Twierdzenie Gabriela-Popescu

W matematyce twierdzenie Gabriela-Popescu jest twierdzeniem osadzania dla pewnych kategorii abelowych , wprowadzonym przez Pierre'a Gabriela i Nicolae Popescu ( 1964 ). Charakteryzuje pewne kategorie abelowe ( kategorie Grothendiecka ) jako iloraz kategorii modułowych .

Istnieje kilka uogólnień i odmian twierdzenia Gabriela-Popescu, podanych przez Kuhna (1994) (dla kategorii AB5 ze zbiorem generatorów ), Lowena (2004) , Porta (2010) (dla kategorii triangulowanych ).

Twierdzenie

Niech A będzie kategorią Grothendiecka ( kategorią AB5 z generatorem), G generatorem A i R będzie pierścieniem endomorfizmów G ; niech S będzie także funktorem od A do Mod- R (kategoria właściwych R -modułów) określonym przez S ( X ) = Hom ( G , X ). Następnie twierdzenie Gabriela-Popescu stwierdza, że ​​S jest pełne i wierne oraz ma dokładne lewe sprzężenie .

Oznacza to, że A jest równoważne kategorii ilorazu Serre'a Mod- R przez pewną lokalizującą podkategorię C . (Podkategoria lokalizacyjna Mod- R jest pełną podkategorią C Mod- R , zamkniętą w dowolnych bezpośrednich sumach , tak że dla dowolnej krótkiej dokładnej sekwencji modułów ${\ Displaystyle 0 \ rightarrow M_ {1}\rightarrow M_{2}\rightarrow M_{3}\rightarrow 0}$ , mamy M ₂ w C wtedy i tylko wtedy, gdy M ₁ i M ₃ są w C. Iloraz Serre'a Mod- R według dowolnej lokalizującej podkategorii jest kategorią Grothendiecka.) Możemy przyjąć, że C jest jądrem lewego sprzężenia funktora S .

Należy zauważyć, że osadzanie S z A w Mod- R jest lewostronne , ale niekoniecznie prawostronne: kojądra morfizmów w A na ogół nie odpowiadają kojądrom odpowiednich morfizmów w Mod- R .

•    Castaño Iglesias, Florencio; Enache, P.; Năstăsescu, Constantin; Torrecillas, Blas (2004), "Un analog du théorème de Gabriel-Popescu et Applications", Bulletin des Sciences Mathématiques , 128 (4): 323–332, doi : 10.1016/j.bulsci.2003.12.004 , ISSN 0007-4497 , MR 2052174
•   Gabriel, Pierre; Popesco, Nicolae (1964), "Caractérisation des catégories abéliennes avec générateurs et limites inductives dokładne", Les Comptes rendus de l'Académie des sciences , 258 : 4188-4190, MR 0166241 [Uwaga: "Popescu" jest pisane jako "Popesco" w Francuski.]
•    Kuhn, Nicholas J. (1994), „Ogólne reprezentacje skończonych ogólnych grup liniowych i algebry Steenroda. I”, American Journal of Mathematics , 116 (2): 327–360, doi : 10.2307/2374932 , ISSN 0002-9327 , MR 1269607
•    Lowen, Wendy (2004), „Uogólnienie twierdzenia Gabriela-Popescu”, Journal of Pure and Applied Algebra , 190 (1): 197–211, doi : 10.1016/j.jpaa.2003.11.016 , ISSN 0022-4049 , MR 2043328
•    Mitchell, Barry (1981), „Szybki dowód twierdzenia Gabriela-Popesco”, Journal of Pure and Applied Algebra , 20 (3): 313–315, doi : 10.1016 / 0022-4049 (81) 90065-7 , ISSN 0022-4049 , MR 0604322
•    Porta, Marco (2010), „Twierdzenie Popescu-Gabriela dla kategorii triangulowanych”, Advances in Mathematics , 225 (3): 1669–1715, arXiv : 0706.4458 , doi : 10.1016/j.aim.2010.04.002 , ISSN 0001- 8708 , MR 2673743

Linki zewnętrzne

• Lurie (2008), Twierdzenie Gabriela-Kuhna-Popesco (PDF)