Kategoria ilorazowa

W matematyce kategoria ilorazowa jest kategorią otrzymaną z innej przez identyfikację zbiorów morfizmów . Formalnie jest to obiekt ilorazowy w kategorii kategorii (lokalnie małych) , analogiczny do grupy ilorazowej lub przestrzeni ilorazowej , ale w układzie kategorycznym.

Definicja

Niech C będzie kategorią. Relacja kongruencji R na C jest dana przez: dla każdej pary obiektów X , Y w C , relację równoważności R _{X , Y} na Hom( X , Y ), taką, że relacje równoważności respektują złożenie morfizmów. To znaczy, jeśli

{\ Displaystyle f_ {1}, f_ {2}: X \ do Y \,}

są powiązane w Hom( X , Y ) i

{\ Displaystyle g_ {1}, g_ {2}: Y \ do Z \,}

są powiązane w Hom( Y , Z ), to g ₁ f ₁ i g ₂ f ₂ są powiązane w Hom ( X , Z ).

Biorąc pod uwagę relację kongruencji R do C , możemy zdefiniować kategorię ilorazową C / R jako kategorię, której obiektami są obiekty C i której morfizmy są klasami równoważności morfizmów w C. To jest,

{\ Displaystyle \ operatorname {Hom} _ {{\ mathcal {C}}/R} (X, Y) = \ operatorname {Hom} _ {\ mathcal {C}} (X, Y) / R_ {X, Y }.}

Złożenie morfizmów w C / R jest dobrze zdefiniowane, ponieważ R jest relacją kongruencji.

Nieruchomości

Istnieje naturalny funktor ilorazu od C do C / R , który wysyła każdy morfizm do jego klasy równoważności. Funktor ten jest bijekcją na obiektach i suriekcją na zbiorach Hom (tzn. jest funktorem pełnym ).

Każdy funktor F : C → D określa kongruencję na C , mówiąc f ~ g iff F ( f ) = F ( g ). Funktor F następnie rozkłada na czynniki funktor ilorazu C → C / ~ w unikalny sposób. Można to uznać za „ pierwsze twierdzenie o izomorfizmie ” dla kategorii.

Przykłady

Monoidy i grupy można traktować jako kategorie z jednym przedmiotem. W tym przypadku kategoria ilorazowa pokrywa się z pojęciem monoidu ilorazowego lub grupy ilorazowej .
homotopii przestrzeni topologicznych hTop jest kategorią ilorazową Top , kategorii przestrzeni topologicznych . Klasy równoważności morfizmów są klasami homotopii odwzorowań ciągłych.
Niech k będzie ciałem i rozważmy kategorię abelową Mod( k ) wszystkich przestrzeni wektorowych nad k z k -liniowymi odwzorowaniami jako morfizmami. Aby „zabić” wszystkie przestrzenie skończenie wymiarowe, możemy nazwać dwie mapy liniowe f , g : X → Y przystające, jeśli ich różnica ma skończony wymiarowy obraz. W wynikowej kategorii ilorazu wszystkie skończenie wymiarowe przestrzenie wektorowe są izomorficzne z 0. [To jest właściwie przykład ilorazu kategorii addytywnych, patrz poniżej.]

Pojęcia pokrewne

Ilorazy kategorii addytywnych ideałów modulo

Jeśli C jest kategorią addytywną i wymagamy, aby relacja kongruencji ~ na C była addytywna (tj. jeśli f ₁ , f ₂ , g ₁ i g ₂ są morfizmami od X do Y z f ₁ ~ f ₂ i g ₁ ~ g ₂ , wtedy fa ₁ + g ₁ ~ fa ₂ + g ₂ ), to kategoria ilorazu C /~ również będzie addytywna, a funktor ilorazowy C → C /~ będzie funktorem addytywnym.

Pojęcie addytywnej relacji kongruencji jest równoważne pojęciu dwustronnego ideału morfizmów : dla dowolnych dwóch obiektów X i Y dana jest addytywna podgrupa I ( X , Y ) Hom _C ( X , Y ) taka, że dla wszystkich f ∈ I ( X , Y ), g ∈ Hom _C ( Y , Z ) i h ∈ Hom _C ( W , X ), mamy gf ∈ ja ( X , Z ) i fh ∈ ja ( W , Y ). Dwa morfizmy w Hom _C ( X , Y ) są przystające, jeśli ich różnica jest w I ( X , Y ).

Każdy pierścień jednostkowy może być postrzegany jako kategoria addytywna z pojedynczym obiektem, a zdefiniowany powyżej iloraz kategorii addytywnych pokrywa się w tym przypadku z pojęciem ilorazu pierścienia modulo dwustronnego ideału.

Lokalizacja kategorii

Lokalizacja kategorii wprowadza nowe morfizmy, aby przekształcić kilka morfizmów pierwotnej kategorii w izomorfizmy. Ma to tendencję do zwiększania liczby morfizmów między obiektami, a nie zmniejszania jej, jak w przypadku kategorii ilorazowych. Ale w obu konstrukcjach często zdarza się, że dwa obiekty stają się izomorficzne, które nie były izomorficzne w oryginalnej kategorii.

Serre iloraz kategorii abelowych

Iloraz Serre'a kategorii abelowej przez podkategorię Serre'a jest nową kategorią abelową, która jest podobna do kategorii ilorazowej, ale też w wielu przypadkach ma charakter lokalizacji kategorii.

Mac Lane, Saunders (1998). Kategorie dla pracującego matematyka . Absolwent Teksty z matematyki . Tom. 5 (wyd. Drugie). Springer-Verlag.