Formalne prawo grupowe

W matematyce formalne prawo grupowe jest (z grubsza mówiąc) formalnym szeregiem potęgowym zachowującym się tak, jakby był iloczynem grupy Liego . Zostały one wprowadzone przez S. Bochnera ( 1946 ). Termin grupa formalna czasami oznacza to samo, co formalne prawo grupowe, a czasami oznacza jedno z kilku uogólnień. Grupy formalne są pośrednie między grupami Liego (lub grupami algebraicznymi ) a algebrami Liego . Są one używane w algebraicznej teorii liczb i topologii algebraicznej .

Definicje

Jednowymiarowe formalne prawo grupowe na pierścieniu przemiennym R jest szeregiem potęgowym F ( x , y ) ze współczynnikami w R takimi, że

fa ( x , y ) = x + y + wyrazy wyższego stopnia
fa ( x , fa ( y , z )) = fa ( fa ( x , y ), z ) ( asocjatywność ).

Najprostszym przykładem jest addytywne formalne prawo grupowe F ( x , y ) = x + y . Ideą definicji jest to, że F powinno być czymś w rodzaju formalnego rozwinięcia szeregu potęgowego iloczynu grupy Liego, gdzie wybieramy współrzędne tak, że tożsamość grupy Liego jest początkiem.

Mówiąc bardziej ogólnie, n -wymiarowe formalne prawo grupowe jest zbiorem n szeregów potęgowych Fi ( x ₁ , x ₂ , ..., _x n _, y 1 _, y 2 _, ..., y _n ) w 2 n zmiennych , takie że

fa ( x , y ) = x + y + wyrazy wyższego stopnia
fa ( x , fa ( y , z )) = fa ( fa ( x , y ), z )

gdzie piszemy F dla ( F ₁ , ..., F _n ), x dla ( x ₁ , ..., x _n ) i tak dalej.

Formalne prawo grupowe nazywamy przemiennym, jeśli F ( x , y ) = F ( y , x ). Jeśli R jest bezskrętne, to można osadzić R w Q -algebrze i użyć wykładniczego i logarytmu do zapisania dowolnego jednowymiarowego formalnego prawa grupowego F jako F ( x , y ) = exp (log ( x ) + log ( y ) ), więc F jest koniecznie przemienna. Bardziej ogólnie mamy:

Twierdzenie . Każde jednowymiarowe formalne prawo grupowe nad R jest przemienne wtedy i tylko wtedy, gdy R nie ma niezerowych nilpotentów torsyjnych (tj. żadnych niezerowych elementów, które są zarówno torsyjne, jak i nilpotentne).

Nie ma potrzeby stosowania aksjomatu analogicznego do istnienia elementów odwrotnych dla grup , ponieważ okazuje się to wynikać automatycznie z definicji formalnego prawa grupowego. Innymi słowy, zawsze możemy znaleźć (unikatowy) szereg potęgowy G taki, że F ( x , G ( x )) = 0.

Homomorfizm z formalnego prawa grupowego F o wymiarze m do formalnego prawa grupowego G o wymiarze n jest zbiorem f n szeregów potęgowych w m zmiennych takich, że

sol ( fa ( x ), fa ( y )) = fa ( fa ( x , y )).

Homomorfizm z odwrotnością nazywamy izomorfizmem , a izomorfizmem ścisłym , jeśli dodatkowo f ( x ) = x + wyrazy wyższego stopnia. Dwa formalne prawa grupowe z izomorfizmem między nimi są zasadniczo takie same; różnią się tylko „zmianą współrzędnych”.

Przykłady

Formalne prawo grup addytywnych jest dane przez

{\ Displaystyle F (x, y) = x + y. \ }

Multiplikatywne formalne prawo grupowe jest dane przez

{\ Displaystyle F (x, y) = x + y + xy. \}

Tę regułę można rozumieć w następujący sposób. Iloczyn G w (grupie multiplikatywnej) pierścienia R jest dany przez G ( a , b ) = ab . Jeśli „zmienimy współrzędne”, aby uczynić 0 tożsamością, wstawiając a = 1 + x , b = 1 + y i G = 1 + F , to stwierdzimy, że F ( x , y ) = x + y + xy .

Nad liczbami wymiernymi istnieje izomorfizm od addytywnego formalnego prawa grupowego do multiplikatywnego, dany przez exp( x ) − 1 . W ogólnych pierścieniach przemiennych R nie ma takiego homomorfizmu, jak zdefiniowanie go wymaga niecałkowych liczb wymiernych, a addytywne i multiplikatywne grupy formalne zwykle nie są izomorficzne.

Mówiąc bardziej ogólnie, możemy skonstruować formalne prawo grupowe o wymiarze n z dowolnej grupy algebraicznej lub grupy Liego o wymiarze n , biorąc współrzędne w tożsamości i zapisując rozwinięcie formalnego szeregu potęgowego mapy iloczynu. W ten sposób addytywne i multiplikatywne formalne prawa grupowe uzyskuje się z addytywnych i multiplikatywnych grup algebraicznych. Innym ważnym przypadkiem szczególnym jest grupa formalna (prawo) krzywej eliptycznej (lub odmiany abelowej ).
F ( x , y ) = ( x + y )/(1 + xy ) jest formalnym prawem grupowym pochodzącym ze wzoru dodawania funkcji stycznej hiperbolicznej : tanh( x + y ) = F (tanh( x ), tanh( y )), a także wzór na dodawanie prędkości w szczególnej teorii względności (przy prędkości światła równej 1).
${\ Textstyle F (x, y) = \ lewo. \ lewo (x {\ sqrt { 1-y^{4}}}+y{\sqrt {1-x^{4}}}\right)\right/\!(1+x^{2}y^{2})} jest$ formalną prawo grupowe nad Z [1/2] znalezione przez Eulera , w postaci wzoru na dodawanie całki eliptycznej ( Strickland ):

{\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {x} {dt \ over {\ sqrt {1-t ^ {4}}}} + \ int _ {0} ^ {y} {dt \ over {\ sqrt { 1-t^{4}}}}=\int _{0}^{F(x,y)}{dt \over {\sqrt {1-t^{4}}}}.}

Algebry kłamstwa

Każde n -wymiarowe formalne prawo grupowe daje n -wymiarową algebrę Liego na pierścieniu R , _{zdefiniowaną} w kategoriach części kwadratowej F2 formalnego prawa grupowego.

[ x , y ] = fa ₂ ( x , y ) - fa ₂ ( y , x )

Funktor naturalny z grup Liego lub grup algebraicznych do algebr Liego można rozłożyć na czynniki w funktorze z grup Liego do formalnych praw grupowych, a następnie wziąć algebrę Liego grupy formalnej:

Grupy Liego → Formalne prawa grupowe → Algebry Liego

Na polach o charakterystyce 0 formalne prawa grupowe są zasadniczo takie same, jak skończenie wymiarowe algebry Liego: dokładniej, funktor od skończenie wymiarowych formalnych praw grupowych do skończenie wymiarowych algebr Liego jest równoważnością kategorii . Na ciałach o niezerowej charakterystyce formalne prawa grupowe nie są równoważne algebrom Liego. W rzeczywistości w tym przypadku dobrze wiadomo, że przejście z grupy algebraicznej do jej algebry Liego często odrzuca zbyt wiele informacji, ale przejście zamiast tego do formalnego prawa grupowego często pozostawia wystarczającą ilość informacji. Zatem w pewnym sensie formalne prawa grupowe są „właściwym” substytutem algebr Liego w charakterystyce p > 0.

Logarytm przemiennego formalnego prawa grupowego

Jeśli F jest przemiennym n -wymiarowym formalnym prawem grupowym nad przemienną Q -algebrą R , to jest ściśle izomorficzne z addytywnym formalnym prawem grupowym. Innymi słowy , istnieje ścisły izomorfizm f od addytywnej grupy formalnej do F , zwany logarytmem F , tak że

fa ( fa ( x , y )) = fa ( x ) + fa ( y ).

Przykłady:

Logarytm z F ( x , y ) = x + y wynosi f ( x ) = x .
Logarytm z F ( x , y ) = x + y + xy to f ( x ) = log(1 + x ), ponieważ log(1 + x + y + xy ) = log(1 + x ) + log(1 + y ).

Jeśli R nie zawiera wymiernych, mapa f może być skonstruowana poprzez rozszerzenie skalarów do R ⊗ Q , ale to wyśle wszystko do zera, jeśli R ma dodatnią charakterystykę. Formalne prawa grupowe na pierścieniu R są często konstruowane przez zapisanie ich logarytmu w postaci szeregu potęgowego ze współczynnikami w R ⊗ Q , a następnie udowodnienie, że współczynniki odpowiedniej grupy formalnej na R ⊗ Q faktycznie leżą w R . Pracując z charakterystyką dodatnią, zwykle zastępuje się R mieszanym pierścieniem charakterystycznym, który ma surjekcję do R , takim jak pierścień W ( R ) wektorów Witta , i redukuje się do R na końcu.

Niezmienna różnica

Kiedy F jest jednowymiarowe, można zapisać jego logarytm w kategoriach niezmiennej różniczki ω ( t ). Pozwalać

{\ Displaystyle \ omega (t) = {\ Frac {\ częściowe F} {\ częściowe x}} (0,t)^{-1}dt\w R[[t]]dt,}

gdzie

{\ textstyle R [[t]] dt}

jest wolnym

{\ textstyle R [[t]]}

-modułem rangi 1 na symbolu dt . Wtedy ω jest niezmiennikiem translacji w tym sensie, że

{\ Displaystyle F ^ {*} \ omega = \ omega,}

gdzie jeśli napiszemy

{\ textstyle \ omega (t) = p (t) dt}

, to z definicji mamy

{\ Displaystyle F ^ {*} \ omega: = p (F (t, s)) {\ Frac {\ częściowe F} {\ częściowe x}} (t, s) dt.}

{\ textstyle \ omega (t) = (1 + c_ {1} t + c_ {2}

re , formuła

{\ Displaystyle f (t) = \ int \ omega (t) = t + {\ Frac {c_ {1 }}{2}}t^{2}+{\frac {c_{2}}{3}}t^{3}+\kropki }

definiuje logarytm z F .

Formalny pierścień grupowy formalnego prawa grupowego

Formalny pierścień grupowy formalnego prawa grupowego jest koprzemienną algebrą Hopfa , analogiczną do pierścienia grupowego grupy i uniwersalnej algebry obwiedniowej algebry Liego, z których obie są również koprzemiennymi algebrami Hopfa. Ogólnie rzecz biorąc, algebry Hopfa koprzemienne zachowują się bardzo podobnie do grup.

Dla uproszczenia opisujemy przypadek 1-wymiarowy; przypadek wielowymiarowy jest podobny, z wyjątkiem tego, że notacja staje się bardziej skomplikowana.

Załóżmy, że F jest (1-wymiarowym) formalnym prawem grupowym nad R . Jego formalny pierścień grupowy (zwany także jego hiperalgebrą lub kowariantną bialgebrą ) jest kokomutatywną algebrą Hopfa H zbudowaną w następujący sposób.

Jako moduł R , H jest wolny z podstawą 1 = re ⁽⁰⁾ , re ⁽¹⁾ , re ⁽²⁾ , ...
Koprodukt Δ jest dany przez Δ D ^{( n )} = Σ D ^{( i )} ⊗ D ^{( n − i )} (więc liczba podwójna tej kogebry jest po prostu pierścieniem formalnego szeregu potęgowego).
Jednostka η jest określona przez współczynnik D ⁽⁰⁾ .
Tożsamość to 1 = D ⁽⁰⁾ .
Antypod S przyjmuje D ^{( n )} do (−1) ⁿ re ^{( n )} .
Współczynnik D ⁽¹⁾ w produkcie D ^{( i )} D ^{( j )} jest współczynnikiem x ⁱ y ^j w F ( x , y ).

I odwrotnie, biorąc pod uwagę algebrę Hopfa, której strukturę koalgebry podano powyżej, możemy z niej odzyskać formalne prawo grupowe F. Tak więc 1-wymiarowe formalne prawa grupowe są zasadniczo takie same jak algebry Hopfa, których struktura węgla jest podana powyżej.

Formalne prawa grupowe jako funktory

Biorąc pod uwagę n - wymiarowe ^formalne prawo grupowe F nad R i przemienną R -algebrę S , możemy utworzyć grupę F ( S ), której podstawowym zbiorem jest Nn , gdzie N jest zbiorem nilpotentnych elementów S. Iloczyn jest dany przy użyciu F do pomnożenia elementów N ⁿ ; chodzi o to, że wszystkie formalne szeregi potęg są teraz zbieżne, ponieważ są stosowane do elementów nilpotentnych, więc istnieje tylko skończona liczba niezerowych wyrazów. To sprawia, że F staje się funktorem z przemiennych R -algebr S do grup.

Możemy rozszerzyć definicję F ( S ) na niektóre topologiczne R -algebry . W szczególności, jeśli S jest odwrotną granicą dyskretnych algebr R , możemy zdefiniować F ( S ) jako odwrotną granicę odpowiednich grup. Na przykład pozwala nam to zdefiniować F ( Z _p ) z wartościami w liczbach p -adic .

Funktor o wartościach grupowych F można również opisać za pomocą formalnego pierścienia grupowego H z F . Dla uproszczenia założymy, że F jest 1-wymiarowe; ogólny przypadek jest podobny. W przypadku dowolnej koprzemiennej algebry Hopfa element g nazywany jest grupowym, jeśli Δ g = g ⊗ g i ε g = 1, a elementy grupopodobne tworzą grupę podczas mnożenia. W przypadku algebry Hopfa formalnego prawa grupowego na pierścieniu, elementy podobne do grupy są dokładnie elementami postaci

re ⁽⁰⁾ + re ⁽¹⁾ x + re ⁽²⁾ x ² + ...

dla elementów nilpotentnych x . W szczególności możemy utożsamiać elementy grupowe H ⊗ S z nilpotentnymi elementami S , a struktura grupowa elementów grupopodobnych H ⊗ S jest następnie identyfikowana ze strukturą grupową F ( S ).

Wysokość

Załóżmy, że f jest homomorfizmem między jednowymiarowymi formalnymi prawami grupowymi na polu o charakterystyce p > 0. Wtedy f wynosi albo zero, albo pierwszy niezerowy wyraz w rozwinięciu szeregu potęgowego to ${\ displaystyle ax ^ {p ^{h}}}$ dla pewnej nieujemnej liczby całkowitej h , zwanej wysokością homomorfizmu f . Wysokość zerowego homomorfizmu jest zdefiniowana jako ∞.

Wysokość jednowymiarowego formalnego prawa grupowego nad polem o charakterystyce p > 0 określa się jako wysokość jego przemnożenia przez mapę p .

Dwa jednowymiarowe formalne prawa grupowe nad ciałem algebraicznie zamkniętym o charakterystyce p > 0 są izomorficzne wtedy i tylko wtedy, gdy mają tę samą wysokość, a wysokość może być dowolną dodatnią liczbą całkowitą lub ∞.

Przykłady:

Addytywne formalne prawo grupowe F ( x , y ) = x + y ma wysokość ∞, ponieważ jego p -ta mapa potęgowa wynosi 0.
Multiplikatywne formalne prawo grupowe F ( x , y ) = x + y + xy ma wysokość 1, ponieważ jego mapa potęgowa p to (1 + x ) ^p − 1 = x ^p .
Formalne prawo grupowe krzywej eliptycznej ma wysokość jeden lub dwa, w zależności od tego, czy krzywa jest zwyczajna, czy nadosobliwa . Nadosobliwość można wykryć na podstawie zniknięcia szeregu Eisensteina mi $\ displaystyle E_ {p-1}}$ .

Pierścień Lazarda

Istnieje uniwersalne przemienne jednowymiarowe formalne prawo grupowe dotyczące uniwersalnego pierścienia przemiennego zdefiniowanego w następujący sposób. Pozwalamy

fa ( x , y )

Być

x + y + Σ do _{ja , jot} x ^ja y ^jot

dla nieokreślonych

c _{ja , j} ,

R definiujemy jako pierścień przemienny generowany przez elementy ci _{. , j} , z relacjami wymuszonymi przez prawa łączności i przemienności dla formalnych praw grupowych Mniej więcej z definicji pierścień R ma następującą uniwersalną właściwość:

Dla dowolnego pierścienia przemiennego S jednowymiarowe formalne prawa grupowe nad S odpowiadają homomorfizmom pierścieni od R do S .

pierścień przemienny R jest znany jako pierścień uniwersalny Lazarda . Na pierwszy rzut oka wydaje się to niezwykle skomplikowane: relacje między jego generatorami są bardzo chaotyczne. Jednak Lazard udowodnił, że ma bardzo prostą strukturę: jest to po prostu pierścień wielomianowy _{( , j} nad liczbami całkowitymi) na generatorach stopni 2, 4, 6, ... (gdzie ci ma stopień 2 ( i + j - 1 )). Daniel Quillen udowodnił, że pierścień współczynników złożonego kobordyzmu jest naturalnie izomorficzny jako stopniowany pierścień z uniwersalnym pierścieniem Lazarda, wyjaśniając niezwykłe stopniowanie.

Grupy formalne

Grupa formalna jest obiektem grupowym w kategorii schematów formalnych .

Jeśli jest funktorem z algebr Artina do grup, który jest pozostawiony dokładny , to jest reprezentowalny ( G jest funktorem punktów grupy formalnej. ( $lewa$ funktora jest równoważna dojazdom ze skończonymi granicami rzutowymi sol {\ displaystyle G} ).
Jeśli jest schematem grupowym $,$ $to$ formalne G przy tożsamości ma formalnej.
Formalne zakończenie gładkiego schematu grupowego jest izomorficzne z ${\ Displaystyle \ operatorname {Spf} (R [[T_ {1}, \ ldots, T_ { n}]])}$ . Niektórzy ludzie nazywają formalny schemat grupowy gładkim , jeśli zachodzi sytuacja odwrotna; inni zastrzegają termin „grupa formalna” dla lokalnie obiektów tej formy.
Formalna gładkość potwierdza istnienie wyciągów deformacji i może odnosić się do schematów formalnych większych niż punkty. Gładki formalny schemat grupowy jest szczególnym przypadkiem formalnego schematu grupowego.
Mając gładką grupę formalną, można skonstruować formalne prawo grupowe i pole, wybierając ujednolicający zbiór sekcji.
Izomorfizmy (nieścisłe) między prawami grup formalnych wywołane zmianą parametrów składają się na elementy grupy zmian współrzędnych na grupie formalnej.

Grupy formalne i formalne prawa grupowe można również definiować na podstawie dowolnych schematów , a nie tylko na podstawie przemiennych pierścieni lub pól, a rodziny można klasyfikować za pomocą map od podstawy do obiektu parametryzującego.

Przestrzeń modułów formalnych praw grupowych jest rozłączną sumą nieskończenie wymiarowych przestrzeni afinicznych, których składowe są sparametryzowane przez wymiar, a punkty są sparametryzowane przez dopuszczalne współczynniki szeregu potęgowego F . Odpowiedni stos modułów gładkich grup formalnych jest ilorazem tej przestrzeni przez kanoniczne działanie nieskończenie wymiarowej grupoidy zmian współrzędnych.

W algebraicznie zamkniętym polu podstosem jednowymiarowych grup formalnych jest albo punkt (w charakterystycznym zerze), albo nieskończony łańcuch punktów ułożonych w stos parametryzujących wysokości. W charakterystycznym zera zamknięcie każdego punktu zawiera wszystkie punkty o większej wysokości. Ta różnica daje grupom formalnym bogatą teorię geometryczną w charakterystyce dodatniej i mieszanej, z powiązaniami z algebrą Steenroda , grupami p -podzielnymi, teorią Dieudonnégo i reprezentacjami Galois . Na przykład twierdzenie Serre-Tate implikuje, że deformacje schematu grupowego są silnie kontrolowane przez deformacje jego grupy formalnej, zwłaszcza w przypadku ponadosobliwych odmian abelowych . W przypadku ponadosobliwych krzywych eliptycznych ta kontrola jest kompletna i różni się to od charakterystycznej sytuacji zerowej, w której grupa formalna nie ma deformacji.

Grupa formalna jest czasami definiowana jako kokomutatywna algebra Hopfa (zwykle z dodanymi dodatkowymi warunkami, takimi jak bycie wskazanym lub połączonym). Jest to mniej więcej podwójne w stosunku do powyższego pojęcia. W gładkim przypadku wybór współrzędnych jest równoznaczny z przyjęciem wyróżnionej podstawy formalnego pierścienia grupowego.

Niektórzy autorzy używają terminu grupa formalna na oznaczenie formalnego prawa grupowego .

Formalne prawa grupowe Lubin-Tate

Niech Z _p będzie pierścieniem p -adycznych liczb całkowitych . Formalne prawo grupowe Lubina-Tate'a jest unikalnym (1-wymiarowym) formalnym prawem grupowym F takim, że e ( x ) = px + x ^p jest endomorfizmem F , innymi słowy

{\ Displaystyle e (F (x, y)) = F (e (x), e (y)). \}

Mówiąc bardziej ogólnie, możemy przyjąć, że e jest dowolnym szeregiem potęgowym takim, że e ( x ) = px + wyrazy wyższego stopnia i e ( x ) = x ^p mod p . Wszystkie prawa grupowe dla różnych wyborów e spełniających te warunki są ściśle izomorficzne.

Dla każdego elementu a w Z _p istnieje unikalny endomorfizm f formalnego prawa grupowego Lubina-Tate'a, taki że f ( x ) = ax + wyrazy wyższego stopnia. Daje to działanie pierścienia Zp na formalne prawo _grupowe Lubina-Tate'a.

Istnieje podobna konstrukcja, w której _Zp zastąpiono dowolnym kompletnym dyskretnym pierścieniem wyceny ze skończonym polem klasy pozostałości .

Konstrukcję tę wprowadzili Lubin i Tate (1965) w udanej próbie wyodrębnienia lokalnej części pola klasycznej teorii zespolonego mnożenia funkcji eliptycznych . Jest również głównym składnikiem niektórych podejść do teorii pola klas lokalnych .

Zobacz też

Adams, J. Frank (1974), Stabilna homotopia i uogólniona homologia , University of Chicago Press , ISBN 978-0-226-00524-9
Bochner, Salomon (1946), „Formalne grupy kłamstw”, Annals of Mathematics , druga seria, 47 (2): 192–201, doi : 10.2307/1969242 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1969242 , MR 0015397
Demazure, Michel (1972), Wykłady o grupach p-podzielnych , Notatki z wykładów z matematyki, tom. 302, doi : 10.1007/BFb0060741 , ISBN 0-387-06092-8
Fröhlich, A. (1968), Grupy formalne , Notatki z wykładów z matematyki, tom. 74, Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , doi : 10.1007/BFb0074373 , ISBN 978-3-540-04244-0 , MR 0242837
P. Gabriel, Étude infinitésimale des schémas en groupes SGA 3 Exp. VIIB
Grupy formalne i zastosowania (matematyka czysta i stosowana 78) Michiel Hazewinkel Wydawca: Academic Pr (czerwiec 1978) ISBN 0-12-335150-2
Lazard, Michel (1975), Przemienne grupy formalne , Notatki z wykładów z matematyki, tom. 443, Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , doi : 10.1007/BFb0070554 , ISBN 978-3-540-07145-7 , MR 0393050
Lubin, Jonatan; Tate, John (1965), „Formalne mnożenie zespolone w lokalnych dziedzinach”, Annals of Mathematics , druga seria, 81 (2): 380–387, doi : 10.2307 / 1970622 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1970622 , MR 0172878 , Zbl 0128.26501
Neukirch, Jürgen (1999). Algebraische Zahlenteorie . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften . Tom. 322. Berlin: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-65399-8 . MR 1697859 . Zbl 0956.11021 .
Strickland, N. „Grupy formalne” (PDF) .