Twierdzenie o dodawaniu
W matematyce twierdzenie o dodawaniu jest formułą taką jak dla funkcji wykładniczej :
- mi x + y = mi x · mi y ,
który wyraża, dla określonej funkcji f , f ( x + y ) w terminach f ( x ) i f ( y ). Nieco bardziej ogólnie, jak w przypadku funkcji trygonometrycznych sin i cos , może być zaangażowanych kilka funkcji; w takim przypadku jest to bardziej pozorne niż rzeczywiste, ponieważ cos jest funkcją algebraiczną grzechu (innymi słowy, zwykle przyjmujemy obie funkcje zgodnie z definicją na okręgu jednostkowym ).
Zakres idei twierdzenia o dodawaniu został w pełni zbadany w XIX wieku, zainspirowany odkryciem twierdzenia o dodawaniu dla funkcji eliptycznych . Aby „sklasyfikować” twierdzenia o dodawaniu, konieczne jest nałożenie pewnych ograniczeń na typ dopuszczanej funkcji G , takie, że
- fa ( x + y ) = sol ( fa ( x ), fa ( y )).
W tej tożsamości można założyć, że F i G są wektorami (mają kilka składowych). Twierdzenie o dodawaniu algebraicznym to takie, w którym G można przyjąć za wektor wielomianów w pewnym zbiorze zmiennych. Wniosek ówczesnych matematyków był taki, że teoria funkcji abelowych zasadniczo wyczerpała interesujące możliwości: rozpatrywana jako równanie funkcjonalne do rozwiązania za pomocą wielomianów, a nawet funkcji wymiernych lub funkcji algebraicznych , nie było dalszych typów rozwiązań.
W bardziej współczesnym języku pojawia się to jako część teorii grup algebraicznych , zajmującej się grupami przemiennymi . Połączone rozmaitości rzutowej są rzeczywiście wyczerpane przez funkcje abelowe, jak pokazuje szereg wyników charakteryzujących rozmaitość abelową przez raczej słabe warunki dotyczące jej prawa grupowego. Wiadomo, że wszystkie tak zwane funkcje quasi-abelowe pochodzą z rozszerzeń rozmaitości abelowych o przemienne rozmaitości grup afinicznych. Dlatego można powiedzieć, że stare wnioski dotyczące zakresu globalnych twierdzeń o dodawaniu algebraicznym są nadal aktualne. Bardziej nowoczesnym aspektem jest teoria grupy formalne .