Bezpośredni funktor obrazu

W matematyce bezpośredni funktor obrazu jest konstrukcją w teorii snopów , która uogólnia globalny funktor przekrojów na przypadek względny. Ma to fundamentalne znaczenie w topologii i geometrii algebraicznej . Mając snop F zdefiniowany na przestrzeni topologicznej X i ciągłą mapę f : ​​X → Y , możemy zdefiniować nowy snop f _∗ F na Y , zwany snopem obrazu bezpośredniego lub snopem wypychającym F wzdłuż f , takim że globalny przekroje f _∗ F są określone przez globalne przekroje F . To przypisanie daje początek funktorowi f _∗ z kategorii krążków na X do kategorii krążków na Y , który jest znany jako bezpośredni funktor obrazu. Podobne konstrukcje istnieją w wielu innych kontekstach algebraicznych i geometrycznych, w tym w quasi-spójnych snopach i snopach etale na schemacie .

Definicja

Niech f : X → Y będzie ciągłą mapą przestrzeni topologicznych, a Sh(–) niech oznacza kategorię snopów grup abelowych w przestrzeni topologicznej. Bezpośredni funktor obrazu

${\ Displaystyle f_ {*}: \ nazwa operatora {Sh} (X) \ do \ nazwa operatora {Sh} (Y)}$

wysyła snop F na X do swojego bezpośredniego obrazu wstępnego snop f _∗ F na Y , zdefiniowanego na otwartych podzbiorach U z Y przez

${\ Displaystyle f_ {*} F (U): = F (f ^ {- 1} (U)).}$

Okazuje się, że jest to snopek na Y i jest nazywany snopkiem obrazu bezpośredniego lub snopkiem wypychającym F wzdłuż f .

Ponieważ morfizm snopów φ: F → G na X daje początek morfizmowi snopów f _∗ (φ): f _∗ ( F ) → f _∗ ( G ) na Y w sposób oczywisty, faktycznie mamy, że f _∗ jest funktor.

Przykład

Jeśli Y jest punktem, a f : X → Y jest jednoznaczną mapą ciągłą, to Sh( Y ) jest kategorią Ab grup abelowych, a bezpośredni funktor obrazu f _∗ : Sh( X ) → Ab jest równy globalnemu funktorowi sekcji .

Warianty

W przypadku snopów zestawów zamiast snopów grup abelowych obowiązuje ta sama definicja. Podobnie, jeśli f : ( X , O _X ) → ( Y , O _Y ) jest morfizmem przestrzeni pierścieniowych , otrzymujemy bezpośredni funktor obrazu f _∗ : Sh( X , O _X ) → Sh( Y , O _Y ) z kategorii krążków modułów O _X do kategorii krążków modułów O _Y. Co więcej, jeśli f jest teraz morfizmem schematów quasi-zwartych i quasi-rozdzielonych , to f _∗ zachowuje właściwość bycia quasi-koherentnym, a więc otrzymujemy bezpośredni funktor obrazu pomiędzy kategoriami quasi-koherentnych snopów.

Podobna definicja odnosi się do snopów na toposach , takich jak snopki etale . Tam, zamiast powyższego przedobrazu f ⁻¹ ( U ), używa się iloczynu włóknistego U i X nad Y .

Nieruchomości

• Tworzenie kategorii snopów i bezpośrednich funktorów obrazowych samo definiuje funktor z kategorii przestrzeni topologicznych do kategorii kategorii: mając dane przekształcenia ciągłe f : X → Y i g : Y → Z , mamy ( gf ) _∗ = g _∗ f _∗ .
• Bezpośredni funktor obrazu jest bezpośrednio połączony z odwrotnym funktorem obrazu , co oznacza, że ​​dla dowolnej ciągłej i snopów ${\ Displaystyle f: X \ do Y}$ i snopy ${\ displaystyle {\ mathcal {F}}, {\mathcal {G}}}$ odpowiednio na X , Y , istnieje naturalny izomorfizm:

${\ Displaystyle \ operatorname {Hom} _ {\ mathbf {Sh} (X) }(f^{-1}{\mathcal {G}},{\mathcal {F}})=\mathrm {Hom} _{\mathbf {Sh} (Y)}({\mathcal {G}}, f_ {*}{\mathcal {F}})}$ .

• Jeśli f jest inkluzją domkniętej podprzestrzeni X ⊆ Y , to f _∗ jest dokładne . Właściwie w tym przypadku f _∗ jest równoważnością między kategorią krążków na X i kategorią krążków na Y podpartych na X . Wynika to z faktu, że łodyga ${\ Displaystyle (f_ {*} {\ mathcal {F}}) _ {y}} jest$ fa $\ Displaystyle {\ mathcal {F}} _ {y}}$ jeśli ${\ displaystyle y \ in X} i zero w przeciwnym razie (tutaj$ używana jest domkliwość X w Y ).
• Jeśli f jest morfizmem schematów afinicznych, określony przez homomorfizm pierścienia ${\ Displaystyle \ phi: R \ do S}$${\ Displaystyle \ operatorname {Spec} \, S \ do \ operatorname {Spec} \,$ , to bezpośredni funktor obrazu fa _∗ na quasi-spójnych snopach identyfikuje się z ograniczeniem funktora skalarów wzdłuż φ.

Wyższe bezpośrednie obrazy

Zobacz też: Koherentna dwoistość

Funktor obrazu bezpośredniego jest lewostronny , ale zwykle nie prawy. Stąd można rozważyć prawe funktory pochodne obrazu bezpośredniego. Są one nazywane wyższymi obrazami bezpośrednimi i oznaczane jako R ^q f _∗ .

Można pokazać, że dla wyższych obrazów bezpośrednich istnieje podobne wyrażenie jak powyżej: dla snopka F na X , snopek R ^q f _∗ ( F ) jest snopkiem związanym z snopem wstępnym

${\ Displaystyle U \ mapsto H ^ {q} (f ^ {- 1} (U), fa)}$ ,

gdzie Hq ^oznacza kohomologię snopów .

W kontekście geometrii algebraicznej i morfizmu ${\ Displaystyle f: X \ do Y}$ quasi-zwartych i quasi-rozdzielonych, podobnie ma się właściwy funktor pochodny fa

${\ Displaystyle Rf_ {*}: D_ {qcoh} (X) \ do D_ {qcoh} (Y)}$

jako funktor między (nieograniczonymi) pochodnymi kategoriami quasi-koherentnych snopów. W tej sytuacji ${\ displaystyle Rf_ {*}}$ zawsze przyznaje prawe sprzężenie ${\ displaystyle f ^ {\ razy}}$ . Jest to blisko spokrewnione, ale ogólnie nie równoważne, z wyjątkowym odwrotnym funktorem obrazu $f ^ {!}}$$Displaystyle$ , chyba że również właściwe .

Zobacz też

• Twierdzenie o właściwej zmianie podstawy

•    Iversen, Birger (1986), Cohomology of snopów , Universitext, Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-16389-3 , MR 0842190 , zwł. sekcja II.4