Algebra topologiczna

W matematyce algebra topologiczna jest algebrą i jednocześnie przestrzenią topologiczną , $i$ topologiczne są spójne w określonym sensie.

Definicja

Algebra topologiczna nad polem topologicznym jest topologiczną przestrzenią wektorową $A$ z mnożeniem dwuliniowym $}$

${\ Displaystyle \ cdot: A \ razy A \ do A}$ ,

${\ Displaystyle (a, b) \ mapsto a \ cdot b}$

która zamienia się $w$$algebrę$ nad jest ciągła w pewnym sensie. Zwykle ciągłość mnożenia wyraża się jednym z następujących (nierównoważnych) wymagań:

• wspólna ciągłość : dla każdego sąsiedztwa zerowego istnieją sąsiedztwa zerowe $\ Displaystyle W \ subseteq A$ ⊆ $Displaystyle V \ subseteq A}$$i$ W że ${\ Displaystyle V \ cdot W \ subseteq U}$ (innymi słowy, warunek ten oznacza, że ​​mnożenie jest ciągłe jako mapa między przestrzeniami topologicznymi ${\ Displaystyle A \ razy A \ do A}$ ) lub
• ciągłość stereotypu : dla każdego całkowicie ograniczonego zbioru ${\ Displaystyle U \$ dla każdego sąsiedztwa zera $A}$ sąsiedztwo zera $}$${\ displaystyle V \$$_$ takie _ $_$ _
• oddzielna ciągłość : dla każdego elementu $Displaystyle$ każdego sąsiedztwa zera $\ subseteq A}$ jest sąsiedztwo zera ${\ Displaystyle V \ subseteq A }$ takie, że i $\ Displaystyle a \ cdot V \ subseteq U}$ i ${\ Displaystyle V \ cdot a \ subseteq U}$ .

(Z pewnością wspólna ciągłość implikuje ciągłość stereotypu, a ciągłość stereotypu implikuje oddzielną ciągłość.) W pierwszym przypadku nazywana jest „ algebrą topologiczną z łącznie ciągłym mnożeniem ”, aw ostatnim „ $ZA {\ displaystyle A}$ oddzielnie ciągłym mnożeniem ” .

Jednostkowa asocjacyjna algebra topologiczna jest (czasami) nazywana pierścieniem topologicznym .

Historia

Termin ten został ukuty przez Davida van Dantziga ; pojawia się w tytule jego rozprawy doktorskiej (1931).

Przykłady

1. Algebry Frécheta są przykładami asocjacyjnych algebr topologicznych z łącznie ciągłym mnożeniem.

2. Algebry Banacha są szczególnymi przypadkami algebr Frécheta .

3. Algebry stereotypów są przykładami asocjacyjnych algebr topologicznych z ciągłym mnożeniem stereotypów.

Linki zewnętrzne

• Algebra topologiczna w n Lab

•   Beckenstein, E.; Narici, L.; Suffel, C. (1977). Algebry topologiczne . Amsterdam: Północna Holandia. ISBN 9780080871356 .
•   Akbarow, SS (2003). „Dwoistość Pontriagina w teorii topologicznych przestrzeni wektorowych iw algebrze topologicznej” . Dziennik nauk matematycznych . 113 (2): 179–349. doi : 10.1023/A:1020929201133 . S2CID 115297067 .
•   Mallios, A. (1986). Algebry topologiczne . Amsterdam: Północna Holandia. ISBN 9780080872353 .
•   Balachandran, VK (2000). Algebry topologiczne . Amsterdam: Północna Holandia. ISBN 9780080543086 .
•   Fragoulopoulou, M. (2005). Algebry topologiczne z inwolucją . Amsterdam: Północna Holandia. ISBN 9780444520258 .