Funktor grupowy
W matematyce funktor grupowy jest funktorem o wartościach grupowych w kategorii pierścieni przemiennych. Chociaż jest to zazwyczaj postrzegane jako uogólnienie schematu grupowego , samo pojęcie nie obejmuje żadnej teorii schematów . Ze względu na tę cechę niektórzy autorzy, zwłaszcza Waterhouse i Milne (którzy podążali za Waterhousem), rozwijają teorię schematów grupowych w oparciu o pojęcie funktora grupowego zamiast teorii schematów.
Grupa formalna jest zwykle definiowana jako określony rodzaj funktora grupowego.
Funktor grupowy jako uogólnienie schematu grupowego
Schemat z kategorii do kategorii zbiorów spełniających ; perspektywa znana jako funktor punktów . Z tej perspektywy schemat grupowy jest funktorem kontrawariantnym od grup, która jest snopkiem Zariskiego (tj. topologia Zariskiego).
Na przykład, jeśli Γ jest grupą skończoną, rozważmy funktor, który wysyła Spec( R ) do zbioru lokalnych funkcji stałych na tej grupie. [ potrzebne wyjaśnienie ] Na przykład schemat grupowy
![{\displaystyle SL_{2}=\operatorname {Spec} \left({\frac {\mathbb {Z} [a,b,c,d]}{(ad-bc-1)}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2133f55e11d6e3335112d71493af251cb944841a)
można opisać jako funktor
![{\displaystyle \operatorname {Hom} _{\textbf {CRing}}\left({\frac {\mathbb {Z} [a,b,c,d]}{(ad-bc-1)}},-\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f401777adb2676cbcbda33c2a61379fc02cd7b1f)
Jeśli weźmiemy na przykład pierścień wtedy
![{\displaystyle {\begin{aligned}SL_{2}(\mathbb {C} )&=\operatorname {Hom} _{\textbf {CRing}}\left({\frac {\mathbb {Z} [a,b,c,d]}{(ad-bc-1)}},\mathbb {C} \right)\\&\cong \left\{{\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}\in M_{2}(\mathbb {C} ):ad-bc=1\right\}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcb813177f76a1fd8f023179985906de666c2950)
Snop grupowy
Przydatne jest rozważenie funktora grupowego, który respektuje topologię (jeśli istnieje) kategorii bazowej; mianowicie taki, który jest snopem, a funktor grupowy, który jest snopem, nazywany jest snopkiem grupowym. Pojęcie to pojawia się w szczególności w omówieniu torsora ( gdzie ważną kwestią jest wybór topologii).
Na przykład p -podzielna grupa jest przykładem snopka grupowego fppf (snopu grupowego w odniesieniu do topologii fppf).
Zobacz też
Notatki
- Waterhouse, William (1979), Wprowadzenie do schematów grup afinicznych , Graduate Texts in Mathematics, tom. 66, Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-1-4612-6217-6 , ISBN 978-0-387-90421-4 , MR 0547117