Odwrotny funktor obrazu

W matematyce, szczególnie w topologii algebraicznej i geometrii algebraicznej , odwrotny funktor obrazu jest kontrawariantną konstrukcją snopów ; tutaj „kontrawariantny ” w sensie podanym na mapie , $Y$ funktor obrazu jest snopów na kategorii snopów na X . Bezpośredni funktor obrazu to podstawowa operacja na krążkach, z najprostszą definicją. Odwrócony obraz wykazuje pewne stosunkowo subtelne cechy.

Definicja

$, że$ dostaliśmy snop na $i$$\ Displaystyle Y}$ chcemy przetransportować do ${\ displaystyle {\ mathcal {G}}$ używając ciągłej mapy ${\ displaystyle f \ okrężnica X \ do Y}$ .

Nazwiemy wynik odwrotnym obrazem lub wyciągniętym snopem ${\ displaystyle f ^ {- 1} {\ mathcal {G}}}$ . Jeśli spróbujemy naśladować bezpośredni obraz przez ustawienie

${\ Displaystyle f ^ {- 1} {\ mathcal {G}} (U) = {\ mathcal {G}} (f (U))}$

$:$ każdego $otwartego$ napotykamy niekoniecznie $.$ _ Najlepsze, co możemy zrobić, to przybliżyć to za pomocą zbiorów otwartych, a nawet wtedy otrzymamy presnop, a nie snopek. W konsekwencji definiujemy jako snop powiązany z snopem wstępnym : ${\ Displaystyle f ^ {- 1} {\ mathcal {G}}}$

${\ Displaystyle U \ mapsto \ varinjlim _ {V \ supseteq f (U)} {\ mathcal {G}} (V).}$

(Tutaj $a$ otwartym podzbiorem zbioru, ${\ displaystyle$ przebiega przez $Y}$ otwarte podzbiory Y $displaystyle$$}$ .)

Na przykład, jeśli jest tylko włączeniem punktu Y $Displaystyle$$Y}$$,$ to $})} jest$${\ Displaystyle f ^ {- 1} ({\ displaystyle Y$$.$ } w tym momencie tylko łodygą

Mapy restrykcyjne, jak również funkcjonalność obrazu odwrotnego wynikają z uniwersalnej własności granic bezpośrednich .

Gdy mamy do czynienia z krążkami $mathcal {O}} _ {Y}}$ -moduły $na$ z pierścieniami , przykład w geometrii algebraicznej , często pracuje się z \ , gdzie jest $snopem$ struktury $Y}$ . Wtedy funktor ${\ displaystyle f ^ {-1}}$$jest$ , ponieważ generalnie nie daje nawet snopów . Aby temu zaradzić, w tej sytuacji definiuje się dla snopka $}$ jego odwrotny obraz przez ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {Y}$

${\ Displaystyle f ^ {*} {\ mathcal {G}}: = f ^ {-1} {\ mathcal {G}} \ czasami _ {f^{-1}{\mathcal {O}}_{Y}}{\mathcal {O}}_{X}}$ .

Nieruchomości

• Podczas gdy $,$ skomplikowane niż łodygi są ${\ Displaystyle x \ w X}$$X$ biorąc pod uwagę punkt , jeden ma ${\ Displaystyle (f ^ {- 1} {\ mathcal {G}}) _ {x} \ cong {\ mathcal {G}} _{f(x)}}$ .
• ${\ Displaystyle f ^ {- 1}}$ jest dokładnym funktorem , jak widać z powyższego obliczenia łodyg.
• ${\ displaystyle f ^ {*}}$ jest (ogólnie) tylko dokładnie. Jeśli $dokładna$ f nazywa się płaska .
• ${\ Displaystyle f ^ {- 1}}$ jest lewym sprzężeniem bezpośredniego funktora obrazu ${\ Displaystyle f _ {\ ast}}$ . Oznacza to, że istnieją naturalne morfizmy jednostek i jednostek ${\ Displaystyle {\ mathcal {G}} \ rightarrow f_ {*} f ^ {- 1} {\ mathcal {G}}}$ i ${\ Displaystyle f ^ {- 1} f_ {*} {\ mathcal {F}} \ rightarrow {\ mathcal {F}}}$ . Te morfizmy dają naturalną korespondencję uzupełniającą:

${\ Displaystyle \ operatorname {Hom} _ {\ mathbf {Sh} (X) }(f^{-1}{\mathcal {G}},{\mathcal {F}})=\mathrm {Hom} _{\mathbf {Sh} (Y)}({\mathcal {G}}, f_ {*}{\mathcal {F}})}$ .

$_$ morfizmy fa $izomorfizmami$ prawie nigdy są . Na przykład, jeśli ${\ Displaystyle i \ dwukropek Z \ do Y}$ oznacza włączenie zamkniętego podzbioru, łodyga ${\ Displaystyle i_ {*} i ^ {- 1} {\ mathcal {G}}}$ w punkcie ${\ Displaystyle y \ in Y}$ jest kanonicznie izomorficzny z $mathcal {G}} _ {y}}$${\ displaystyle {$$Z}$ jeśli jest w $displaystyle$$i$ inaczej . Podobny dodatek dotyczy przypadku snopów modułów, zastępując ja przez $\ displaystyle i ^ {- 1}}$${\ Displaystyle i ^ {*}}$ .

•    Iversen, Birger (1986), Kohomologia snopów , Universitext, Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-16389-3 , MR 0842190 . Patrz sekcja II.4.