Podkategoria lokalizacji

W matematyce Serre i lokalizujące podkategorie tworzą ważne klasy podkategorii kategorii abelowej . Lokalizowanie podkategorii to określone podkategorie Serre. Są one silnie związane z pojęciem kategorii ilorazowej .

Serre podkategorie

Niech $będzie$ kategorią abelową . Niepusta pełna ${\ displaystyle 0 \rightarrow A'\ rightarrow A \ rightarrow A''\ rightarrow 0}$ nazywana jest $podkategorią$ Serre (lub także podkategorią gęstą ), jeśli dla każdej krótkiej sekwencji dokładnej w ${\ Displaystyle {\ mathcal {A}}}$ obiekt jest w do $displaystyle {\ mathcal {C$$}} wtedy$$A}$$} \ Displaystyle {\ mathcal {C}}}$ tylko wtedy, gdy obiekty i należą do $displaystyle$ . Słownie: jest zamknięty pod obiektami podrzędnymi, obiektami ilorazowymi i $rozszerzeniami$

Każda podkategoria Serre'a $C} }\to {\mathcal {A}}}$ sama w sobie kategorią abelową, a funktor włączenia do $\ displaystyle {\$$mathcal$ jest dokładne . Znaczenie tego pojęcia wynika z faktu, że jądra funktorów ścisłych między kategoriami abelowymi są podkategoriami Serre'a i że można zbudować (dla lokalnie małych) kategorię ilorazu ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ (w sensie Gabriela , Grothendiecka , Serre ) , który ma te same obiekty, co ${\ displaystyle {\ mathcal {A}} / {\ mathcal {C}$$} }}$ , jest abelowe i zawiera dokładny funktor (zwany funktorem ilorazu) ${\ Displaystyle T \ okrężnica {\ mathcal {A}} \ rightarrow {\ mathcal {A}}/{\ mathcal {C}}}$ , którego jądrem jest ${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$ .

Lokalizowanie podkategorii

Niech będzie $lokalnie$ . Podkategoria Serre $do$ jest lokalizacją , jeśli funktor ilorazu ${\ Displaystyle T \ okrężnica {\ mathcal {A}} \ rightarrow {\ mathcal {A$ ma prawe sprzężenie ${\ Displaystyle S \ okrężnica {\ mathcal {A}}/ {\ mathcal {C}} \ rightarrow {\ mathcal {A} }}$ . Od tego czasu ${\ displaystyle T}$ , jako lewy sprzężony, zachowuje colimits , każda lokalizująca podkategoria jest zamknięta pod colimits. Funktor $($ lub czasami $)$$jest$ również funktorem a funktorem sekcji Funktor sekcji jest lewostronny iw pełni wierny .

Jeśli kategoria abelowa $jest$ ponadto w pełni kompletna i ma łuski iniekcyjne (np. jeśli jest to kategoria Grothendiecka ), to podkategoria Serre $mathcal {C}}} lokalizowanie$ \ $.$ i tylko wtedy, gdy jest zamknięte pod dowolnymi koproduktami (inaczej sumami bezpośrednimi) Stąd pojęcie podkategorii lokalizującej jest równoważne z pojęciem dziedzicznej klasy torsyjnej .

Jeśli $podkategorią$ kategorią Grothendiecka, a lokalizacyjną, to kategoria ilorazowa $A} }/{\mathcal {C}}}$$mathcal$ ponownie jest kategorią Grothendiecka.

Gabriela -Popescu implikuje, że każda kategoria Grothendiecka jest kategorią ilorazową kategorii modułu ${\ Displaystyle \ operatorname {Mod} (R)}$$a$ z odpowiednim pierścieniem ) modulo lokalizowanie podkategoria.

Zobacz też

• Podkategoria Giraud

• Nicolae Popescu ; 1973; Kategorie abelowe z zastosowaniami do pierścieni i modułów ; Prasa akademicka, Inc .; nakład wyczerpany.