Korektor (matematyka)

W matematyce korektor to zestaw argumentów, w których dwie lub więcej funkcji ma równe wartości . Korektor to zbiór rozwiązań równania . W pewnych kontekstach jądro różnicy jest korektorem dokładnie dwóch funkcji.

Definicje

Niech X i Y będą zbiorami . Niech f i g będą funkcjami , obie od X do Y. Wtedy korektor f i g jest zbiorem elementów x z X takich, że f ( x ) równa się g ( x ) w Y . Symbolicznie:

{\ Displaystyle \ operatorname {Równ.} (f, g): = \ {x \ w X \ mid f (x) = g (x) \}.}

Korektor może być oznaczony Eq( f , g ) lub wariacją na ten temat (na przykład małymi literami „eq”). W kontekstach nieformalnych notacja { f = g } jest powszechna.

W powyższej definicji użyto dwóch funkcji f i g , ale nie ma potrzeby ograniczania się tylko do dwóch funkcji, a nawet tylko do skończenie wielu funkcji. Ogólnie rzecz biorąc, jeśli F jest zbiorem funkcji od X do Y , to korektor elementów F jest zbiorem elementów x z X takich, że przy danych dowolnych dwóch elementach f i g z F , f ( x ) równa się g ( x ) w Y . Symbolicznie:

{\ Displaystyle \ operatorname {Równ.} ({\ mathcal {F}}): = \ {x \ in X \ mid \ forall f, g \ in {\ mathcal {F}}, \; f (x) = g (X)\}.}

Ten korektor można zapisać jako Eq ( fa , sol , h , ...) jeśli jest $zbiorem$ { fa , g h , ...}. W tym drugim przypadku można również znaleźć { f = g = h = ···} w kontekstach nieformalnych.

Jako zdegenerowany przypadek ogólnej definicji, niech F będzie singletonem { f }. Ponieważ f ( x ) zawsze równa się sobie, korektorem musi być cała dziedzina X . W jeszcze bardziej zdegenerowanym przypadku niech F będzie zbiorem pustym . Wtedy korektorem jest ponownie cała domena X , ponieważ uniwersalna kwantyfikacja w definicji jest próżniowo prawdziwa .

Jądra różnicowe

Korektor binarny (czyli korektor tylko dwóch funkcji) jest również nazywany jądrem różnicowym . Można to również oznaczyć jako DiffKer( f , g ), Ker( f , g ) lub Ker( f − g ). Ostatni zapis pokazuje, skąd pochodzi ta terminologia i dlaczego jest najbardziej powszechna w kontekście algebry abstrakcyjnej : Jądro różnicy f i g jest po prostu jądrem różnicy f − g . Ponadto jądro pojedynczej funkcji f można zrekonstruować jako jądro różnicowe Eq( f , 0), gdzie 0 jest funkcją stałą o wartości zero .

Oczywiście wszystko to zakłada kontekst algebraiczny, w którym jądro funkcji jest preobrazem zera w ramach tej funkcji; to nie jest prawda we wszystkich sytuacjach. Jednak terminologia „jądro różnicy” nie ma innego znaczenia.

W teorii kategorii

Korektory można zdefiniować za pomocą uniwersalnej własności , która pozwala na uogólnienie pojęcia z kategorii zbiorów na dowolne kategorie .

W ogólnym kontekście X i Y to obiekty, podczas gdy f i g to morfizmy od X do Y. Te obiekty i morfizmy tworzą diagram w danej kategorii, a korektor jest po prostu granicą tego diagramu.

Mówiąc bardziej dobitnie, korektor składa się z obiektu E i morfizmu eq : mi → X satysfakcjonujące $eq}$ circ obiekt O i morfizm m : O → X , jeśli ${\ Displaystyle f \ circ m = g \ circ m}$ , to istnieje unikalny morfizm u : O → mi taki, że ${\ displaystyle eq \ circ u = m}$ .

, że morfizm $Displaystyle m: O \ rightarrow X}$ $Displaystyle g}$ wyrównuje i ${\$ , jeśli ${\ Displaystyle f \ circ m = g\circ m}$ .

W dowolnej uniwersalnej kategorii algebraicznej, w tym w kategoriach, w których stosuje się jądra różnicowe, jak również w samej kategorii zbiorów, obiekt E można zawsze przyjąć jako zwykłe pojęcie korektora, a morfizm eq można w takim przypadku przyjąć jako będzie funkcją inkluzji E jako podzbiorem X . _

Uogólnienie tego na więcej niż dwa morfizmy jest proste; po prostu użyj większego diagramu z większą liczbą morfizmów. Zdegenerowany przypadek tylko jednego morfizmu jest również prosty; wtedy eq może być dowolnym izomorfizmem od obiektu E do X .

Właściwy diagram dla zdegenerowanego przypadku bez morfizmów jest nieco subtelny: można początkowo narysować diagram jako składający się z obiektów X i Y i bez morfizmów. Jest to jednak błędne, ponieważ granicą takiego diagramu jest iloczyn X i Y , a nie korektor. (I rzeczywiście iloczyny i korektory to różne koncepcje: definicja iloczynu oparta na teorii mnogości nie zgadza się z teorią mnogościową definicją korektora wspomnianą powyżej, stąd w rzeczywistości są one różne). zasadniczo dotyczy X , w tym Y tylko dlatego, że Y jest koddomeną morfizmów pojawiających się na diagramie. Z tego punktu widzenia widzimy, że jeśli nie ma zaangażowanych morfizmów, Y nie pojawia się, a diagram korektora składa się tylko z X. Granicą tego diagramu jest zatem dowolny izomorfizm między E i X .

Można udowodnić, że każdy korektor w dowolnej kategorii jest monomorfizmem . Jeśli odwrotność zachodzi w danej kategorii, to mówi się, że ta kategoria jest regularna (w sensie monomorfizmów). Mówiąc bardziej ogólnie, regularnym monomorfizmem w dowolnej kategorii jest dowolny morfizm m , który jest korektorem pewnego zestawu morfizmów. Niektórzy autorzy wymagają bardziej rygorystycznie, aby m było korektorem binarnym , czyli korektorem dokładnie dwóch morfizmów. Jeśli jednak dana kategoria jest kompletna , obie definicje są zgodne.

Pojęcie jądra różnicy ma również sens w kontekście teorii kategorii. Terminologia „jądro różnicy” jest powszechna w teorii kategorii dla każdego korektora binarnego. W przypadku kategorii preaddytywnej (kategorii wzbogaconej o kategorię grup abelowych ) termin „jądro różnicy” można interpretować dosłownie, gdyż odejmowanie morfizmów ma sens. Oznacza to, że Eq( f , g ) = Ker( f - g ), gdzie Ker oznacza jądro teorii kategorii .

Każda kategoria z produktami włóknistymi (pullbackami) i produktami ma korektory.

Zobacz też

Coequaliser , podwójne pojęcie, uzyskiwane przez odwrócenie strzałek w definicji korektora.
Teoria koincydencji , topologiczne podejście do zbiorów korektorów w przestrzeniach topologicznych .
Pullback , specjalny limit , który można zbudować z korektorów i produktów.

Notatki

Korektor w n Lab

Linki zewnętrzne

Interaktywna strona internetowa generująca przykłady korektorów w kategorii zbiorów skończonych. Napisane przez Jocelyn Paine .