Funktory obrazu dla snopów

W matematyce , zwłaszcza w teorii snopów — dziedzinie stosowanej w obszarach takich jak topologia , logika i geometria algebraiczna — istnieją cztery funktory obrazu dla snopów , które należą do siebie w różnych znaczeniach.

Biorąc pod uwagę ciągłe odwzorowanie f : X → Y przestrzeni topologicznych i kategorię Sh(–) snopów grup abelowych w przestrzeni topologicznej. Omawiane funktory to

obraz bezpośredni f _∗ : Sh( X ) → Sh( Y )
obraz odwrotny f ^∗ : Sh( Y ) → Sh( X )
obraz bezpośredni z kompaktową obsługą f _! : Sz( X ) → Sz ( Y )
wyjątkowy odwrócony obraz Rf ^! : D (Sh( Y )) → re (Sh ( X )).

Wykrzyknik jest często wymawiany jako „ wrzask ” (slang oznaczający wykrzyknik), a mapy nazywane „ f wrzask” lub „ f dolny wrzask” i „ f górny wrzask” - patrz także mapa wrzasku .

Wyjątkowy obraz odwrotny jest na ogół definiowany tylko na poziomie kategorii pochodnych . Podobne rozważania odnoszą się do snopów étale dotyczących schematów .

przyleganie

Funktory przylegają do siebie, jak pokazano po prawej stronie, gdzie, jak zwykle, oznacza, że F $G$ po przylegającej do (odpowiednik G prawego przylegania do F ), tj .

Dom ( fa ( ZA ), B ) ≅ Dom ( ZA , G ( B ))

dla dowolnych dwóch obiektów A , B w dwóch kategoriach, które są połączone przez F i G .

Na przykład f ^∗ jest lewym sprzężeniem f _* . Zgodnie ze standardowym rozumowaniem z relacjami przylegania istnieją naturalne morfizmy jednostek i jednostek ${\ Displaystyle {\ mathcal {G}} \ rightarrow f_ {*} f ^ {*} {\ mathcal {G}} }$ i ${\ Displaystyle f ^ {*} f_ {*} {\ mathcal {F}} \ rightarrow {\ mathcal {F}}}$ dla ${\ Displaystyle {\ mathcal {G}} }$ na Y i na X . ${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$ . Jednak prawie nigdy nie są to izomorfizmy — patrz przykład lokalizacji poniżej.

Dwoistość Verdiera

Dualność Verdiera daje między nimi jeszcze jedno powiązanie: moralnie rzecz ujmując, wymienia „∗” i „!”, czyli w powyższym streszczeniu wymienia funktory wzdłuż przekątnych. Na przykład obraz bezpośredni jest podwójny w stosunku do obrazu bezpośredniego z obsługą kompaktową. Zjawisko to jest badane i wykorzystywane w teorii snopów przewrotnych .

Zmiana bazy

Inną użyteczną właściwością funktorów obrazu jest zmiana bazy . $_ {\bar {f}}:X\times _{Z}Y\rightarrow Y}$ $uwagę$ ciągłe i $X$ które i ${\ Displaystyle {\ bar {g}}: X \ razy _ {Z} Y \ rightarrow X}$ istnieje izomorfizm kanoniczny ${\ Displaystyle R {\ bar {f}} _ {*} R {\ bar {g}} ^ {!} \ cong Rf ^ {!} Rg_ {*}}$ .

Lokalizacja

W szczególnej sytuacji zamkniętej podprzestrzeni i : Z ⊂ X i komplementarnego podzbioru otwartego j : U ⊂ X , sytuacja upraszcza się o tyle, że dla j ^∗ = j ^! i ja _! = i _∗ i dla dowolnego snopka F na X , otrzymuje się ciągi dokładne

0 → j _! j ^∗ fa → fa → ja _∗ ja ^∗ fa → 0

Jego podwójne odczyty Verdiera

ja _∗ Ri ^! fa → fa → Rj _∗ jot ^∗ fa → ja _∗ Ri ^! F [1],

wyróżniony trójkąt w pochodnej kategorii snopów na X .

W tym przypadku obowiązują relacje sąsiedztwa

{\ Displaystyle i ^ {*} \ leftrightarrows i_ {*} = i_ {!} \ leftrightarrows i ^ {!}}

I

{\ Displaystyle j_ {!} \ strzałki w lewo j ^ {!} = j ^ {*} \ strzałki w lewo j_ {*}}

.

Zobacz też

Sześć operacji

Iversen, Birger (1986), Cohomology snopów , Universitext, Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-16389-3 , MR 0842190 traktuje ustawienie topologiczne
Artin, Michael (1972). Aleksandra Grothendiecka ; Jean-Louis Verdier (red.). Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1963-64 - Théorie des topos et cohomologie étale des schémas - (SGA 4) - tom. 3 . Notatki z wykładów z matematyki (w języku francuskim). Tom. 305. Berlin; Nowy Jork: Springer-Verlag . s. vi+640. doi : 10.1007/BFb0070714 . ISBN 978-3-540-06118-2 . traktuje przypadek snopów etale na schematach. Patrz Exposé XVIII, sekcja 3.
Milne, James S. (1980), Étale cohomology , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-08238-7 to kolejne odniesienie do sprawy étale.