Wysoce ustrukturyzowane widmo pierścieniowe

W matematyce wysoce ustrukturyzowane widmo pierścieniowe lub $,$ jest obiektem w teorii homotopii kodującym udoskonalenie struktury multiplikatywnej w kohomologii . Przemienna wersja pierścienia ${$ jest pierścieniem - mi $displaystyle E_ {\ infty}}$ Chociaż pierwotnie były motywowane kwestiami topologii geometrycznej i teorii wiązek , są one obecnie najczęściej używane stabilna teoria homotopii .

Tło

Wysoce ustrukturyzowane widma pierścieniowe mają lepsze właściwości formalne niż multiplikatywne teorie kohomologii – punkt wykorzystywany na przykład przy konstruowaniu topologicznych form modułowych , który pozwolił również na nowe konstrukcje bardziej klasycznych obiektów, takich jak teoria Morava K . Oprócz swoich właściwości formalnych, $-struktury są również ważne w obliczeniach, ponieważ pozwalają na operacje$ podstawowej teorii kohomologii, analogiczne (i uogólniające) dobrze znane Steenroda w zwykłej kohomologii. Ponieważ nie każda teoria kohomologii dopuszcza takie operacje, nie każdą strukturę multiplikatywną można udoskonalić do -struktury, $a nawet w przypadkach, gdy$ to możliwe, udowodnienie tego może być ogromnym zadaniem

Z grubsza idea wysoce ustrukturyzowanych widm pierścieniowych jest następująca: Jeśli mnożenie w teorii kohomologii (analogicznie do mnożenia w kohomologii pojedynczej, indukującej iloczyn kubkowy ) spełnia asocjatywność (i przemienność) tylko do homotopii, jest to zbyt luźne dla wielu konstrukcji (np. dla granic i colimitów w sensie teorii kategorii). Z drugiej strony wymaganie ścisłej asocjatywności (lub przemienności) w naiwny sposób jest zbyt restrykcyjne dla wielu poszukiwanych przykładów. Podstawową ideą jest to, że relacje muszą tylko spełniać homotopie, ale te homotopie powinny ponownie spełniać pewne relacje homotopii, których homotopie ponownie spełniają pewne dalsze warunki homotopii; i tak dalej. Klasyczne podejście organizuje tę strukturę poprzez operads $-kategoriach$ podczas gdy niedawne podejście $.$ Lurie dotyczy tego przy użyciu -operads w Obecnie najszerzej stosowane podejścia wykorzystują język kategorii modelowych . ^{[ potrzebne źródło ]}

Wszystkie te podejścia polegają na starannym zbudowaniu podstawowej kategorii widm .

Podejścia do definicji

Operady

Teoria oper jest motywowana badaniem przestrzeni pętli . Przestrzeń pętli ΩX ma mnożenie

{\ Displaystyle \ Omega X \ razy \ Omega X \ do \ Omega X}

według kompozycji pętli. Tutaj dwie pętle są przyspieszane o współczynnik 2, a pierwsza przyjmuje interwał [0,1/2], a druga [1/2,1]. Ten iloczyn nie jest asocjacyjny, ponieważ skalowania nie są kompatybilne, ale jest asocjacyjny aż do homotopii, a homotopie są spójne aż do wyższych homotopii i tak dalej. Sytuację tę można uściślić, mówiąc, że ΩX jest algebrą opery małego przedziału . To jest przykład operady $,$ tj. operady przestrzeni topologicznych, która jest homotopią równoważną asocjacyjnej ale który ma odpowiednią „wolność”, aby pozwolić, aby rzeczy trzymały się jedynie homotopii (zwięźle: dowolne zastąpienie opery asocjacyjnej kofibrantem). Widmo $pierścieniowe można teraz wyobrazić$ patrz $maj$ jako algebrę na kategorii widm i odpowiednich warunkach zgodności , 1977).

Dla definicji ${$ widm -pierścieni zasadniczo działa to samo podejście, w którym zastępuje się -operadę przez mi ${\ Displaystyle A_ {\ infty}} -$ $displaystyle$ -operad, czyli operada kurczliwych przestrzeni topologicznych z analogicznymi warunkami "wolności". Przykład takiej opery może być ponownie motywowany badaniem przestrzeni pętli. Iloczyn przestrzeni podwójnej pętli ${\ Displaystyle \ Omega ^ {2} X}$ jest już przemienna aż do homotopii, ale ta homotopia nie spełnia wyższych warunków. Aby uzyskać pełną spójność wyższych homotopii, należy założyć, że przestrzeń jest (równoważna) n -krotnej pętli dla wszystkich n . Prowadzi to do $∞$ przykładem operacji - mi $displaystyle \ infty}}$ .

Pionierem powyższego podejścia był J. Peter May . Wraz z Elmendorfem, Krizem i Mandellem opracował w latach 90. wariant swojej starszej definicji widm, tzw. S-moduły (zob. Elmendorf i in., 2007). S-moduły posiadają modelową strukturę , której kategorią homotopii jest stabilna kategoria homotopii . W S-modułach kategoria modułów na -operadzie i kategoria monoidów są równoważne Quillenowi , podobnie jak kategoria modułów na ${\ displaystyle A _ {\ infty}}$ ${\ Displaystyle E _ {\ infty}}$ -operada i kategoria monoidów przemiennych. Czy zatem możliwe jest zdefiniowanie $-pierścieniowych$ i $\ Displaystyle A _ {\ infty}}$ -pierścieniowych jako (przemiennych) monoidów w kategorii modułów S, więc ZA zwane (przemiennymi) S-algebrami . Ponieważ (przemienne) monoidy są łatwiejsze w obsłudze niż algebry ze skomplikowanymi operadami, to nowe podejście jest z wielu powodów wygodniejsze. Należy jednak zauważyć, że sama konstrukcja kategorii S-modułów jest technicznie dość skomplikowana.

Widma diagramu

Innym podejściem do celu, jakim jest zobaczenie wysoce ustrukturyzowanych widm pierścieniowych jako monoidów w odpowiedniej kategorii widm, są kategorie widm na diagramach. Prawdopodobnie najbardziej znaną z nich jest kategoria widm symetrycznych, zapoczątkowana przez Jeffa Smitha. Jego podstawowa idea jest następująca:

${\ Displaystyle \ Sigma X_ {i} \ do X_ {i + 1}}$ najbardziej naiwnym sensie to (wskazanych) przestrzeni wraz mapami $\ Displaystyle (X_ {0}, X_ {1}, \ kropki)}$ , gdzie ΣX oznacza zawieszenie . Inny punkt widzenia jest następujący: rozważa się kategorię ciągów przestrzeni wraz z monoidalną strukturą nadaną przez iloczyn rozbijający . $Wtedy$ sekwencja sfer ma monoidu, a widma Gdyby ten monoid był przemienny, wówczas powstałaby struktura monoidalna w kategorii modułów nad nim (tak jak w algebrze moduły na pierścieniu przemiennym mają iloczyn tensorowy). Ale monoidowa struktura sekwencji sfer nie jest przemienna ze względu na różne uporządkowania współrzędnych.

Pomysł polega teraz na tym, że można wbudować zmiany współrzędnych w definicję sekwencji: sekwencja symetryczna to sekwencja spacji ${\ Displaystyle (X_ {0}, X_ {1}, \ kropki )}$ wraz z działaniem n -tej grupy symetrycznej na ${\ displaystyle X_ {n}}$ . Jeśli wyposaży się to w odpowiedni iloczyn monoidalny, otrzyma się, że sekwencja sfer jest przemiennym . Teraz widma symetryczne $sekwencją$ , spacji wraz z działaniem - tej symetrycznej ${\ Displaystyle X_ {n}}$ i mapy ${\ Displaystyle \ Sigma X_ {i} \ do X_ {i + 1}}$ spełniające odpowiednie warunki równoważności. Kategoria widm symetrycznych ma iloczyn monoidalny oznaczony przez ${\ displaystyle \ klin}$ . Wysoce ustrukturyzowane (przemienne) widmo pierścieniowe jest obecnie definiowane jako (przemienny) monoid w widmach symetrycznych, zwane (przemiennym) symetrycznym widmem pierścieniowym . Sprowadza się to do rozdawania map

{\ Displaystyle X_ {n} \ klin X_ {m} \ do X_ {n + m},}

które spełniają odpowiednie warunki równoważności, jedności i asocjatywności (oraz przemienności) (zob. Schwede 2007).

Istnieje kilka struktur modelowych na widmach symetrycznych, które mają jako homotopię stabilną kategorię homotopii. Również tutaj prawdą jest, że kategoria modułów nad -operad $}$ kategoria monoidów są Quillenowi , $}}$ jak kategoria modułów nad operacją mi ${\ displaystyle E_ {\ infty$ -operada i kategoria monoidów przemiennych.

Odmianą widm symetrycznych są widma ortogonalne , w których grupę symetryczną zastępuje się grupą ortogonalną (zob. Mandell i in., 2001). Mają tę zaletę, że naiwnie zdefiniowane grupy homotopii pokrywają się z grupami ze stabilnej kategorii homotopii, co nie ma miejsca w przypadku widm symetrycznych. (Tj. widmo sferyczne jest teraz kofibrantem). Z drugiej strony widma symetryczne mają tę zaletę, że można je również zdefiniować dla zbiorów uproszczonych . Widma symetryczne i ortogonalne są prawdopodobnie najprostszymi sposobami konstruowania sensownej symetrycznej monoidalnej kategorii widm.

Kategorie nieskończoności

Kategorie-nieskończoności są wariantem kategorii klasycznych, w których skład morfizmów nie jest definiowany jednoznacznie, a jedynie ograniczony do wyboru. Ogólnie rzecz biorąc, nie ma sensu mówić, że diagram dojeżdża ściśle do kategorii nieskończoności, a jedynie, że dojeżdża do koherentnej homotopii. Można zdefiniować nieskończoną kategorię widm (jak zrobił to Lurie ). Można również zdefiniować nieskończone wersje (przemiennych) monoidów, a następnie zdefiniować $infty$ pierścieniowe jako monoidy w widmach i mi $}}$ -pierścieniowe widma jako monoidy przemienne w widmach. Zostało to opracowane w książce Lurie Higher Algebra .

Porównanie

Kategorie modułów S, widm symetrycznych i ortogonalnych oraz ich kategorie (przemiennych) monoidów dopuszczają porównania za pomocą równoważności Quillena dzięki pracy kilku matematyków (w tym Schwede). Mimo to kategoria modelowa S-modułów i kategoria modelowa widm symetrycznych zachowują się zupełnie inaczej: w S-modułach każdy obiekt jest fibrantowy (co nie jest prawdą w widmach symetrycznych), podczas gdy w widmach symetrycznych widmo sferyczne jest kofibrantowe (co nie jest prawdą w modułach S). Zgodnie z twierdzeniem Lewisa nie jest możliwe skonstruowanie jednej kategorii widm, która ma wszystkie pożądane właściwości. Porównanie podejścia kategorii nieskończoności do widm z bardziej klasycznym podejściem kategorii modeli widm symetrycznych można znaleźć w Lurie's Wyższa algebra 4.4.4.9.

Przykłady

$jest$ zapisać konkretne przykłady widm w widmach symetrycznych / ortogonalnych Najbardziej podstawowym przykładem jest widmo sferyczne z (kanoniczną) mapą mnożenia ${\ Displaystyle S ^ {n} \ klin S ^ {m} \ do S ^ {n + m}}$ . Nie jest też trudno zapisać mapy mnożenia dla widm Eilenberga-MacLane'a (reprezentujących zwykłą kohomologię ) i niektórych widm Thoma (reprezentujący teorie bordyzmu ). Przykładem jest również topologiczna (rzeczywista lub zespolona) K-teoria, ale trudniejsza do uzyskania: w widmach symetrycznych stosuje się C*-algebrową interpretację K-teorii, w podejściu operadowym wykorzystuje się maszynę multiplikatywnej nieskończonej pętli teorii przestrzeni.

Nowszym podejściem do znajdowania $udoskonaleń multiplikatywnych$ kohomologii jest teoria przeszkody Goerssa-Hopkinsa Udało się znaleźć -struktury $i$ na widmach Lubina – Tate'a eliptycznych . Za pomocą podobnej (ale starszej) metody można również wykazać, że teoria K Morawy , a także inne warianty kohomologii Browna-Petersona, mają ${\ displaystyle A _ {\ infty}}$ -struktura pierścieniowa (patrz np. Baker i Jeanneret, 2002). Basterra $strukturę$ Mandell wykazali, że kohomologia Browna-Petersona ma nawet $gdzie$ -struktura definiowana przez zastąpienie opery nieskończoności- wymiarowe kostki w nieskończenie wymiarowej $przestrzeni$ 4-wymiarowe kostki w 4-wymiarowej przestrzeni w definicji widm. Z drugiej strony Tyler Lawson wykazał, że kohomologia Browna-Petersona nie ma ${\ Displaystyle E _ {\ infty}}$ .

Konstrukcje

Wysoce ustrukturyzowane widma pierścieniowe pozwalają na wiele konstrukcji.

Tworzą kategorię modelową, a zatem istnieją (homotopijne) granice i współgranice.
Moduły w wysoce ustrukturyzowanym widmie pierścieniowym tworzą stabilną kategorię modeli . W szczególności ich kategoria homotopii jest triangulowana . Jeśli widmo pierścieniowe ma $,$ -strukturę kategoria modułów ma iloczyn monooidalny jeśli jest to co najmniej $.$ ma symetryczny iloczyn monooidalny (smash)
Można tworzyć grupowe widma pierścieniowe.
Można zdefiniować algebraiczną teorię K , topologiczną homologię Hochschilda i tak dalej wysoce ustrukturyzowanego widma pierścieniowego.
Można zdefiniować przestrzeń jednostek, co jest kluczowe dla niektórych zagadnień orientowalności wiązek.

Zobacz też

Odniesienia do widm pierścieniowych E _∞

Elmendorf, AD; Kriz, I.; Mandell, MA; Maj, JP (2007). Pierścienie, moduły i algebry w stabilnej teorii homotopii . AMS. ISBN 978-0-8218-4303-1 .
Maj, J. Peter (1977). ${\ Displaystyle E _ {\ infty}}$ -pierścieniowe przestrzenie i mi $\ Displaystyle E_ {\ infty}}$ -ringowe widma . Skoczek.
Maj, J. Peter (2009). „ $i$ dokładnie są $przestrzenie$ widma pierścieniowe? Monografie geometrii i topologii . 16 : 215–282. ar Xiv : 0903.2813 . doi : 10.2140/gtm.2009.16.215 .

Literatura dotycząca struktury widm pierścienia E _∞

Basterra, M.; Mandell, MA (2005). „ Homologia i kohomologia widm pierścieni E-nieskończoności ” (PDF)
Lawson, T. (2017). „Obliczanie grup przeszkód dla $”$ . arXiv : 1709.09629 [ matematyka AT ].

Odnośniki do konkretnych przykładów

Baker, A.; Jeanneret, A. (2002). „Odważne nowe algebroidy Hopfa i rozszerzenia algebr MU ” . Homologia, homotopia i zastosowania . 4 (1): 163–173. doi : 10.4310/HHA.2002.v4.n1.a9 .
Basterra, M.; Mandell, MA (czerwiec 2013). „Mnożenie na BP” (PDF) . Dziennik topologii . 6 (2): 285–310. ar Xiv : 1101.0023 . doi : 10.1112/jtopol/jts032 . S2CID 119652118 . Zarchiwizowane od oryginału (PDF) w dniu 06.02.2015 r.

Ogólne odniesienia dotyczące powiązanych widm

Lurie, J. „Wyższa algebra” (PDF) . Zarchiwizowane od oryginału (PDF) w dniu 2015-02-06.
Mandell, MA; maj, JP; Schwede, S.; Shipley, B. (2001). „Kategorie modeli widm diagramów” (PDF) . proc. Matematyka Londynu. soc . 82 (2): 441–512. doi : 10.1112/S0024611501012692 .
Richter, B. (2017). „Przemienne widma pierścieniowe”. arXiv : 1710.02328 [ matematyka AT ].
Schwede, S. (2001). „S-moduły i widma symetryczne” (PDF) . Matematyka Anna . 319 (3): 517–532. doi : 10.1007/PL00004446 . S2CID 6866612 .
Schwede S. Schwede, S. (2007). „Projekt książki bez tytułu o widmach symetrycznych” (PDF) .