Kategoria simplex

W matematyce kategoria simplex (lub kategoria uproszczona lub niepusta skończona kategoria porządkowa ) jest kategorią niepustych skończonych liczb porządkowych i map zachowujących porządek . Służy do definiowania obiektów uproszczonych i cosimplicznych.

Definicja formalna

Kategoria simplex jest zwykle oznaczana przez ${\ displaystyle \ Delta}$ . Istnieje kilka równoważnych opisów tej kategorii. ${\ displaystyle \ Delta}$ można opisać jako kategorię niepustych skończonych liczb porządkowych jako obiektów, uważanych za całkowicie uporządkowane zbiory i (nie ściśle) funkcje zachowujące porządek jako morfizmy . Przedmioty są powszechnie oznaczane ${\ Displaystyle [n] = \ {0,1, \ kropki, n \}}$ (tak, że ${\ Displaystyle [n]}$ jest liczbą porządkową ${\ Displaystyle n + 1}$ ). Kategoria jest generowana przez mapy coface i codegeneracy, które polegają na wstawianiu lub usuwaniu elementów porządkowania. (Zobacz zestaw uproszczony dla relacji tych map).

Obiekt uproszczony to presnop na $,$ czyli funktor kontrawariantny innej $.$ Na przykład zbiory uproszczone są kontrawariantne, a kategorią domeny kodowej jest kategoria zbiorów. Obiekt cosimplicial jest definiowany podobnie jak funktor kowariantny pochodzący z ${\ displaystyle \ Delta}$ .

Rozszerzona kategoria simplex

Rozszerzona kategoria simplex , ${\ Displaystyle \ Delta _ {+ } = \ Delta \ kubek [-1]}$ przez jest kategorią wszystkich skończonych liczb $porządkowych i$ zachowujących porządek , a zatem , gdzie ${\ Displaystyle [-1] = \ pusty zbiór}$ . W związku z tym ta kategoria może być również oznaczona jako FinOrd . Kategoria simpleks rozszerzony jest czasami nazywana kategorią simplex algebraistów, a powyższa wersja nazywana jest kategorią simplex topologów.

Funktor kontrawariantny zdefiniowany na $jest$ $jest$ rozszerzonym obiektem uproszczonym, kowariantny spoza nazywany rozszerzonym obiektem uproszczonym gdy na przykład kategoria kodu domeny jest kategorią zbiorów, nazywane są one odpowiednio rozszerzonymi zbiorami uproszczonymi i rozszerzonymi zbiorami uproszczonymi.

Rozszerzona kategoria simplex, w przeciwieństwie do kategorii simplex, dopuszcza naturalną strukturę monoidalną . Iloczyn monoidalny jest dany przez konkatenację rzędów liniowych, a jednostką jest pusta liczba porządkowa $($ zakwalifikowanie tego jako struktury monoidalnej na $\ displaystyle \ delta }$ ). W rzeczywistości $jest$ kategorią monoidalną generowaną przez pojedynczy obiekt monoidalny określoną przez z unikalną możliwą jednostką i mnożeniem. ${\ displaystyle [0]}$ Ten opis jest przydatny do zrozumienia, w jaki sposób dowolny obiekt komonoidalny w kategorii monoidów powoduje powstanie obiektu uproszczonego, ponieważ można go następnie postrzegać jako obraz funktora z ${\ displaystyle \ Delta _ {+} ^ {\ tekst { op}}}$ do kategorii monoidów zawierających comonoid; zapominając o augmentacji, otrzymujemy przedmiot uproszczony. Podobnie, rzuca to również światło na konstrukcję obiektów uproszczonych z monad (a tym samym funktorów sprzężonych ), ponieważ monady można postrzegać jako obiekty monoidalne w kategoriach endofunkcyjnych .

Zobacz też

Goerss, Paul G.; Jardine, John F. (1999). Uproszczona teoria homotopii . Postęp w matematyce. Tom. 174. Bazylea-Boston-Berlin: Birkäuser. doi : 10.1007/978-3-0348-8707-6 . ISBN 978-3-7643-6064-1 . MR 1711612 .

Linki zewnętrzne