Sekcja (teoria kategorii)

{\ displaystyle f}

jest wycofaniem

{\ displaystyle g}

.

{\ displaystyle g}

jest sekcją

{\ displaystyle f}

.

W teorii kategorii , gałęzi matematyki , sekcja jest prawą odwrotnością pewnego morfizmu . Podwójnie , retrakcja jest lewą odwrotnością jakiegoś morfizmu . Innymi słowy, jeśli i ${ \ Displaystyle$ $: Y \ do X}$ , ${\ Displaystyle f \ circ g: Y \ do Y}$ jest morfizmem tożsamości na ${\ Displaystyle Y}$ , wtedy ${\ displaystyle g}$ jest sekcją ${\ displaystyle f}$ i ${ \ displaystyle f}$ jest wycofaniem ${\ displaystyle g}$ .

Każda sekcja jest monomorfizmem (każdy morfizm z lewą odwrotnością jest lewostronnie kasujący ), a każde wycofanie jest epimorfizmem (każdy morfizm z prawą odwrotnością jest prawostronnie kasujący ).

W algebrze sekcje są również nazywane rozszczepionymi monomorfizmami , a retrakcje są również nazywane rozszczepionymi epimorfizmami . W kategorii abelowej , jeśli jest podzielonym epimorfizmem z podzielonym monomorfizmem $\ Displaystyle g: Y \ do X$ $to$ X $}$ $Displaystyle$ jest izomorficzna z bezpośrednią sumą ${\ displaystyle f}$ $\ displaystyle Y}$ i jądro fa . Korekcja synonimiczna dla sekcji jest czasami spotykana w literaturze, chociaż rzadko w ostatnich pracach.

Nieruchomości

Sekcja, która jest również epimorfizmem , jest izomorfizmem . Podwójnie retrakcja, która jest również monomorfizmem, jest izomorfizmem.

Terminologia

Pojęcie wycofania w teorii kategorii wywodzi się z zasadniczo podobnego pojęcia wycofania $Y$ $}$ : gdzie Y { \ jest podprzestrzenią $X}$ $displaystyle Y$ jest retrakcją w sensie topologicznym, jeśli jest to retrakcja mapy inkluzji ${\ Displaystyle i: Y \ hookrightarrow X}$ w sensie teorii kategorii. Pojęcie w topologii zostało zdefiniowane przez Karola Borsuka w 1931 roku.

Uczeń Borsuka, Samuel Eilenberg , był wraz z Saundersem Mac Lane’em twórcą teorii kategorii i (ponieważ najwcześniejsze publikacje z zakresu teorii kategorii dotyczyły różnych przestrzeni topologicznych) można było się spodziewać, że początkowo używano tego terminu. W rzeczywistości ich wcześniejsze publikacje, aż do np. Homology Mac Lane'a (1963) , używały terminu prawostronna odwrotność. Dopiero w 1965 roku, kiedy Eilenberg i John Coleman Moore ukuli podwójny termin „koretrakcja”, termin Borsuka został ogólnie przeniesiony do teorii kategorii. Pod koniec lat sześćdziesiątych termin „coretraction” ustąpił miejsca terminowi „sekcja”.

Zarówno użycie odwrotności lewo/prawo, jak i sekcji/wycofania jest powszechnie spotykane w literaturze: pierwsze użycie ma tę zaletę, że jest znane z teorii półgrup i monoidów ; ten ostatni jest przez niektórych uważany za mniej zagmatwany, ponieważ nie trzeba myśleć o tym, „w którą stronę idzie” kompozycja, problem, który stał się większy wraz z rosnącą popularnością synonimu f; g dla g∘f .

Przykłady

W kategorii zbiorów każdy monomorfizm ( funkcja iniekcyjna ) z dziedziną niepustą jest sekcją, a każdy epimorfizm ( funkcja suriektywna ) jest retrakcją; to ostatnie stwierdzenie jest równoważne aksjomatowi wyboru .

W kategorii przestrzeni wektorowych nad ciałem K każdy monomorfizm i każdy epimorfizm rozszczepiają się; wynika to z faktu, że mapy liniowe można jednoznacznie zdefiniować, określając ich wartości na bazie .

W kategorii grup abelowych epimorfizm Z → Z /2 Z , który wysyła każdą liczbę całkowitą do swojej reszty modulo 2 , nie rozdziela się; w rzeczywistości jedynym morfizmem Z /2 Z → Z jest mapa zerowa . Podobnie naturalny monomorfizm Z /2 Z → Z /4 Z nie rozdziela się, mimo że istnieje nietrywialny morfizm Z /4 Z → Z / 2 Z .

Kategoryczne pojęcie przekroju jest ważne w algebrze homologicznej i jest również ściśle związane z pojęciem przekroju wiązki włókien w topologii : w tym drugim przypadku przekrój wiązki włókien jest przekrojem mapy projekcji wiązki wiązka włókien.

Biorąc pod uwagę przestrzeń ilorazową z mapą ilorazową $}$ $\ Displaystyle \ pi \$ , przekrój $\pi$ nazywa się poprzecznym .

Bibliografia

Mac Lane, Saunders (1978). Kategorie dla pracującego matematyka (wyd. 2). Springer Verlag .
Barry, Mitchell (1965). Teoria kategorii . Prasa akademicka .

Zobacz też

Notatki