Iloraz kategorii abelowej

W matematyce iloraz (zwany również ilorazem serre lub iloraz Gabriela ) kategorii ablian ${\ displayStyle {\ mathcal {a}}$ przez podkategorię serre ${\ displayStyle {\ mathcal {b}}}}$ kategoria Abelian jest Abelian. ${\ displayStyle {\ mathcal {a}} / {\ mathcal {b}}}$ , który intuicyjnie otrzymuje z $\ displayStyle {\ mathcal {a}}},$ ignorując (IE traktuje jako zero ) Wszystkie obiekty z ${\ displaystyle {\ mathcal {B}}}$ . Istnieje kanoniczny $\ mathcal {A}} \ do {\ mathcal {A}}/{\$ dokładny , którego jądrem jest $}}}$$}$$displaystyle {\ mathcal {$ i jest w pewnym sensie najbardziej ogólną kategorią abelową z tą

Formowanie ilorazów Serre'a kategorii abelowych jest zatem formalnie podobne do tworzenia ilorazów grup . Ilorazy Serre'a są nieco podobne do kategorii ilorazów , z tą różnicą, że w przypadku ilorazów Serre'a wszystkie zaangażowane kategorie są abelowe, a wszystkie funktory są dokładne. Ilorazy Serre'a często mają również charakter lokalizacji kategorii , zwłaszcza jeśli podkategoria Serre'a jest lokalizacją .

Definicja

Formalnie $której$ kategorią $,$ obiekty do i morfizmy od X do Y są podane przez bezpośrednią granicę ( grup abelowych )

$${\ Displaystyle \ operatorname {Hom} _ {{\ mathcal {A}} / {\ mathcal {B}}}(X,Y):=\varinjlim \mathrm {Hom} _{\mathcal {A}}(X',Y/Y')}$$

gdzie granica jest przejmowana przez podobiekty i $' \ subseteq$$}$ tak, że $w {\ cal {B}}}$$\ Displaystyle X/X'$ i ${\ Displaystyle Y' \ w {\ cal {B}}}$ . (Tutaj ${\ Displaystyle X/X'}$ i $Y/Y'}$$Displaystyle$ obiekty ilorazowe obliczone w .) Te pary podobiektów są uporządkowane według ${\ Displaystyle (X', Y') \ preccurlyeq (X'', Y'') \ Longleftrightarrow X'' \ subseteq X' {\ tekst {i}} Y' \ subseteq Y''}$ .

Złożenie morfizmów w ${\ mathcal {B}}} jest$ przez uniwersalną właściwość granicy.

Funktor $_$ wysyła _ _ ${\ Displaystyle f \ dwukropek X \ do Y}$ do odpowiedniego elementu bezpośredniej granicy z X ′ = X i Y ′ = 0.

Alternatywna, równoważna konstrukcja kategorii ilorazu wykorzystuje tak zwany „ $.$ ” do morfizmów Tutaj zaczyna się od klasy tych morfizmów w których ${\ displaystyle$ i kokernel należą do ${ \ mathcal {$$}}}$ . Jest to system multiplikatywny w sensie Gabriela-Zismana i można zlokalizować kategorię ${\ Displaystyle {\ mathcal {A}}}$ w systemie , aby uzyskać $Displaystyle$${\ mathcal {A}} / {\ mathcal {B$ .

Przykłady

Niech będzie polem $rozważmy$ kategorię $_$$wszystkich$ przestrzeni wektorowych nad k pełna $skończenie$ wymiarowych wektorowych ( ${\ Displaystyle {\ rm {mod.}} (k)}$ . iloraz Serre'a do $\ Displaystyle {\ cal {{C} = {\ rm {Mod}} (k) / {\ rm {mod}} (k) }}}$ ma jako obiekty przestrzenie $wektorowe$ , a zbiór morfizmów od do ${\ Displaystyle Y}$$w$ jest do $}$ { C}

$${\ Displaystyle \ {k {\ tekst {- mapy liniowe od}} X {\ tekst {do}} Y\}/\{k{\text{-liniowe mapy od }}X{\text{ do }}Y{\text{ ze skończonym wymiarowym obrazem}}\}}$$

(co jest ilorazem przestrzeni wektorowych ). Skutkuje to identyfikacją wszystkich skończenie wymiarowych przestrzeni wektorowych za pomocą 0 i identyfikacją dwóch map liniowych , ilekroć ich różnica ma skończony wymiarowy obraz . Ten przykład pokazuje, że iloraz Serre'a może zachowywać się jak kategoria ilorazu .

Jako inny przykład weźmy kategorię abelową Ab wszystkich grup abelowych i podkategorię Serre wszystkich grup abelowych torsyjnych . Iloraz Serre'a jest tutaj $odpowiednikiem$${\ Displaystyle \ mathbf {Ab} \ do \ nazwa operatora {Mod} ({\ mathbb {Q}})}$ wszystkich przestrzeni wektorowych nad liczbami podane przez tensorowanie z ${\ displaystyle {\ mathbb {Q}}}$ . Podobnie iloraz Serre'a $nad$ skończenie generowanych grup abelowych przez podkategorię skończenie generowanych grup skrętnych jest równoważny kategorii skończenie wymiarowych przestrzeni wektorowych . Tutaj iloraz Serre'a zachowuje się jak lokalizacja .

Nieruchomości

${\ mathcal {A}} / {\ mathcal {B}}}$ Displaystyle jest kategorią abelową, a funktor kanoniczny ${\ Displaystyle Q \ okrężnica {\ mathcal {A}} \ do {\ Mathcal {A}}/{\ Mathcal {B}}}$ jest dokładny i zbójujący na obiektach. Jądro ${\ displayStyle Q}$ to ${\ displayStyle {\ mathcal {b}}}$ , tj. ${\ displayStyle q (x)}$ jest zero w $mathcal {B$ i tylko wtedy, gdy należy do $Displaystyle {$ \ $}$

Iloraz Serre'a i funktor kanoniczny charakteryzują się następującą uniwersalną właściwością : jeśli jest dowolną kategorią abelową i ${C}}}$$\ mathcal$$A}} \ do$$\ displaystyle {\ mathcal$$}$ jest dokładnym funktorem takim, że zerem w dla każdego obiektu ${\ Displaystyle X \ w {\ mathcal {B}}}$ , wtedy istnieje unikalny dokładny funktor ${\ Displaystyle {\ overline {F}} \ okrężnica {\ mathcal {A}} / {\ mathcal {B}} \ do {\ mathcal {C }}}$ takie, że ${\ Displaystyle F = {\ overline {F}} \ circ Q}$ .

${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ kategorie abelowe, mamy ZA , ${\ displaystyle {\ mathcal {B}}}$ , ${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$

${\ Displaystyle {\ mathcal {A}} / {\ mathcal {B}} \ cong {\ mathcal {C}}}$

wtedy i tylko wtedy gdy

istnieje dokładny i zasadniczo suriekcyjny funktor , którego jądrem jest $do {\ Displaystyle F \ okrężnica {\ mathcal {A}} \ do {\ mathcal {C$$} }$ i takie, że dla każdego morfizmu $Displaystyle {$ morfizmy $f: FX \ do FY}$ w do $}}}$ i $: W \ do Y}$$fa$${\ Displaystyle f = (F \ psi) \ circ (F \ phi) ^ {- 1}}$$w$ tak , że to izomorfizm i .

Twierdzenia dotyczące ilorazów Serre'a

Opis Serre'a spójnych snopów na schemacie rzutowym

Zgodnie z twierdzeniem Jean-Pierre'a Serre'a kategoria spójnych snopów $\ operatorname {coh$ schemacie rzutowym ${\$$($ jest przemiennym stopniowanym pierścieniem noetherowskim , stopniowanym przez nieujemne liczby całkowite i generowanym przez elementy stopnia 0 i skończenie wiele stopni 1, oraz R {\ Displaystyle R} ${\ displayStyle \ operatorname {PRJ} (r)}$ odnosi się do konstrukcji PRJ ) można opisać jako iloraz serre

$${\ displayStyle \ operatorname {coh} (x) \ cong \ operatorname {mod} ^{\ mathbbb {z}} (r r. ) \ /\ \ operatorname {mod} _ {\ mathrm {tor}}^{\ mathbb {z}} (r)}$$

gdzie $Displaystyle$ oznacza kategorię skończenie generowanych stopniowanych ${\ Displaystyle \ operatorname {mod} _ {\ operatorname {tor}} ^ {\ mathbb {Z}} (R)}$${$ r to podkategoria Serre składająca się ze wszystkich tych stopniowanych modułów ${\ Displaystyle M}$ które są 0 we wszystkich stopniach, które są wystarczająco wysokie, tj. dla których istnieje takie, że istnieje n $\ Displaystyle n_ {0} \ in {\ mathbb {N}}}$${\ Displaystyle M_ {n} = 0 }$ dla wszystkich ${\ displaystyle n \ geq n_ {0}}$ .

$opis$$nie$ dla kategorii quasi- na nawet jest

Twierdzenie Gabriela-Popescu

Gabriela - Popescu stwierdza, że ​​​​każda $jest$ Grothendiecka równoważna ilorazowi Serre'a postaci ${\ Displaystyle \ operatorname {Mod} (R) / {\ cal {B}}}$ , gdzie ${\ Displaystyle \ operatorname {Mod} (R)}$ oznacza abelową kategorię prawych modułów nad jakimś jednostkowym pierścieniem ${\ Displaystyle R}$ i to pewna lokalizacyjna podkategoria Mod $\ Displaystyle \ operatorname {Mod} (R$$)$ .

Twierdzenie Quillena o lokalizacji

${\ mathcal { C}}),\ n\geq 0}$ teoria K Daniela Quillena definiuje dla każdej dokładnej kategorii sekwencję grup abelowych $)$$,$ a to przypisanie jest funkcjonalne . Quillen $udowodnił$ , że jeśli podkategorią Serre kategorii abelowej ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ istnieje długa dokładna sekwencja formularza

$${\ Displaystyle \ cdots \ do K_ {n} ({\mathcal {B}})\do K_{n}({\mathcal {A}})\do K_{n}({\mathcal {A/B}})\do K_{n-1}( {\mathcal {B}})\do \cdots \do K_{0}({\mathcal {A/B}})\do 0}$$