Pierścień endomorfizmu

W matematyce endomorfizmy grupy abelowej X tworzą pierścień . _ Pierścień ten nazywany jest pierścieniem endomorficznym X , oznaczony przez End( X ); zbiór wszystkich homomorfizmów X w siebie . Dodawanie endomorfizmów następuje naturalnie w sposób punktowy , a mnożenie przez kompozycję endomorficzną . Korzystając z tych operacji, zbiór endomorfizmów grupy abelowej tworzy (jednostkowy) pierścień, z mapą zerową : $\ textstyle 0: x \ mapsto 0}$ jako tożsamością addytywną i mapą tożsamości ${\ textstyle 1:x\mapsto x}$ jako tożsamość multiplikatywna .

Zaangażowane funkcje są ograniczone do tego, co w kontekście określa się jako homomorfizm, który zależy od kategorii rozpatrywanego obiektu. W konsekwencji pierścień endomorfizmu koduje kilka wewnętrznych właściwości obiektu. Ponieważ wynikowy obiekt jest często algebrą na pewnym pierścieniu R, można to również nazwać algebrą endomorfizmu .

Grupa abelowa to to samo, co moduł nad pierścieniem liczb całkowitych , który jest początkowym obiektem w kategorii pierścieni . W podobny sposób, jeśli R jest dowolnym pierścieniem przemiennym , endomorfizmy modułu R tworzą algebrę nad R za pomocą tych samych aksjomatów i wyprowadzeń. W szczególności, jeśli R jest ciałem F , jego moduły M są przestrzeniami wektorowymi V , a ich pierścienie endomorfizmu są algebrami nad ciałem F .

Opis

Niech ( A , +) będzie grupą abelową i rozważymy homomorfizmy grupowe od A do A . Następnie dodanie dwóch takich homomorfizmów można zdefiniować punktowo, aby uzyskać kolejny homomorfizm grupowy. Jawnie, biorąc pod uwagę dwa takie homomorfizmy f i g , suma f i g jest homomorfizmem ${\ textstyle [f+g] (x): =f(x)+g(x)}$ . Zgodnie z tą operacją End( A ) jest grupą abelową. Przy dodatkowej operacji składania homomorfizmów End( A ) jest pierścieniem o tożsamości multiplikatywnej. Ta kompozycja jest wyraźnie ${\ textstyle (fg) (x): = f (g (x))}$ . Tożsamość multiplikatywna jest homomorfizmem tożsamości na A .

Jeżeli zbiór A nie tworzy grupy abelowej , to powyższa konstrukcja niekoniecznie jest addytywna , gdyż wtedy suma dwóch homomorfizmów nie musi być homomorfizmem. Ten zestaw endomorfizmów jest kanonicznym przykładem bliskiego pierścienia , który nie jest pierścieniem.

Nieruchomości

• Pierścienie endomorficzne zawsze mają tożsamości addytywne i multiplikatywne , odpowiednio mapę zerową i mapę identyczności .
• Pierścienie endomorfizmu są asocjacyjne , ale zazwyczaj nieprzemienne .
• Jeśli moduł jest prosty , to jego pierścień endomorficzny jest pierścieniem dzielenia (jest to czasami nazywane lematem Schura ).
• Moduł jest nierozkładalny wtedy i tylko wtedy, gdy jego pierścień endomorficzny nie zawiera żadnych nietrywialnych elementów idempotentnych . Jeśli moduł jest modułem iniekcyjnym , to nierozkładalność jest równoważna temu, że pierścień endomorficzny jest pierścieniem lokalnym .
• Dla półprostego modułu pierścień endomorfizmu jest regularnym pierścieniem von Neumanna .
• Pierścień endomorfizmu niezerowego prawego uniszeregowego modułu ma jeden lub dwa maksymalne prawe ideały. Jeśli moduł jest artinowski, noetherowski, rzutowy lub iniekcyjny, to pierścień endomorfizmu ma unikalny ideał maksymalny, więc jest to pierścień lokalny.
• Pierścień endomorfizmu jednolitego modułu artyńskiego jest pierścieniem lokalnym.
• Pierścień endomorficzny modułu o skończonej długości składowej jest pierścieniem półpierwszorzędowym .
• Pierścień endomorficzny modułu ciągłego lub modułu dyskretnego jest pierścieniem czystym .
• Jeśli moduł R jest generowany w sposób skończony i rzutowy (to znaczy progenerator ), to pierścień endomorfizmu modułu i R mają wszystkie niezmienne właściwości Mority. Podstawowym wynikiem teorii Mority jest to, że wszystkie pierścienie równoważne R powstają jako pierścienie endomorficzne progeneratorów.

Przykłady

• W kategorii modułów R pierścień endomorfizmu R - modułu M będzie używał tylko homomorfizmów modułu R , które zazwyczaj są właściwym podzbiorem homomorfizmów grupy abelowej. Kiedy M jest skończenie generowanym modułem rzutowym , pierścień endomorfizmu ma kluczowe znaczenie dla równoważności kategorii modułów Mority .
• ZA ${\ Displaystyle A}$ M $\ Displaystyle M_ {n} (\ operatorname {Koniec} (A)) \ cong \ operatorname {Koniec } (A ^ {n})}$ , ponieważ każda macierz w ${\ Displaystyle M_ {n} (\ nazwa operatora {Koniec} (A))}$ ma naturalną strukturę homomorfizmu ${ \displaystyle A^{n}}$ w następujący sposób:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {pmatrix} \ varphi _ {11} & \ cdots & \ varphi _ {1n} \\\ vdots && \ vdots \\\ varphi _ {n1} & \ cdots & \ varphi _ {nn} \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\sum _{i=1}^{n }\varphi _{1i}(a_{i})\\\vdots \\\sum _{i=1}^{n}\varphi _{ni}(a_{i})\end{pmatrix}}. }$

Można użyć tego izomorfizmu do skonstruowania wielu nieprzemiennych pierścieni endomorficznych. Na przykład: ${\ Displaystyle \ nazwa operatora {Koniec} (\ mathbb {Z} \ razy \ mathbb {Z}) \ cong M_ {2} (\ mathbb {Z} )}$ , ponieważ ${\ Displaystyle \ operatorname {Koniec} (\ mathbb {Z}) \ cong \ mathbb {Z}}$ .

Ponadto, gdy $K$ , istnieje izomorfizm kanoniczny $Koniec} (K) \ cong K}$${\ Displaystyle \ operatorname {Koniec} (K ^ {n}) \ cong M_ {n} (K)}$ więc , czyli pierścień endomorfizmu wektora ${\ Displaystyle K}$ przestrzeń jest identyfikowana z pierścieniem macierzy n - na - n z wpisami w ${\ displaystyle K}$ . Mówiąc bardziej ogólnie, algebra endomorfizmu swobodnego modułu jest naturalnie ${\$ wpisami w pierścieniu. ${n}$$M = R$$} \displaystyle R}$ .

• _Jako End( RR ) = R szczególny przykład ostatniego punktu, dla dowolnego pierścienia R z jednością, , gdzie elementy R działają na R przez lewe mnożenie.
• Zasadniczo pierścienie endomorfizmu można zdefiniować dla obiektów dowolnej kategorii przedaddytywnej .

Notatki

•    Camillo, wiceprezes; Khurana, D.; Lam, TY; Nicholson, WK; Zhou, Y. (2006), „Ciągłe moduły są czyste”, J. Algebra , 304 (1): 94–111, doi : 10.1016/j.jalgebra.2006.06.032 , ISSN 0021-8693 , MR 2255822
•   Drozd, Yu. A.; Kirichenko, VV (1994), algebry skończonych wymiarów , Berlin: Springer-Verlag, ISBN 3-540-53380-X
• Głupek, Dawid; Foote, Richard, Algebra

•   Fraleigh, John B. (1976), Pierwszy kurs algebry abstrakcyjnej (wyd. 2), Czytanie: Addison-Wesley , ISBN 0-201-01984-1
• „Pierścień endomorfizmu” , Encyklopedia matematyki , EMS Press , 2001 [1994]
•   Jacobson, Nathan (2009), Podstawowa algebra , tom. 2 (wyd. 2), Dover, ISBN 978-0-486-47187-7
•   Passman, Donald S. (1991), Kurs teorii pierścieni , Pacific Grove: Wadsworth & Brooks / Cole, ISBN 0-534-13776-8
•    Wisbauer, Robert (1991), Podstawy teorii modułów i pierścieni , Algebra, Logic and Applications, tom. 3 (Poprawione i przetłumaczone z wydania niemieckiego z 1988 r.), Filadelfia, Pensylwania: Gordon and Breach Science Publishers, s. xii+606 , ISBN 2-88124-805-5 , MR 1144522 A handbook for study and research