Złożony kobordyzm

W matematyce złożona kobordyzm jest uogólnioną teorią kohomologii związaną z kobordyzmem rozmaitości . Jego widmo jest oznaczone przez MU. Jest to wyjątkowo potężna kohomologii , ale może być dość trudna do obliczenia, więc często zamiast używać jej bezpośrednio, używa się nieco słabszych teorii wywodzących się z niej, takich jak kohomologia Browna-Petersona lub teoria K Morawy , które są łatwiejsze do obliczenia .

Teorie kobordyzmu uogólnionej homologii i kompleksu kohomologii zostały wprowadzone przez Michaela Atiyaha ( 1961 ) przy użyciu widma Thoma .

Spektrum złożonego kobordyzmu

Złożony bordyzm $liniowym$$}$ grubsza grupą klas bordyzmu rozmaitości $X$ złożonym struktura na stabilnej wiązce normalnej . Złożony bordyzm jest uogólnioną teorią homologii , odpowiadającą widmu MU, które można wyraźnie opisać za pomocą przestrzeni Thoma w następujący sposób.

Przestrzeń jest przestrzenią Thoma $uniwersalnej$ wiązki płaszczyzn nad ${$ M U $}$ grupa jednostkowa ${\ Displaystyle U (n)}$ . Naturalne włączenie z podwójnego zawieszenia ${\ Displaystyle \ Sigma ^ {2} MU (n)}$ U $\ Displaystyle$$}$ powoduje mapę z podwójnego zawieszenia do ${\ Displaystyle MU (n + 1)}$ . Razem te mapy $;$ mianowicie jest to kolimit homotopii . ${\ Displaystyle MU (n)}$ .

Przykłady: ${\ Displaystyle MU (0)}$ to widmo kuli. ${\ Displaystyle MU (1)}$ jest odwieszeniem ${\ Displaystyle \ Sigma ^ {\ infty -2} \ mathbb {CP} ^ {\ infty}$${\ Displaystyle \ mathbb {CP} ^ {\ infty}}$ C .

Twierdzenie o nilpotence stwierdza, że ​​​​dla dowolnego widma pierścieniowego jądro ${\ Displaystyle \ pi _ {*} R \ do \ operatorname {MU} _$$)$ składa się z elementów nilpotentnych. Twierdzenie implikuje w szczególności, że jeśli $widmem$ sferycznym, to dla dowolnego elementu ${\ displaystyle n> 0}$ każdy element $n }\mathbb {S} }$ jest nilpotentne (twierdzenie Goro Nishidy ). $}$$Dowód$ : jeśli jest $,$$to$$jest$ w ∗ $.$$L$ , pierścień Lazarda nie może być skręcany, ponieważ jest pierścieniem wielomianowym musi być w jądrze).

Formalne prawa grupowe

John Milnor ( 1960 ) i Sergei Novikov $( równy złożonemu$ 1960 , 1962 ) wykazali współczynnika punktu lub równoważnie pierścień klas kobordyzmu stabilnie złożonych rozmaitości) jest pierścieniem wielomianowym ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [x_ {1}, x_ {2}, \ ldots]}$ na $_$ wiele _

Napisz dla $nieskończenie wymiarowej$ złożonej przestrzeni rzutowej ${\ Displaystyle \ mu: \ mathbb {CP} ^ {\ infty} \ razy \ mathbb {CP} ^ {\ infty} \ do \ mathbb {CP} ^ {\ infty}.} Złożona orientacja$ przestrzenią klasyfikującą dla zespolonych wiązek linii, tak że iloczyn tensorowy wiązek linii indukuje mapę na asocjacyjnym pierścieniu przemiennym widmo E jest elementem x w ${\ Displaystyle E ^ {2} (\ mathbb {CP} ^ {\ infty})},$ którego ograniczenie do ${\ Displaystyle E ^ {2}(\mathbb {CP} ^{1})}$ wynosi 1, jeśli ten ostatni pierścień jest utożsamiany z pierścieniem współczynnika E . Widmo E z takim elementem x nazywane jest zespolonym zorientowanym widmem pierścieniowym .

Jeśli E jest złożonym zorientowanym widmem pierścieniowym, to

${\ Displaystyle E ^ {*} (\ mathbb {CP} ^ {\ infty}) = E ^ {*} ({\ tekst {punkt }}) [[x]]}$

${\ Displaystyle E ^ {*} ( \mathbb {CP} ^{\infty })\times E^{*}(\mathbb {CP} ^{\infty })=E^{*}({\text{punkt}})[[x\otimes 1,1\czasami x]]}$

i ${\ Displaystyle \ mu ^ {*} (x) \ w E ^ {*} ({\ tekst {punkt}} mi$$} )=\pi ^{*}(E)}$ punkt = E ^ {*} ( .

Złożony kobordyzm ma naturalną złożoną orientację. Daniel Quillen ( 1969 ) wykazał, że istnieje naturalny izomorfizm między jego pierścieniem współczynnikowym a uniwersalnym pierścieniem Lazarda , czyniąc formalne prawo grupowe złożonego kobordyzmu w uniwersalne formalne prawo grupowe. Innymi słowy, dla dowolnego formalnego prawa grupowego F na dowolnym pierścieniu przemiennym R istnieje unikalny homomorfizm pierścienia od MU ^* (punkt) do R taki, że F jest wycofaniem formalnego prawa grupowego złożonego kobordyzmu.

Zobacz także: teoria kohomologii zorientowanej na zespoły

Kohomologia Browna-Petersona

Złożony kobordyzm nad wymiernymi można sprowadzić do zwykłej kohomologii nad wymiernymi, więc główne zainteresowanie dotyczy skrętu złożonego kobordyzmu. Często łatwiej jest badać skręt po jednej liczbie pierwszej na raz, lokalizując MU w pierwszej p ; z grubsza mówiąc oznacza to, że jeden zabija torsję pierwszą do p . Lokalizacja MU _p MU w punkcie pierwszym p dzieli się jako suma zawieszeń prostszej teorii kohomologii zwanej kohomologią Browna-Petersona , opisanej po raz pierwszy przez Browna i Petersona (1966) . W praktyce często wykonuje się obliczenia z kohomologią Browna-Petersona, a nie ze złożonym kobordyzmem. Znajomość kohomologii Browna-Petersona przestrzeni dla wszystkich liczb pierwszych p jest z grubsza równoważna znajomości jej złożonego kobordyzmu.

Zajęcia Connera-Floyda

Pierścień ${\ Displaystyle \ operatorname {MU} ^ {*} (BU)}$ jest izomorficzny z pierścieniem formalnego szeregu potęgowego ${\ Displaystyle \ operatorname {MU} ^ {*} ({\ tekst {punkt}}) [[cf_ {1}, cf_ {2}, \ ldots ]]} gdzie elementy cf nazywane są klasami Connera –$ Floyda . Są analogami klas Cherna dla złożonego kobordyzmu. Zostały one wprowadzone przez Connera i Floyda (1966) .

Podobnie jest izomorficzny z pierścieniem wielomianowym ${\ Displaystyle \ nazwa operatora {MU} _ {*} (BU)}$ jest izomorficzny z pierścieniem wielomianowym ${\ Displaystyle \operatorname {MU} _{*}({\text{punkt}})[[\beta _{1},\beta _{2},\ldots ]]}$

Operacje kohomologiczne

Algebra Hopfa MU _* (MU) jest izomorficzna z algebrą wielomianową R[b ₁ , b ₂ , ...], gdzie R jest zredukowanym pierścieniem bordyzmu sfery 0.

Koprodukt jest podawany przez

${\ Displaystyle \ psi (b_ {k}) = \ suma _ {i + j = k} (b) _ { 2i}^{j+1}\czasami b_{j}}$

gdzie zapis () _{2 i} oznacza wziąć kawałek stopnia 2 i . Można to interpretować w następujący sposób. Mapa

${\ Displaystyle x \ do x + b_ {1} x ^ {2} + b_ {2} x ^ {3} + \ cdots}$

jest ciągłym automorfizmem pierścienia formalnego szeregu potęgowego w x , a koprodukt MU _* (MU) daje złożenie dwóch takich automorfizmów.

Zobacz też

• Sekwencja widmowa Adamsa – Nowikowa
• Lista teorii kohomologii
• Kobordyzm algebraiczny

Notatki

•   Adams, J. Frank (1974), Stabilna homotopia i uogólniona homologia , University of Chicago Press , ISBN 978-0-226-00524-9
•   Atiyah, Michael Francis (1961), „Bordyzm i kobordyzm”, Proc. Cambridge Philos. soc. , 57 (2): 200–208, Bibcode : 1961PCPS...57..200A , doi : 10.1017/S0305004100035064 , MR 0126856
•   Brown, Edgar H., Jr .; Peterson $”$ Franklin P. (1966) , „Widmo, którego kohomologia jest algebrą zredukowanych ^potęg p , , 5 (2): 149–154, doi : 10.1016/0040-9383(66)90015-2 , MR 0192494 .
•    Conner, Pierre E .; Floyd, Edwin E. (1966), Związek kobordyzmu z teoriami K , Notatki z wykładów z matematyki, tom. 28, Berlin-Nowy Jork: Springer-Verlag , doi : 10.1007/BFb0071091 , ISBN 978-3-540-03610-4 , MR 0216511
•   Milnor, John (1960), „O pierścieniu kobordyzmu $($ złożonym analogu, część I”, American Journal of Mathematics , 82 3 ) 505–521, doi : 10,2307 /2372970 , JSTOR 2372970
• Morawa, Jack (2007). „Kobordyzm złożony i topologia algebraiczna”. arXiv : 0707.3216 [ matematyka.HO ].
• Novikov, Sergei P. (1960), „Niektóre problemy topologii rozmaitości związane z teorią przestrzeni Thoma”, Soviet Math. Dokł. , 1 : 717–720 . Tłumaczenie    „О некоторых задачах топологии многообразий, связанных с теорией пространств Тома”, Doklady Akademii Nauk SSSR , 132 (5): 1031–1034, MR 0121815 , Zbl 0094.35902 .
•   Nowikow, Siergiej P. (1962), „Właściwości homotopii kompleksów Thoma. (Rosyjski)”, Mat. Śr. , Nowa seria, 57 : 407–442, MR 0157381
•   Quillen, Daniel (1969), „O formalnych prawach grupowych niezorientowanej i złożonej teorii kobordyzmu”, Biuletyn Amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego , 75 (6): 1293–1298, doi : 10.1090 / S0002-9904-1969-12401-8 , MR 0253350 .
•    Ravenel, Douglas C. (1980), „Złożony kobordyzm i jego zastosowania do teorii homotopii” , Proceedings of the International Congress of Mathematicians (Helsinki, 1978) , tom. 1, Helsinki: Acad. nauka Fennica, s. 491–496, ISBN 978-951-41-0352-0 , MR 0562646
•    Ravenel, Douglas C. (1988), „Złożona teoria kobordyzmu dla teoretyków liczb”, krzywe eliptyczne i formy modułowe w topologii algebraicznej , notatki z wykładów z matematyki, tom. 1326, Berlin / Heidelberg: Springer, s. 123–133, doi : 10.1007/BFb0078042 , ISBN 978-3-540-19490-3 , ISSN 1617-9692
•    Ravenel, Douglas C. (2003), Złożona kobordyzm i stabilne grupy homotopii kul (wyd. 2), AMS Chelsea, ISBN 978-0-8218-2967-7 , MR 0860042
• Rudyak, Yuli B. (2001) [1994], "Cobordism" , Encyklopedia matematyki , EMS Press
• Stong, Robert E. (1968), Uwagi na temat teorii kobordyzmu , Princeton University Press
•   Thom, René (1954), „Quelques propriétés globales des variétés différentiables” , Commentarii Mathematici Helvetici , 28 : 17–86, doi : 10.1007/BF02566923 , MR 0061823

Linki zewnętrzne

• Złożony bordyzm w wielorakim atlasie
• kobordyzm teoria kohomologii w n Lab