Lemat o podziale (funkcje)

W matematyce , zwłaszcza w teorii osobliwości , lemat rozszczepiający jest użytecznym wynikiem ze względu na René Thoma , który umożliwia uproszczenie lokalnego wyrażenia funkcji zwykle stosowanej w sąsiedztwie zdegenerowanego punktu krytycznego .

Oświadczenie formalne

Niech ${\ Displaystyle f: (\ mathbb {R} ^ {n}, 0) \ to (\ mathbb {R}, 0)} będzie$ płynną funkcją zarodka, z punkt krytyczny w 0 (więc ${\ Displaystyle (\ częściowe f / \ częściowe x_ {i}) (0) = 0}$ dla ${\ Displaystyle i=1,\kropki ,n}$ ). niech V być podprzestrzenią takiej $przestrzeni$ że f | _ _V jest niezdegenerowane i napisz B dla macierzy Hessego tego ograniczenia. Niech W będzie dowolną podprzestrzenią komplementarną do V . Następnie następuje zmiana współrzędnych postaci ${\ Displaystyle \ Phi (x, y)$ } ${\ Displaystyle \ Phi (x, y) = (\ fi (x, y), y)}$ z ${\ Displaystyle x \ w V,y\in W}$ i gładką funkcję h na W taką, że

{\ Displaystyle f \ circ \ Phi (x, y) = {\ Frac {1} {2}} x ^ {T} Bx + h (y).}

Ten wynik jest często określany jako sparametryzowany lemat Morse'a , który można zobaczyć, postrzegając y jako parametr. Jest to gradientowa wersja twierdzenia o funkcji uwikłanej .

Rozszerzenia

Istnieją rozszerzenia do nieskończonych wymiarów, do złożonych funkcji analitycznych , do funkcji niezmiennych pod wpływem zwartej grupy , ...

Poston, Tim; Stewart, Ian (1979), Teoria katastrof i jej zastosowania , Pitman, ISBN 978-0-273-08429-7 .
Brocker, Th (1975), Zróżnicowane zarazki i katastrofy , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-20681-5 .