Kategoria elementów

W teorii kategorii , jeśli $C$ jest kategorią , a $F : C \to Set jest$ funktorem o wartościach ustalonych , kategoria $el(F)$ elementów $F$ (również oznaczana $\int C F$ ) jest następującą kategorią:

Obiekty to pary ${\ Displaystyle (A, a)}$ gdzie ${\ Displaystyle A \ in \ mathop {\ rm {Ob}} (C)}$ i ${\ Displaystyle a \ w FA}$ .
Morfizmy ${\ Displaystyle (A, a) \ do (B, b)}$ to strzałki ${\ Displaystyle f: A \ do B}$ do ${\$ takie, że ${\ Displaystyle (Ff) a = b}$ .

Bardziej zwięzłym sposobem wyrażenia tego jest to, że kategorią elementów $F$ jest kategoria przecinkowa $*↓ F$ , gdzie $*$ jest singletonem (zbiorem z jednym elementem). Kategoria elementów $F$ ma naturalną projekcję $el(F)\to C$ , która wysyła obiekt $(A, a)$ do $A$ , oraz strzałkę $(A, a)\to (B, b)$ do leżącej pod nią strzałki w $C$ .

Kategoria elementów presnopa

W niektórych tekstach (np. Mac Lane, Moerdijk) dla presnopów używana jest kategoria elementów. Podajemy to wyraźnie dla kompletności. Jeśli $P \in Ĉ := Zbiór C op$ jest snopkiem wstępnym , kategoria elementów P (ponownie oznaczona przez $el(P) , lub$ $dla C P = \int C op P$ wyjaśnienia powyższej definicji, $\int$ ) wynosi następująca kategoria:

Obiekty to pary ${\ Displaystyle (A, a)}$ gdzie ${\ Displaystyle A \ in \ mathop {\ rm {Ob}} (C)}$ i ${\ Displaystyle a \ w P (A)}$ .
Morfizmy ${\ Displaystyle (A, a) \ do (B, b)}$ to strzałki ${\ Displaystyle f: A \ do B}$ do ${\$ takie, że ${\ Displaystyle (Pf) b = a}$ .

Jak widać, kierunek strzałek jest odwrócony. Można jeszcze raz sformułować tę definicję w bardziej zwięzły sposób: właśnie zdefiniowana kategoria to nic innego jak $(*↓ P) op$ . Konsekwentnie, w duchu dodawania „co” przed nazwą konstrukcji dla oznaczenia jej przeciwieństwa, należy raczej nazwać tę kategorię kategorią koelementów $P$ .

Dla małego $C$ , tę konstrukcję można rozszerzyć na funktor $\int C$ od $Ĉ$ do $Cat$ , kategorię małych kategorii . W rzeczywistości, używając lematu Yonedy , można pokazać, że $\int C P ≅ y ↓ P$ , gdzie $y : C \to Ĉ$ jest osadzeniem Yonedy. Ten izomorfizm jest naturalny w $P$ , a zatem funktor $\int C$ jest naturalnie izomorficzny z $y ↓-: Ĉ \to Cat$ .

Kategoria elementów algebry operowej

Biorąc pod uwagę (kolorową) operę $O$ i funktor, zwany też algebrą, $A : O \to Set$ , otrzymujemy nową operę, zwaną kategorią elementów i oznaczoną $\int O A$ , uogólniając powyższą historię na kategorie. Posiada następujący opis:

Obiekty $_$ $parami$ gdzie _ $_ x\w A(o)}$ .
Strzałka ${\ Displaystyle (o_ {1}, x_ {1}) \ do (o_ {2}, x_ {2})} to$ strzałka ${\ Displaystyle f \ dwukropek o_ {1} \ do o_ {2}}$ w ${\ Displaystyle O}$ tak, że ${\ Displaystyle A (f) (x_ {1}) = x_ {2}.}$

Zobacz też

Konstrukcja Grothendiecka

Mac Lane, Saunders (1998). Kategorie dla pracującego matematyka . Absolwent Teksty z matematyki 5 (wyd. 2). Springer-Verlag. ISBN 0-387-98403-8 .
Mac Lane, Saunders; Moerdijk, Ieke (1992). Snopy w geometrii i logice . Universitext (poprawiona red.). Springer-Verlag. ISBN 0-387-97710-4 .

Linki zewnętrzne

Kategoria pierwiastków w n Lab