Z$$}$ jest zanurzeniem zamkniętym. Jeśli X jest oddzielnym S -schematem, to każda S -sekcja X jest zanurzeniem zamkniętym.

Jeśli ${\ Displaystyle i: Z \ do X}$ jest zamkniętym zanurzeniem i jest ${\ Displaystyle {\ mathcal {I}} \ subset {\ mathcal {O}} _ {X}} quasi-spójny snop$$ideałów$ wycinający Z , to bezpośredni obraz z kategorii quasi-spójnych snopów nad Z do kategorii quasi-spójnych snopów nad X jest dokładny, w z podstawowym obrazem składającym się z takiego, że ${\ mathcal {G}} = 0}$$\ displaystyle {\ mathcal {I}$ .

Płaskie zamknięte zanurzenie skończonej prezentacji jest otwartym zanurzeniem otwartego zamkniętego podschematu.

Zobacz też

• Segre osadzanie
• Regularne osadzanie

Notatki

•   Grothendieck, Aleksandr ; Dieudonné, Jean (1960). „Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas” . Publikacje Mathématiques de l'IHÉS . 4 . doi : 10.1007/bf02684778 . MR 0217083 .
• Projekt Stosy
•    Hartshorne, Robin (1977), Geometria algebraiczna , Absolwent Teksty z matematyki , tom. 52, Nowy Jork: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9 , MR 0463157