Kategoria włóknista

Kategorie włókniste (lub kategorie włókniste ) to abstrakcyjne byty w matematyce używane do zapewnienia ogólnych ram teorii pochodzenia . Formalizują różne sytuacje w geometrii i algebrze , w których można zdefiniować odwrotne obrazy (lub wycofania ) obiektów, takich jak wiązki wektorowe . Na przykład dla każdej przestrzeni topologicznej istnieje kategoria wiązek wektorowych w przestrzeni, a dla każdej ciągłej mapy z przestrzeni topologicznej X do innej przestrzeni topologicznej Y jest powiązany funktor pullback przenoszący wiązki na Y do wiązek na X . Kategorie światłowodowe formalizują system składający się z tych kategorii i odwrotnych funktorów obrazu. Podobne układy pojawiają się w różnych postaciach w matematyce, w szczególności w geometrii algebraicznej , która jest kontekstem, w którym pierwotnie pojawiły się kategorie włókniste. Kategorie światłowodowe służą do definiowania stosów , które są kategoriami światłowodowymi (na terenie) z „zejściem”. Fibracje odgrywają również ważną rolę w kategorycznej semantyce teorii typów , aw szczególności w teoriach typów zależnych .

Kategorie włókniste zostały wprowadzone przez Alexandra Grothendiecka ( 1959 , 1971 ), a bardziej szczegółowo rozwinięte przez Jeana Girauda ( 1964 , 1971 ).

Tło i motywacje

W topologii i geometrii istnieje wiele przykładów , w których uważa się, że niektóre typy obiektów istnieją na lub ponad pewną bazową przestrzenią bazową . Klasyczne przykłady obejmują wiązki wektorowe, wiązki główne i krążki nad przestrzeniami topologicznymi. Innym przykładem są „rodziny” rozmaitości algebraicznych sparametryzowanych przez inną rozmaitość. Typowe dla takich sytuacji $,$ że odpowiedniemu typowi mapy między przestrzeniami podstawowymi odpowiada operacja obrazu odwrotnego zwana także $\ displaystyle f ^ {*}}$ przenosząc rozważane obiekty zdefiniowane na do tego samego typu obiektów na $X$$}$ . Tak jest $displaystyle$$f ^ {*} (E)}$$wiązką$ wektorów fa ( na ${\ displaystyle X}$ .

Co więcej, często zdarza się, że rozpatrywane „obiekty na przestrzeni bazowej” tworzą kategorię, czyli innymi słowy mają między sobą mapy ( morfizmy ). W takich przypadkach operacja odwrotnego obrazu jest często zgodna z kompozycją tych map między obiektami lub, mówiąc bardziej technicznie, jest funktorem . Ponownie tak jest w przypadku przykładów wymienionych powyżej.

Jednak często zdarza się, że jeśli $sol : Y → Z {\ Displaystyle g:$ odwrotne funktory obrazu nie są ściśle kompatybilne z mapami złożonymi: jeśli obiektem $Z}$ nad ( $wiązką$ wektorów), może tak być

${\ Displaystyle f ^ {*} (g ^ {*} (z)} \ neq (g \ circ f) ^ {*} (z).}$

Zamiast tego te odwrócone obrazy są tylko naturalnie izomorficzne . To wprowadzenie pewnego „luzu” w systemie odwróconych obrazów powoduje pojawienie się pewnych delikatnych kwestii i to właśnie ten układ formalizują kategorie fibred.

Główne zastosowanie kategorii światłowodowych znajduje się w teorii pochodzenia , dotyczącej szerokiego uogólnienia technik „sklejania” stosowanych w topologii. Aby wesprzeć teorię pochodzenia o wystarczającej ogólności, aby można ją było zastosować w nietrywialnych sytuacjach w geometrii algebraicznej, definicja kategorii włóknistych jest dość ogólna i abstrakcyjna. Jednak podstawowa intuicja jest dość prosta, jeśli pamięta się o podstawowych przykładach omówionych powyżej.

Definicje formalne

Istnieją dwie zasadniczo równoważne definicje techniczne kategorii włókien, z których obie zostaną opisane poniżej. Cała dyskusja w tej sekcji ignoruje teorii mnogości związane z „dużymi” kategoriami. Dyskusja może być całkowicie rygorystyczna, na przykład poprzez ograniczenie uwagi do małych kategorii lub użycie wszechświatów .

Morfizmy i funktory kartezjańskie

Jeśli jest funktorem $dwiema$ kategoriami i obiektem mi $\ displaystyle$$E}$ podkategorią jest $}$ displaystyle $F$ } składający się z tych obiektów , dla których $x$$\ Displaystyle \ phi (x) = S}$$} _ {S}}$ tych morfizmów satysfakcjonujących ${\ Displaystyle m}$${\ Displaystyle \ phi (m)$$}$$kategorią$ nazywana jest włókien (lub włóknem ) nad i jest oznaczona . Morfizmy nazywane są -morfizmami , a dla obiektów obiektów $S}} , fa$ \ $displaystyle$$}}$$S$ zbiór $-morfizmów$ jest oznaczony przez $Displaystyle {\ tekst {Hom}} _ {S} (x, y)}$ \ Obraz przez ${\ displaystyle \ phi}$ obiektu lub morfizmu $w$ nazywa się jego projekcją (przez ${\ displaystyle \ phi}$ ) Jeśli $\$ morfizmem , to te morfizmy , które rzutują na -morfizmy $\$$displaystyle f}$ są nazywane ${\ displaystyle f }$ -morfizmami , a fa $displaystyle f$ zbiór $-morfizmów$$\ Displaystyle {\ tekst {Hom }}_{f}(x,y)}$ obiektami i ${\ Displaystyle$$}$ w jest przez $)$ .

Morfizm w jest nazywany $\$ (lub po prostu kartezjańskim ) , jeśli spełnia następujący warunek: ${$$\ Displaystyle m: x$

fa ${\ Displaystyle f: T \ do S}$ projekcją ${\ Displaystyle m}$ i jeśli ${\ Displaystyle n: z \ do y}$ jest m ${\ displaystyle f}$ -morfizm, to jest dokładnie jeden -morfizm $a: z \ do x}$$Displaystyle$ , że ${\ Displaystyle m \ circ a = n}$ .

Morfizm kartezjański ${\ Displaystyle f = \$ jest odwrotnym obrazem jego rzutu $fa$ phi obiekt nazywany jest odwrotnym obrazem przez $f$$displaystyle$$}$ .

Morfizmy kartezjańskie kategorii włókien $F_ {$ dokładnie izomorfizmami . $}}$ . Ogólnie może istnieć więcej niż jeden morfizm kartezjański rzutujący na dany $morfizm$ źródła w ten sposób może istnieć więcej niż jeden odwrotny obraz danego obiektu przez $fa$$S$ { displaystyle $}}$ . Jednak bezpośrednią konsekwencją definicji jest to, że dwa takie odwrotne obrazy $.$ w

Funktor ${\ displaystyle \ phi: F \ do mi}$$również$ nazywany kategorią - lub mówi się, że tworzy $}$$E$ - kategoria lub kategoria nad ${\ displaystyle E}$ . Mi ${\ Displaystyle E}$$-funktor$ z kategorii -kategoria ${\ Displaystyle \ phi: F \ do E}$ mi $\ displaystyle E$ -kategoria ${\ Displaystyle \ psi: G \ do E}$ jest funktorem ${\ Displaystyle \ alfa: F \ do G}$ takim, że ${\ Displaystyle \ psi \ circ \ alpha = \ phi}$ . ${\ displaystyle E}$ -kategorie tworzą w naturalny sposób 2-kategorię , przy czym 1-morfizmy to $-funktory$ a 2-morfizmy to naturalne przekształcenia między ${\ displaystyle E}$ , których składowe mi leżeć w jakimś włóknie.

Funktor między dwiema $jeśli$ nazywany jest funktorem kartezjańskim $,$ przenosi morfizmy kartezjańskie na morfizmy kartezjańskie Funktory kartezjańskie między dwiema kategoriami $displaystyle F,$$}$ tworzą kategorię $\ Displaystyle {\ tekst {koszyk}} _ {E} (F, G )}$ , z naturalnymi przekształceniami jako morfizmami. Szczególny przypadek zapewnia traktowanie jako kategorii za pomocą funktora tożsamości: następnie funktora kartezjańskiego od kategorii $E}$$displaystyle$ do $displaystyle E$$\$ -kategorii ${\ displaystyle F}$ nazywa się przekrojem kartezjańskim . Zatem przekrój kartezjański $każdego$$\ displaystyle$ z wyboru jednego obiektu w $}$ obiektu w $F_ {S$ S dla każdego morfizmu wybór odwrotnego obrazu $S$$f$ . Sekcja kartezjańska $jest$ zatem (ściśle) kompatybilnym systemem odwrotnych obrazów . Kategoria przekrojów kartezjańskich jest oznaczona przez ${\ displaystyle F}$

${\ Displaystyle {\ underset {\ longleftarrow} {\ operatorname {Lim}}} (F / E) = \ operatorname {Koszyk} _ {E} (E, F).}$

W ważnym przypadku, gdy ma $E$ końcowy $\$ \ $displaystyle$ E } } ${$ strzałek z celem w $_$$_$ _

${\ Displaystyle \ epsilon \ dwukropek {\ underset {\ longleftarrow} {\ operatorname {Lim}}} (F / E) \ do F_{e},\qquad s\mapsto s(e)}$

jest w pełni wierny (Lemat 5.7 Girauda (1964)).

Kategorie włókniste i kategorie rozszczepione

Najbardziej elastyczna i ekonomiczna technicznie definicja kategorii włókien oparta jest na koncepcji morfizmów kartezjańskich. Jest to równoważne z definicją w kategoriach rozszczepień , przy czym ta ostatnia definicja jest w rzeczywistości oryginalną definicją przedstawioną przez Grothendiecka (1959); definicję w kategoriach morfizmów kartezjańskich wprowadził Grothendieck (1971) w latach 1960–1961.

Kategoria $jest$ włóknistą kategorią ( włóknistą $E$ kategorią $\$ displaystyle _ _ $_ mi )$ ), jeśli każdy morfizm ${\ displaystyle$ mi $E}$ , którego kodomena znajduje się w zakresie projekcji, ma co najmniej jeden obraz odwrotny, a ponadto kompozycja ∘ $displaystyle m \ circ n}$$morfizmy$ dwa w $zawsze$ . Innymi słowy, kategoria $-kategoria$ jest kategorią włóknistą, jeśli zawsze istnieją odwrotne obrazy (dla morfizmów, których domeny kodowe znajdują się w zakresie projekcji) i przechodnie .

Jeśli ${\ displaystyle E}$$ma$$}$${\ displaystyle$ i jest $światłowodem$ przez , to funktor z przekrojów kartezjańskich do ${\ displaystyle F_ {e}}$ zdefiniowana na końcu poprzedniej sekcji jest równoważnością kategorii , a ponadto surjekcją obiektów.

Jeśli jest kategorią włóknistą $, zawsze jest to możliwe dla$$każdego$ morfizmu w mi $S}$${\ displaystyle E}$ i mi każdy obiekt $y$ , aby wybrać (za pomocą $\ displaystyle m: x \ do$ wyboru ) dokładnie jeden odwrotny obraz $:$ . Wybraną w ten sposób klasę morfizmów nazywamy rozszczepieniem , a wybrane morfizmy morfizmami transportowymi (rozszczepienia). Kategoria włóknista wraz z rozszczepieniem nazywana jest kategorią rozszczepioną . Rozszczepienie nazywa się znormalizowanym , jeśli morfizmy transportowe obejmują wszystkie tożsamości w; ${\ displaystyle F}$ ; oznacza to, że odwrotne obrazy morfizmów tożsamości są wybierane jako morfizmy tożsamości. Najwyraźniej, jeśli rozszczepienie istnieje, można je znormalizować; poniżej rozważymy tylko znormalizowane rozkłady.

Wybór (znormalizowanego) rozszczepienia dla włóknistej $mi}$$określa$ , dla każdego morfizmu $f: T \ do S}$$\ Displaystyle$ mi ${\ displaystyle F$ , funktor ${\ Displaystyle f ^ {*}: F_ {S} \ do F_ {T}}$ ; na obiektach $jest$ po prostu odwrotnym obrazem przez odpowiedni morfizm transportowy, a na morfizmach jest definiowany w naturalny sposób przez definiującą uniwersalną właściwość morfizmów $Operacja$$,$$która$ obiektem z $kategorią$ włókien i ${$ odwrotnego obrazu $\displaystyle f ^ {*}}$$kategorii$ prawie funktorem kontrawariantnym z kategorii. Jednak na ogół nie komutuje się ściśle ze złożeniem morfizmów. Zamiast tego, jeśli i ${\ Displaystyle$$U \ do T}$ są morfizmami w , to istnieje izomorfizm fa : $S}$ funktory

${\ Displaystyle c_ {f, g} \ dwukropek \ quad g ^ {*} f ^ {*} \ do (f \ circ g) ^ {*}.}$

Te izomorfizmy spełniają następujące dwie zgodności:

1. ${\ Displaystyle c_ {f, \ operatorname {id} _ {T}} = c_ {\ operatorname {id} _ {S}, f} =\mathrm {identyfikator} _{f^{*}}}$
2. dla trzech kolejnych morfizmów ${\ Displaystyle h, g, f \ dwukropek \ quad V \ do U \ do T \ do S}$ i obiekt ${\ displaystyle x \in F_{S}}$ zachodzi: ${\ Displaystyle c_ {f, g \ circ h} \ cdot c_ {g, h} (f ^ {*} (x)) = c_ {f \ circ g, h} (x) \ cdot h ^ {*} (c_{f,g}(x)).}$

Można pokazać (patrz Grothendieck (1971) sekcja 8), że odwrotnie, dowolny zbiór funktorów razem $} \ do f_ {t}}$ s z izomorfizmami $powyższe$ zgodności definiuje Te zbiory odwrotnych funktorów obrazu zapewniają bardziej intuicyjny widok kategorii światłowodowych; i rzeczywiście, to w kategoriach takich zgodnych odwrotnych funktorów obrazowych kategorie włókniste zostały wprowadzone przez Grothendiecka (1959).

Artykuł Graya, o którym mowa poniżej, zawiera analogie między tymi ideami a pojęciem fibracji przestrzeni .

Pomysły te upraszczają się w przypadku groupoidów , jak pokazano w artykule Browna, o którym mowa poniżej, który otrzymuje użyteczną rodzinę dokładnych sekwencji z fibracji groupoidów.

Podziały i kategorie włókien rozszczepionych

Rozszczepienie (znormalizowane) takie, że złożenie dwóch morfizmów transportowych jest zawsze morfizmem transportowym, nazywane jest rozszczepieniem , a kategoria włóknista z rozszczepieniem nazywana jest kategorią rozszczepioną (włóknistą) . Jeśli chodzi o odwrotne funktory obrazu $}$ warunek bycia rozszczepionym oznacza, że ​​​​skład odwrotnych funktorów obrazu odpowiadających składanym morfizmom równa się odwrotnemu funktorowi obrazu odpowiadającemu ${\ displaystyle f \ circ g}$$f, g$ . Innymi słowy, wszystkie izomorfizmy zgodności $z$ to tożsamości dla podzielonej Zatem podzielone $.$$odpowiadają$ prawdziwym funktorom od kategorii kategorii

W przeciwieństwie do rozszczepień, nie wszystkie kategorie włókien dopuszczają rozszczepienia. Aby zobaczyć przykład, patrz poniżej .

Morfizmy kokartezjańskie i kategorie współwłókniste

Można odwrócić kierunek strzałek w powyższych definicjach, aby dojść do odpowiednich koncepcji morfizmów współkartezjańskich, kategorii ko-włóknistych i rozszczepionych kategorii ko-włóknistych (lub kategorii współ-podzielonych). Dokładniej, jeśli ${$ , to morfizm w jest $Displaystyle m: x \ do y$ } \ $}$ nazywany współkartezjańskim, jeśli jest kartezjański dla funktora przeciwnego ${\ Displaystyle \ phi ^ {\ tekst {op}}: F ^ {\ tekst {op}} \ do E ^ {\ tekst {op}}}$ . Wtedy jest również nazywany bezpośrednim obrazem i bezpośrednim obrazem dla $dla$${\ displaystyle x}$ fa $\$$Displaystyle f = \ phi (m$ . Współwłóknista $że$ - jest kategorią taką , bezpośredni obraz istnieje dla każdego morfizmu w $E}$$displaystyle$ i że kompozycja bezpośrednich obrazów jest bezpośrednim obrazem Wspólne rozszczepienie i wspólne rozszczepienie są zdefiniowane podobnie, co odpowiada bezpośrednim funktorom obrazu zamiast odwrotnym funktorom obrazu.

Nieruchomości

2-kategorie kategorii światłowodowych i kategorie podzielone

Kategorie włókniste nad ustaloną kategorią $E)}$ 2-kategorię , w której kategoria morfizmów między dwiema włóknistymi kategoriami $mi$$Displaystyle \ mathbf {$$i$ definiuje się jako kategorię funktorów kartezjańskich $\ Displaystyle {\ tekst {koszyk}} _ {E} (F,$$G$ do ${\ Displaystyle G}$ .

Podobnie podzielone kategorie nad tworzą 2-kategorię ${$$\ Displaystyle \ mathbf {Scin} (E)}$ (z francuskiej catégorie scindée , gdzie kategoria morfizmów między dwoma kategorie i ${\ displaystyle$$}$ to pełna podkategoria ${\ Displaystyle {\ tekst {Scin}} _ {E} (F, G)$${ \ displaystyle E}$ mi -funktory od do $funktorów$$,$ przekształcają każdy morfizm transportowy w morfizm transportowy ${ \ displaystyle$$}$ . Każdy taki $\ displaystyle {\ text{Scin}}_{E}(F,G)\subset {\text{Koszyk}}_{E}(F,G)}$ podzielonych $-kategorii$ jest również morfizmem $-włóknistych$ kategorii, tj. .

${\ Displaystyle i: \ mathbf {Scin} (E) \ do \ mathbf {Fib} (E)}$ naturalny zapominalski 2-funktor, który po prostu ja zapomina o podziale.

Istnienie równoważnych kategorii podziału

Chociaż nie wszystkie kategorie włókien dopuszczają podział, każda kategoria włókien jest w rzeczywistości równoważna kategorii podziału. $kategorii$$włókna$ podzielonej dla danej kategorii na . Dokładniej, zapominalski 2-funktor przyznaje, że ja $\ Displaystyle i: \ mathbf {Scin} (E) \ do \ mathbf {Fib} (E)}$ prawy 2-sprzężony $i$ lewy 2-sprzężony $($ 2.4.2 i 2.4.4 Giraud 1971) i $\ Displaystyle S (F)$ } ${\ Displaystyle L (F)}$ to dwie powiązane kategorie podziału. Funktory pomocnicze ${\ Displaystyle S (F) \ do fa}$ i ${\ displaystyle F \ do L (F)}$ są zarówno kartezjańskie, jak i równoważności ( tamże .). Jednakże $włókien$ ich skład jest równoważnością (kategorii, a nawet na to podzielone kategorie. Tak więc te dwie konstrukcje zasadniczo się różnią. Dwie poprzednie konstrukcje podzielonych kategorii są stosowane w krytyczny sposób przy konstruowaniu stosu związanego z kategorią włókien (aw szczególności stosu powiązanego ze stosem wstępnym ).

Kategorie ułożone w groupoidach

Istnieje pokrewna konstrukcja kategorii włóknistych zwanych kategoriami włóknistymi w groupoidach. Są to kategorie światłowodowe $F}}} \ do {\ mathcal {$ , że każda podkategoria z podkategorii podanej przez ${$

1. Napraw obiekt ${\ Displaystyle c \ w {\ tekst {Ob}} ({\ mathcal {C}})}$
2. Obiektami podkategorii są ${\ Displaystyle x \ w {\ tekst {Ob}} ({\ mathcal {F}})}$ gdzie ${\ Displaystyle p (x) = C}$
3. Strzałki są podane przez ${\ Displaystyle f: x \ do y}$ takie, że ${\ Displaystyle p (f) = {\ tekst {id}} _ {c}}$

to groupoid oznaczony ${\ displaystyle {\ mathcal {f}} _ {c}}$ . Powiązane 2-funktory z konstrukcji Grothendiecka są przykładami stosów . W skrócie, powiązany funktor $wysyła$ obiekt ${\ Displaystyle F_ {p}: {\ mathcal {C}} ^ {op} \ do {\ text {Groupoids}}$$}$$.$ do kategorii $indukuje$ morfizm funktor z włókienkowej Mianowicie dla obiektu rozważanego jako obiekt $Displaystyle x \ w {\ tekst {Ob}} ({\ mathcal {F}} _ {c})$$\$$mathcal {F}}}$ , istnieje obiekt ${\ Displaystyle y \ w {\ tekst {Ob}} ({\ mathcal {F}})}$ gdzie ${\ Displaystyle p(y)=d}$ ​​. To $.$ funktor, funktorem

Przykłady

Kategorie światłowodowe

1. Funktor ${\ displaystyle {\ text {Ob}}: {\ textbf {Cat}} \ to {\ textbf {Set}}} ,$ wysyłając kategorię do swojego zbioru obiektów, jest fibracją. Dla zestawu włókno składa się z kategorii z $)$$tekst {Ob}} (C) =$$\$ . Strzałki kartezjańskie są w pełni wiernymi funktorami.
2. Kategorie strzałek : dla każdej kategorii kategoria strzałek w mi { $\ displaystyle E$$ma$ jako obiekty morfizmy w $\ displaystyle E}$ i mi $}$ jako morfizmy przemienne kwadraty w (a dokładniej morfizm od $Displaystyle$$f: X \ do T}$ do $Displaystyle g: Y \ do S}$ składa się z morfizmów ${\ Displaystyle a: X \ do Y}$ i ${\ Displaystyle b: T \ do S}$ tak, że ${\ displaystyle bf = ga}$ ). Funktor, który przenosi strzałkę do celu, tworzy kategorię ; $Displaystyle A (E)$$\$ dla obiektu ${\ displaystyle E}$$włókno$ jest kategorią $S$${/S}$$S$ { \ -objects in $,$ tj. Strzałki w $displaystyle E}$$\$ celem . Morfizmy kartezjańskie $}$ dokładnie kartezjańskimi $mi$$E$$jest$ nad \ $}$ dokładnie wtedy, gdy istnieją produkty z włókien w ${\ displaystyle E}$ .
3. Wiązki światłowodowe : produkty światłowodowe $tekst {Top}$ w kategorii $przestrzeni$ topologicznych , a zatem w przykładzie są światłowodowe. na ${\ displaystyle {\ tekst {góra}}}$ . Jeśli $displaystyle {\ text {Fib}}}$$projekcji$ pełną podkategorią składającą się ze strzałek, które są mapami włókien to ${\ displaystyle {\ text {Fib}} _ {S}}$ to kategoria wiązek włókien na ${\ displaystyle S}$ , a ${\ displaystyle {\ text {Fib}}}$ jest światłowodem na ${\ displaystyle {\ tekst{Góra}}}$ . Wybór rozszczepienia jest równoznaczny z wyborem zwykłych funktorów obrazu odwrotnego (lub pull-back ) dla wiązek włókien.
4. Wiązki wektorowe : W sposób podobny do poprzednich przykładów rzuty rzeczywistych (złożonych) wiązek wektorowych na ich przestrzenie podstawowe tworzą kategorię ${\ displaystyle$$do S} {Vect}} _ {\ mathbb {R}}}$ ( ${\ Displaystyle {\ tekst {Vect}} _ {\ mathbb {C}}}$ ) na ${\ Displaystyle {\ tekst {Top}}}$ ( morfizmy wiązek wektorowych z uwzględnieniem struktury przestrzeni wektorowej włókien). Ta ${\ displaystyle {\ text {Top}}}$ jest również światłowodowa, a odwrotne funktory obrazu są zwykłymi funktorami wycofywania dla wiązek wektorowych. Te włókniste kategorie są (niepełnymi) podkategoriami ${\ displaystyle {\ text {Fib}}}$ .
5. Snopy w przestrzeniach topologicznych $:$ odwrotne funktory obrazu snopów tworzą kategorie snopów w przestrzeniach topologicznych kategorię włóknistą $S}$${\ Displaystyle {\ text {Sh}}}$ ponad ${\ Displaystyle {\ text {Top}}}$ . Tę $kategorię można$ jako pełną podkategorię składającą z étalé przestrzeni snopów Podobnie jak w przypadku wiązek wektorowych, snopy grup i pierścieni również tworzą włókniste kategorie ${\ displaystyle {\ text {Top}}}$ .
6. Snopy na topoi : Jeśli jest toposem i jest obiektem w $mi$ kategoria mi $E_ {S}$${\ displaystyle$$}$ S $displaystyle$ -objects to także topos, interpretowany jako kategoria snopów na ${\ displaystyle S}$ . fa $\ do S}$$jest$ w , odwrotny funktor obrazu można opisać w następujący sposób: ${\ displaystyle f ^ {*}}$ snop fa ${\ displaystyle F}$$}$ obiekt ma ${\ Displaystyle f ^ {*} F (U) = {\ tekst {Hom}} _ {T} (U, f ^ {*} F)}$${\ displaystyle p: U \ do T}$$T$ t { równa się ${\ Displaystyle {\ tekst {Hom}} _ {S} (f \ circ p, F) = F (U)}$ . Te odwrócone obrazy sprawiają, że kategorie stają się kategorią rozszczepionych $włókien$ na $displaystyle E}$ . $.$ to zastosować w szczególności do „dużych” topologicznych
7. Quasi-spójne snopki na schematach : Quasi-spójne snopki tworzą kategorię włóknistą nad kategorią schematów . Jest to jeden z motywujących przykładów definiowania kategorii włókien.
8. $:$ dopuszczająca brak podziału Grupa może być traktowana jako kategoria z jednym przedmiotem i elementami jako morfizmami, przy $czym$ skład morfizmów jest określony przez prawo grupowe Homomorfizm grupowy można zatem uznać za funktor, który czyni kategorię -fa : $} Można$$displaystyle f:$$G$$kartezjańskie$ , że w tym układzie wszystkie morfizmy w są ; stąd $jest$$włóknisty$ nad dokładnie wtedy $jest$ . Podział w tym $.$$mnogościowy )$ teoretycznie odcinek , który dojeżdża ściśle do składu, lub innymi słowy odcinek , który jest również homomorfizmem Ale jak dobrze wiadomo w teorii grup , nie zawsze jest to możliwe (można przyjąć projekcję w nierozdzielonym rozszerzeniu grupy ).
9. Kategoria snopów współwłóknistych : bezpośredni funktor obrazu snopów sprawia, że ​​kategorie snopów w przestrzeniach topologicznych stają się kategorią współwłóknistych. Przechodniość obrazu bezpośredniego pokazuje, że jest on nawet naturalnie współrozdzielony.

Kategoria utkana z grupoidów

Jeden z głównych przykładów kategorii utkanych w groupoidach pochodzi z obiektów groupoidów wewnętrznych w kategorii do {\ displaystyle {\ mathcal { $}}}$ . Więc biorąc pod uwagę obiekt grupowy

${\ Displaystyle x {\ overset {s} {\ underset {t} {\ rightrightarrows}}} y}$

istnieje powiązany obiekt grupowy

${\ Displaystyle h_ {x} {\ overset {s} {\ underset {t} {\ rightrightarrows}}} h_ {y}}$

w kategorii funktorów kontrawariantnych ${\ Displaystyle {\ podkreślenie {\ tekst {Hom}}} ({\ mathcal {C}} ^ {op}, {\ tekst {zbiory}}$ z osadzania yoneda . Ponieważ ten diagram zastosowany do obiektu daje wewnętrzny groupoid do zestawów ${\ Displaystyle Z \ in {\ text {Ob}} ({\ mathcal {C}})}$

${\ Displaystyle h_ {x} (z) {\ overset {s} {\ underset {t} {\ rightrightarrows}}} h_ {y} (z)}$

istnieje powiązany mały groupoid ${\ displaystyle {\ mathcal {G}}}$ . Daje to kontrawariantny $i$ konstrukcji daje kategoria włóknista w groupoidach nad do $\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$ . Zwróć uwagę, że kategoria włókna nad obiektem to tylko powiązana grupa z oryginalnego grupoidu w zestawach.

Iloraz grupowy

${\ Displaystyle X}$ uwagę obiekt grupowy działający na obiekt $z$ za $\ Displaystyle a: G \ do {\ tekst {Aut}} (X)$ } jest powiązanym obiektem grupowym

${\ Displaystyle G \ razy X {\ underset {t} {\ overset {s} {\ rightrightarrows}}} {} X}$

gdzie ${\ Displaystyle s: G \ razy X \ do X}$ jest rzutem na ${\ Displaystyle X}$ i ${\ Displaystyle t: G \ razy X \ do X}$ to mapa kompozycji ${\ Displaystyle G \ razy X \ xrightarrow {\ lewo (a, {\ text{id}}\right)} {\text{Aut}}(X)\times X\xrightarrow {(f,x)\mapsto f(x)} X}$ . Ten groupoid daje indukowaną kategorię włóknistą w groupoidach oznaczoną ${\ displaystyle p: [X/G] \ do {\ mathcal {C}}}$ .

Dwuczłonowy kompleks łańcuchowy

Dla kategorii $dowolny$ kompleks dwuczłonowy

${\ Displaystyle {\ mathcal {E}} _ {1} \ xrightarrow {d} {\ mathcal {E}} _ {0}}$

ma powiązany groupoid

${\ Displaystyle s, t: {\ mathcal {E}} _ {1} \ oplus {\ mathcal {E}} _ {0} \ rightrightarrows {\ mathcal {E}} _{0}}$

Gdzie

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} s (e_ {1} + e_ {0}) & = e_ {0 }\\t(e_{1}+e_{0})&=d(e_{1})+e_{0}\end{wyrównane}}}$

ten groupoid może być następnie użyty do skonstruowania kategorii złożonej z groupoidów. Jednym godnym uwagi tego przykładem jest badanie kompleksu cotangensowego dla przecięć miejscowo-całkowitych oraz badanie exalcomm .

Zobacz też

• Konstrukcja Grothendiecka
• Stos (matematyka)
• Kryterium Artina
• Fibracja zbiorów uproszczonych

• Giraud, Jean (1964). „Metoda zejścia”. Mémoires de la Société Mathématique de France . 2 : VIII+150.

•   Giraud, Jean (1971). Cohomologie non abélienne . Springera . ISBN 3-540-05307-7 .
• Grothendieck, Aleksander (1959). "Technique de descente et théorèmes d'existence en géométrie algébrique. I. Généralités. Descente par morphismes fidèlement plats". Seminaire Bourbaki . 5 (Exposé 190): VIII + 150.
•   Szary, John W. (1966). „Kategorie włókniste i współwłókniste”. Materiały z konferencji na temat algebry kategorialnej . Skoczek. s. 21–83. doi : 10.1007/978-3-642-99902-4_2 . ISBN 978-3-642-99902-4 .
•   Brązowy, R. (1970). „Fibracje groupoidów” (PDF) . J. Algebra . 15 : 103–132. CiteSeerX 10.1.1.145.7569 . doi : 10.1016/0021-8693(70)90089-X .
•   Grothendieck, Aleksander (2006) [1971]. „Kategorie fibrées et descente” . Revêtements étales et groupe fondamental . Notatki z wykładów z matematyki. Tom. 224.Springera. s. 145–194. arXiv : matematyka/0206203 . Bibcode : 2002math......6203G . doi : 10.1007/BFb0058662 . ISBN 978-3-540-36910-3 .
•    Bénabou, Jean (1985). „Kategorie włókniste i podstawy teorii kategorii naiwnych” . Dziennik logiki symbolicznej . 50 (1): 10–37. doi : 10.2307/2273784 . JSTOR 2273784 . S2CID 18310794 .
•   Jacobs, Bart (1999). Logika kategorialna i teoria typów . Studia z logiki i podstaw matematyki 141. North Holland, Elsevier. ISBN 0-444-50170-3 .

•   Vistoli, Angelo (2007), Notatki o topologiach Grothendiecka, kategorie włókien i teoria pochodzenia , arXiv : math.AG/0412512 , CiteSeerX 10.1.1.100.7908 .
• Streicher, Thomas (1999), „Kategorie światłowodowe à la Bénabou” , Letnia Szkoła w Monachium , arXiv : 1801.02927
•   Phoa, Wesley (1992). Wprowadzenie do fibracji, teorii toposów, toposów efektywnych i zbiorów skromnych (raport techniczny). LFCS, Wydział Informatyki, Uniwersytet w Edynburgu. CiteSeerX 10.1.1.112.4533 . ECS-LFCS-92-208.
•   Brązowy, R.; Sivera, R. (2009). „Obliczenia algebraicznych kolimitów w teorii homotopii z wykorzystaniem kategorii włóknistych i współwłóknistych” . Teoria i zastosowania kategorii . 22 : 222–251. ar Xiv : 0809.4192 . CiteSeerX 10.1.1.436.3880 .
•   Brązowy, R.; Higgins, PJ; Sivera, R. (2011). Nieabelowa topologia algebraiczna: przefiltrowane przestrzenie, skrzyżowane kompleksy, sześcienne omega-groupoidy . Traktaty z matematyki . Tom. 15. Europejskie Towarzystwo Matematyczne. ISBN 978-3-03719-083-8 .

Linki zewnętrzne

• SGA 1.VI - Kategorie światłowodowe i pochodzenie - strony 119-153
• Fibracja Grothendiecka w n Lab