Konstrukcja Grothendiecka

Konstrukcja Grothendiecka (nazwana na cześć Aleksandra Grothendiecka ) jest konstrukcją używaną w dziedzinie matematyki teorii kategorii .

Definicja

Niech $_$ funktorem z dowolnej . _ _ _ Konstrukcja Grothendiecka dla to kategoria (również napisana $∫$ $}F}$ $\$ $Displaystyle \ textstyle \ int _ {\ textstyle {$ , ${\ Displaystyle \ textstyle {\ mathcal {C}} \ int F}$ lub fa ${\ Displaystyle F \ rtimes {\ mathcal {C}}} )$ z

obiekty będące parami ${\ Displaystyle (c, x)}$ , gdzie ${\ Displaystyle c \ w \ operatorname {obj} ({\ mathcal {C}})}$ i ${\ Displaystyle x \ w \ nazwa operatora {obj} (F (c))}$ ; I
morfizmy w ${\ Displaystyle \ operatorname {hom} _ {\ Gamma (F)} ((c_ {1}, x_ { 1}), (c_ {2}, x_ {2}})}$ będące parami ${\ Displaystyle (f, g)}$ takie, że ${\ Displaystyle f: c_ {1} \ do c_ {2}}$ $sol$ $Displaystyle g: F (f) (x_ {1}) \ do x_ {2}}$ : fa w ${\ Displaystyle F (c_ {2})}$ .

Skład morfizmów jest określony przez ${\ Displaystyle (f, g) \ circ (f' ,g')=(f\circ f',g\circ F(f)(g'))}$ .

Hasło reklamowe

„Konstrukcja Grothendiecka bierze ustrukturyzowane, tabelaryczne dane i spłaszcza je, wrzucając je wszystkie do jednej dużej przestrzeni. Funktor projekcji ma następnie za zadanie zapamiętać, z którego pudełka pochodzi każdy punkt odniesienia”.

Przykład

Jeśli jest $grupą$ , $to można ją$ jako kategorię z jednym obiektem i wszystkimi Niech ${\ Displaystyle F: {\ mathcal {C}} _ {G} \ do \ mathbf {Kot}} będzie$ , którego wartość na jedynym obiekcie ${\ displaystyle {\ mathcal {C}}_{G}}$ to kategoria $displaystyle {\ mathcal {C}} _ {$ $},$ kategoria reprezentująca grupę w ten sam sposób. Wymóg, aby ${\ displaystyle F }$ był wtedy równoznaczny z określeniem homomorfizmu grupy ${\ Displaystyle \ varphi: G \ do \ nazwa operatora {Aut} (H)}$ gdzie fa ${\ Displaystyle \ nazwa operatora {Aut} (H)}$ oznacza ${\ Displaystyle H.}$ automorfizmów H. Wreszcie konstrukcja Grothendiecka $daje$ z jednym obiektem, który ponownie grupa, iw tym przypadku wypadkowa grupa jest ( izomorficzna z) iloczynem półprostym ${\ Displaystyle H \ rtimes _ {\ varphi} G.}$

Zobacz też

Kategoria elementów

Mac Lane i Moerdijk, Snopy w geometrii i logice , s. 44.
RW Thomason (1979). Granice homotopii w kategorii małych kategorii. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 85, s. 91–109. doi:10.1017/S0305004100055535.

Konkretny

^ Spivak, David I. (10 października 2014). Teoria kategorii dla nauk . Cambridge, Massachusetts. s. 6.2.2.5. ISBN 978-0262028134 . OCLC 893909845 .

Linki zewnętrzne

Grothendieck Construction w n Lab

[1] Spivak, David I. (10 października 2014). Teoria kategorii dla nauk . Cambridge, Massachusetts. s. 6.2.2.5. ISBN 978-0262028134 . OCLC 893909845 .