Dzielący lemat

W matematyce , a dokładniej w algebrze homologicznej , lemat rozdzielający stwierdza , że w dowolnej kategorii abelowej następujące stwierdzenia są równoważne dla krótkiego ciągu dokładnego

{\ Displaystyle 0 \ longrightarrow A \ mathrel {\ overset {q} {\ longrightarrow}} B \ mathrel {\ overset {r} {\ longrightarrow}} C \ longrightarrow 0. }

Lewy podział

Istnieje morfizm $t : B \to A$ taki, że $tq$ jest tożsamością na $A$ , $id A$ ,
Prawy podział

Istnieje morfizm $u : C \to B$ taki, że $ru$ jest tożsamością na $C$ , $id C$ ,
Suma bezpośrednia

$A$ izomorfizm h $od$ B $do$ bezpośredniej sumy A i $C$ , taki że $hq$ $jest$ wstrzyknięciem $do$ sumy bezpośredniej i jest rzut sumy bezpośredniej na $C$ .

Jeśli którekolwiek z tych stwierdzeń jest spełnione, sekwencja jest nazywana rozdzieloną sekwencją dokładną , a sekwencja jest rozdzielona .

W powyższej krótkiej sekwencji dokładnej, w której sekwencja się rozdziela, pozwala to udoskonalić pierwsze twierdzenie o izomorfizmie , które stwierdza, że:

C ≅ B /ker r ≅ B / q (A) (

tj

.

C

izomorficzne z coimage

r

lub cokernel q )

Do:

b = q (ZA) \oplus u (do) ≅ ZA \oplus do

gdzie pierwsze twierdzenie o izomorfizmie jest wtedy po prostu rzutem na $C$ .

Jest to kategoryczne uogólnienie twierdzenia o nieważności rang (w postaci $V ≅ ker T \oplus im T)$ w algebrze liniowej .

Dowód dla kategorii grup abelowych

$3. \Rightarrow 1.$ i $3. \Rightarrow 2.$

Po pierwsze, aby pokazać, że 3. implikuje zarówno 1., jak i 2., zakładamy 3. i przyjmujemy jako t $naturalne$ odwzorowanie sumy bezpośredniej na $A$ , a jako $u$ naturalną iniekcję $C$ do sumy bezpośredniej.

$1. \Rightarrow 3.$

Aby udowodnić , że 1. implikuje 3., najpierw zauważmy, że każdy element B jest w zbiorze ( $ker t + im q$ ). Wynika to z tego, że dla wszystkich $b$ w $B$ , $b = (b - qt (b)) + qt (b)$ ; $qt (b)$ jest w $im q$ , a $b - qt (b)$ jest w $ker t$ , ponieważ

t (b - qt (b)) = t (b) - tqt (b) = t (b) - (tq) t (b) = t (b) - t (b) = 0.

Następnie punkt przecięcia im $(q$ i $ker t$ $0 = tq wynosi 0, ponieważ jeśli a) = a$ w $A$ istnieje takie, że $q (a) = b$ i $t (b) = 0$ $,$ to ; a zatem $b = 0$ .

Dowodzi to, że $B$ jest bezpośrednią sumą $im q$ i $ker t$ . Tak więc, dla wszystkich $b$ w $B$ , $b$ może być jednoznacznie identyfikowane przez jakieś $a$ w $A$ , $k$ w $ker t$ , takie, że $b = q (a) + k$ .

Z dokładnością $ker r = im q$ . Podciąg $B ⟶ C ⟶ 0$ implikuje, że $r$ jest na ; dlatego dla dowolnego $c$ w $C$ istnieje jakieś $b = q (a) + k$ takie, że $c = r (b) = r (q (a) + k) = r (k)$ . Dlatego dla dowolnego c w C istnieje k w ker t takie, że c = r ( k ) i r (ker t ) = C .

Jeśli $r (k) = 0$ , to $k$ jest w $im q$ ; od przecięcia $im q$ i $ker t = 0$ , to $k = 0$ . Dlatego ograniczenie $r : ker t \to C$ jest izomorfizmem; a $ker t$ jest izomorficzne z $C$ .

Wreszcie $im q$ jest izomorficzne z $A$ ze względu na dokładność $0 ⟶ A ⟶ B$ ; więc B jest izomorficzne z bezpośrednią sumą $A$ i $C$ , co dowodzi (3).

$2. \Rightarrow 3.$

$0$ Aby pokazać, że 2. implikuje 3., stosujemy podobny argument. Dowolny element $B$ jest w zbiorze $ker r + im u$ ; ponieważ dla wszystkich $b$ w $b$ , $b = (b - ur (b)) + ur (b)$ , który jest w $ker r + im u$ . Punkt przecięcia $ker r$ i $im u$ wynosi , ponieważ jeśli $r (b) = 0$ i $u (do) = b$ , wtedy $0 = ru (do) = do$ .

Dokładniej, $im q = ker r$ , a ponieważ $q$ jest iniekcją , $im q$ jest izomorficzne z $A$ , więc $A$ jest izomorficzne z $ker r$ . Ponieważ $ru$ jest bijekcją , $u$ jest iniekcją, a więc $im u$ jest izomorficzne z $C.$ Więc $B$ jest znowu bezpośrednią sumą $A$ i $C$ .

Alternatywny dowód „ abstrakcyjnego nonsensu ” lematu o rozszczepieniu można sformułować całkowicie w kategoriach teorii kategorii .

Grupy nieabelowe

W podanej tutaj postaci lemat o rozszczepianiu nie obowiązuje w pełnej kategorii grup , która nie jest kategorią abelową.

Częściowo prawda

Jest to częściowo prawdziwe: jeśli pozostawimy podzieloną krótką dokładną sekwencję grup lub bezpośrednią sumę (1. lub 3.), to wszystkie warunki są spełnione. W przypadku sumy bezpośredniej jest to jasne, ponieważ można wstrzykiwać lub projektować sumy. W przypadku lewej sekwencji podzielonej mapa $t \times r : B \to A \times C$ daje izomorfizm, więc $B$ jest sumą bezpośrednią (3.), a zatem odwrócenie izomorfizmu i złożenie z naturalną iniekcją $C \to A \times C$ daje wtrysk $C \to B$ rozszczepienie $r$ (2.).

Jeśli jednak krótka dokładna sekwencja grup jest prawego podziału (2.), to nie musi to być lewy podział ani bezpośrednia suma (ani 1. ani 3. nie następuje): problem polega na tym, że obraz prawego podziału nie musi być normalnym . W tym przypadku prawdą jest, że $B$ jest produktem półbezpośrednim , chociaż generalnie nie jest to produkt bezpośredni .

Kontrprzykład

Aby utworzyć kontrprzykład, weźmy najmniejszą grupę nieabelową $B ≅ S 3$ , grupę symetryczną na trzech literach. Niech $A$ oznacza podgrupę naprzemienną i niech $C = B / A ≅ {\pm1$ }. Niech $q$ i $r$ oznaczają odpowiednio mapę inkluzji i mapę znaków , tak że

{\ Displaystyle 0 \ longrightarrow A \ mathrel {\ stackrel {q} {\ longrightarrow}} B \ mathrel {\ stackrel {r} {\ longrightarrow}} C \ longrightarrow 0}

jest krótkim ciągiem dokładnym. 3. kończy się niepowodzeniem, ponieważ $S 3$ nie jest abelowe, ale 2. zachodzi: możemy zdefiniować $u : C \to B$ mapując generator na dowolny dwucykl . Uwaga dla kompletności, że 1. zawodzi: każda mapa $t : B \to A$ musi odwzorowywać każdy dwucykl na tożsamość , ponieważ mapa musi być homomorfizmem grupowym , podczas gdy rząd dwucyklu to 2, którego nie można podzielić przez kolejność elementów w A inny niż element tożsamości, który wynosi 3, ponieważ $A$ jest naprzemienną podgrupą $S 3$ , czyli grupą cykliczną rzędu 3. Ale każda permutacja jest iloczynem dwóch cykli, więc $t$ jest mapą trywialną, skąd $tq : A \to A$ to trywialna mapa, a nie tożsamość.

Saunders Mac Lane : Homologia . Przedruk wydania z 1975 r., Springer Classics in Mathematics, ISBN 3-540-58662-8 , s. 16
Allen Hatcher : Topologia algebraiczna . 2002, Cambridge University Press, ISBN 0-521-79540-0 , s. 147