Twierdzenia o zmianie bazy

W matematyce twierdzenia o zmianie podstawy odnoszą się do bezpośredniego obrazu i odwrotnego obrazu snopów . Dokładniej mówiąc, dotyczą one podstawowej mapy zmian, określonej przez następującą naturalną transformację snopów:

${\ Displaystyle g ^ {*} (R ^ {r} f_ {*} {\ mathcal {F}}) \ do R ^{r}f'_{*}(g'^{*}{\mathcal {F}})}$

Gdzie

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {tablica} {rcl} X '& {\ stackrel {g'} {\ do}} i X \\ f'\ downarrow &&\strzałka w dół f\\S'&{\stackrel {g}{\do }}&S\end{tablica}}}$

$gdzie$ jest kwadratem przestrzeni topologicznych i jest snopem na X .

Takie twierdzenia istnieją w różnych gałęziach geometrii: dla (zasadniczo dowolnych) przestrzeni topologicznych i właściwych odwzorowań f , w geometrii algebraicznej dla snopów (quasi-)spójnych i f właściwych lub g płaskich, podobnie w geometrii analitycznej , ale także dla snopów etale dla f właściwy lub g gładki.

Wstęp

Proste zjawisko zmiany podstawy powstaje w algebrze przemiennej , gdy A jest pierścieniem przemiennym , a B i A' są dwoma A -algebrami. Niech ${\ Displaystyle B'= B \ otimes _ {A} A'}$ . W tej sytuacji, mając B -moduł M , istnieje izomorfizm ( modułów A' ):

${\ Displaystyle (M \ otimes _ {B} B') _ {A'} \ cong (M_ {A}) \ otimes _ {A} A'.}$

Tutaj indeks dolny wskazuje zapominalski funktor, tj. jest $\ displaystyle M_ {A}}$ , ale uważany za moduł A. M ZA Rzeczywiście, taki izomorfizm uzyskuje się przez obserwację

${\ Displaystyle M \ otimes _ {B} B '= M \ otimes _ {B} B \ otimes _ {A} A' \ cong M \ otimes _ {A} A'.}$

Zatem dwie operacje, a mianowicie funktory zapominające i iloczyny tensorowe, komutują w sensie powyższego izomorfizmu. Twierdzenia o zmianie podstawy omówione poniżej są stwierdzeniami podobnego rodzaju.

Definicja podstawowej mapy zmian

Przedstawione poniżej twierdzenia o zmianie podstawy zapewniają, że (dla różnych typów krążków i przy różnych założeniach na danych mapach) następująca mapa zmiany podstawy

${\ Displaystyle g ^ {*} (R ^ {r} f_ {*} {\ mathcal {F}}) \ do R ^{r}f'_{*}(g'^{*}{\mathcal {F}})}$

jest izomorfizmem, gdzie

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {tablica} {rcl} X '& {\ stackrel {g'} {\ do}} i X \\ f'\ downarrow &&\strzałka w dół f\\S'&{\stackrel {g}{\do }}&S\\\end{tablica}}}$

$,$ które tworzą kwadrat kartezjański , a to snop na X . Tutaj $f_ {*} {\ mathcal {F}}}$ } $oznacza$ wyższy bezpośredni obraz f , tj. pochodny funktor bezpośredniego obrazu (znany również jako pushforward) funktor ${\ displaystyle f_ {*}}$ .

Ta mapa istnieje bez żadnych założeń dotyczących map f i g . Jest skonstruowany w następujący sposób: ponieważ jest pozostawiony obok $g' ^ {*$ istnieje naturalna mapa (zwana mapą jednostek) $Displaystyle$

${\ Displaystyle \ operatorname {id} \ do g'_ {*} \ circ g' ^ {*}}$

a więc

${\ Displaystyle R ^ {r} f_ {*} \ do R ^ {r} f_ {*} \ circ g'_ {*} \ circ g' ^ {*}.}$

Sekwencja widmowa Grothendiecka daje następnie pierwszą mapę i ostatnią mapę (są to mapy krawędziowe) w:

${\ Displaystyle R ^ {r} f_ {*} \ circ g'_ {*} \ circ g' ^ {*} \ do R ^ {r} (f \ circ g') _ {*} \ circ g' ^{*}=R^{r}(g\circ f')_{*}\circ g'^{*}\to g_{*}\circ R^{r}f'_{*}\circ g'^{*}.}$

Łącząc to z powyższymi plonami

${\ Displaystyle R ^ {r} f_ {*} \ do g_ {*} \ circ R ^ {r} f'_ {*} \ circ g' ^ {*}.}$

$_$ przylegania i daje $.$

Wspomniany powyżej przykład wprowadzający jest tego szczególnym przypadkiem, a mianowicie dla schematów afinicznych ${\ Displaystyle X = \ operatorname {Spec} (B), S = \ nazwa operatora {Spec} (A), S '= \ nazwa operatora {Spec} (A')} i w konsekwencji X ′ = Spec$ ⁡ $= \operatorname {Spec} (B')}$ i quasi-spójny snop ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}: = {\ tylda {M}}}$ powiązany z modułem B M .

$zmian podstawowych$ obejmują tylko jeden wyższy bezpośredni funktor obrazu, w taki, który koduje wszystkie jednocześnie . W rzeczywistości podobne argumenty jak powyżej dają mapę w pochodnej kategorii snopów na S ':

${\ Displaystyle g ^ {*} Rf_ {*} ({\ mathcal {F}}) \ do Rf'_ {*} (g '^{*}{\mathcal {F}})}$

gdzie ${\ displaystyle Rf_ {*}}$ oznacza (całkowity) pochodny funktor funkcji ${\ displaystyle f_ {*}}$ .

Topologia ogólna

Właściwa zmiana bazy

Jeśli X jest przestrzenią topologiczną $.$ , S jest lokalnie zwartą przestrzenią Hausdorffa, a jest domkniętą ( zamkniętą mapą dowolnego mapa ciągła ${\ displaystyle T \ do S}$ ), a następnie mapa zmian bazowych

${\ Displaystyle g ^ {*} R ^ {r} f_ {*} {\ mathcal {F}} \ do R ^ {r} f ' _{*}g'^{*}{\mathcal {F}}}$

jest izomorfizmem. Rzeczywiście, mamy: dla ${\ displaystyle s \ in S}$ ,

${\ Displaystyle (R ^ {r} f_ {* }{\mathcal {F}})_{s}=\varinjlim H^{r}(U,{\mathcal {F}})=H^{r}(X_{s},{\mathcal {F} }),\quad X_{s}=f^{-1}(s)}$

i tak dla ${\ Displaystyle s = g (t)}$

${\ Displaystyle g ^ {*} (R ^ {r} f_ {*} {\ mathcal {F}}) _ {t} = H ^ {r} (X_ {s}, {\ mathcal {F}}) =H^{r}(X'_{t},g'^{*}{\mathcal {F}})=R^{r}f'_{*}(g'^{*}{\mathcal {F}})_{t}.}$

Aby zakodować wszystkie indywidualne funktory wyższych pochodnych $jedną$ całość, powyższe stwierdzenie można równoważnie przeformułować, mówiąc, że mapa zmian

${\ Displaystyle g ^ {*} Rf_ {*} {\ mathcal {F}} \ do Rf'_ {*} g' ^ {*} {\ matematyka {F}}}$

jest quasi-izomorfizmem .

Schnürer i Soergel (2016) podważyli założenia, że ​​chodzi o przestrzenie Hausdorffa .

Lurie (2009) rozszerzył powyższe twierdzenie na nieabelową kohomologię snopów , tj. snopów przyjmujących wartości w zbiorach uproszczonych (w przeciwieństwie do grup abelowych).

Bezpośredni obraz z kompaktowym wsparciem

Jeśli mapa f nie jest domknięta, mapa zmian bazowych nie musi być izomorfizmem, jak pokazuje poniższy przykład (mapy są inkluzjami standardowymi):

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {tablica} {rcl} \ pusty zbiór & {\ stackrel {g'} {\ do}} & \ mathbb {C } \setminus \{0\}\\f'\downarrow &&\downarrow f\\\{0\}&{\stackrel {g}{\to }}&\mathbb {C} \end{array}}}$

Z jednej strony zawsze wynosi zero, ale jeśli $}$$fa {\ Displaystyle f'_ {*} g' ^ {*} {\ mathcal {F$ } jest systemem lokalnym ${$ odpowiadającym reprezentacji podstawowej π $X)}$$\ Displaystyle \ pi$ (który jest izomorficzny z Z ), wtedy można obliczyć jako niezmienniki działania monodromii π ${\ Displaystyle \ pi _ {1} (X, x)}$${F}}}$ na łodydze ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} _ {x}}$ (dla każdego ${\ Displaystyle x \ neq 0}$ ), które nie muszą zniknąć.

Aby uzyskać wynik zmiany podstawy, funktor $)$ musi zostać zastąpiony bezpośrednim obrazem ze zwartym ${\ displaystyle Rf_ {!}}$ . Na przykład, jeśli $włączeniem$${\ Displaystyle Rf_ {!} {\ mathcal {F}}}$ powyższym przykładzie jest rozszerzeniem o zero, tj. jego łodygi są podane przez fa {\ displaystyle Rf_ {!}

${\ Displaystyle (Rf_ {!} {\ mathcal {F}}) _ {s} = {\ rozpocząć {przypadki} {\ mathcal {F}} _ {s} & s \ w X, \\ 0 & s \ notin X. \end{przypadki}}}$

Ogólnie rzecz biorąc, istnieje mapa ${\ Displaystyle Rf_ {!} {\ mathcal {F}} \ do Rf_ {*} {\ mathcal {F}}} , co jest quasi-$ izomorfizmem, jeśli f jest właściwe, ale ogólnie nie . Właściwe twierdzenie o zmianie podstawy, o którym mowa powyżej, ma następujące uogólnienie: istnieje quasi-izomorfizm

${\ Displaystyle g ^ {*} Rf_ {!} {\ mathcal {F}} \ do Rf'_ {!} g' ^ {*} {\ mathcal {F}}.}$

Zmiana bazy dla krążków quasi-spójnych

Właściwa zmiana bazy

Właściwe twierdzenia o zmianie podstawy dla quasi-spójnych krążków mają zastosowanie w następującej sytuacji: jest właściwym morfizmem między schematami noetherowskimi i $: X \ do S$$} }$ jest spójnym snopkiem , który jest płaski nad S (tj. jest płaski nad S (tj. fa $\ Displaystyle {\ mathcal {F}} _ {x}}$ jest płaski nad ${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _{S,f(x)}}$ ). W tej sytuacji obowiązują następujące stwierdzenia:

• „Twierdzenie o półciągłości”:
  • Dla każdego ${\ Displaystyle p \ geq 0}$ funkcja ${\ Displaystyle s \ mapsto \ dim _ {k (s) }H^{p}(X_{s},{\mathcal {F}}_{s}):S\to \mathbb {Z} }$ jest górnopółciągłe .
  • Funkcja $Displaystyle s \ mapsto \ chi ({\ mathcal {F}} _ {s$ lokalnie stała, gdzie s $)$ oznacza charakterystykę Eulera .
• „ Twierdzenie Grauerta ”: jeśli S jest zredukowane i połączone, to dla każdego następujące są równoważne ${\ displaystyle p \ geq 0}$
  • ${\ Displaystyle s \ mapsto \ dim _ {k (s)} H ^ {p} (X_ {s}, {\ mathcal {F}} _{s})}$ jest stała.
  • ${\ Displaystyle R ^ {p} f_ {*} {\ mathcal {F}}}$ jest lokalnie bezpłatny, a mapa naturalna

${\ Displaystyle R ^ {p} f_ {*} {\ mathcal {F}} \ otimes _ {{\ mathcal {O }}_ {S}} k (s) \ do H ^ {p} (X_ {s}, {\ mathcal {F}} _ {s})} jest izomorfizmem dla wszystkich s ∈ S$

{ $\ w S}$ .

Ponadto, jeśli te warunki są spełnione, to mapa naturalna

${\ Displaystyle R ^ {p-1} f_ {* }{\mathcal {F}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{S}}k(s)\to H^{p-1}(X_{s},{\mathcal {F}} _ {s})}$

jest izomorfizmem dla wszystkich ${\ displaystyle s \ in S}$ .

• p , H. $\ Displaystyle H ^ {p} (X_ {s}, {\ mathcal {F}} _ {s}) = 0}$ dla wszystkich ${\ Displaystyle s \ w S}$ , a następnie mapa naturalna

${\ Displaystyle R ^ {p-1} f_ {*}{\mathcal {F}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{S}}k(s)\to H^{p-1}(X_{s},{\mathcal {F }} _ {s})}$

jest izomorfizmem dla wszystkich ${\ displaystyle s \ in S}$ .

Ponieważ łodyga snopka $,$ włókna punktu pod f stwierdzenie to mówiąc, że „kohomologia dojeżdża z rozszerzeniem podstawy”.

${\ Displaystyle S = \ operatorname {Spec} A}$ ZA istnieje skończony kompleks ${\ Displaystyle 0 \ do K ^ {0} \ do K ^ {1} \ do \ cdots \ do K ^ {n} \ do 0}$ skończenie generowanych rzutowych modułów A i naturalny izomorfizm funktorów

${\ Displaystyle H ^ {p} (X \ razy _ {S} \ operatorname {Spec} -, {\mathcal {F}}\otimes _{A}-)\to H^{p}(K^{\bullet}\otimes _{A}-),p\geq 0}$

w kategorii algebr ${\ displaystyle A}$ .

Płaska zmiana podstawy

Podstawowa mapa zmian

${\ Displaystyle g ^ {*} (R ^ {r} f_ {*} {\ mathcal {F}}) \ do R ^{r}f'_{*}(g'^{*}{\mathcal {F}})}$

jest izomorfizmem dla quasi-spójnego snopka (na $) , pod warunkiem$ że mapa $S}$$Displaystyle$$g: S '\$ jest płaska (wraz z kilkoma warunkami technicznymi: f musi być oddzielnym morfizmem typu skończonego , stosowane schematy muszą być noetherowskie).

Płaska zmiana podstawy w kategorii pochodnej

Daleko idące rozszerzenie płaskiej zmiany podstawy jest możliwe przy rozważaniu mapy zmian podstawy

${\ Displaystyle Lg ^ {*} Rf_ {*} ({\ mathcal {F}}) \ do Rf'_ {*} (Lg'^{*}{\mathcal {F}})}$

w pochodnej kategorii snopów na S', podobnie jak wspomniano powyżej. Tutaj $^ {*}}$$-modułów$ jest (całkowitym) pochodnym funktorem wycofania (ponieważ ${\ Displaystyle g ^ {*} {\ mathcal {G}} = {\ mathcal {O}} _ {X} \ otimes _ {g ^ {-1} {\ mathcal {O}} _ {S}} g ^ {- 1} {\ mathcal {G}}}$ obejmuje iloczyn tensorowy, ${\ Displaystyle g ^ {*}}$ nie jest dokładne, gdy g nie jest płaskie, a zatem nie jest równe jego funktor pochodny ${\ Displaystyle Lg ^ {*}}$ ). Ta mapa jest quasi-izomorfizmem, jeśli spełnione są następujące warunki:

• $displaystyle S}$ -zwarty i jest quasi-zwarty i quasi-rozdzielony, ${\$
• ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}$ jest obiektem w ${\ Displaystyle D ^ {b} ({\ mathcal {O}} _ {X} {\ text {-mod }})}$ , ograniczona kategoria pochodna -modułów, a jej snopy kohomologii są quasi-spójne (na przykład $}$$F}}}$$displaystyle {\ mathcal {\ mathcal {}})$ może być ograniczonym kompleksem quasi-spójnych krążków)
• $displaystyle X}$$S$$= sol$ i $'}$ są niezależne od Tora w stosunku do , co , że ​​jeśli i $displaystyle X}$${\$ fa ${\ Displaystyle f (x) = s = g (s')}$ dla wszystkich liczb całkowitych $1}$${\ Displaystyle p \$ ,

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {Tor} _ {p} ^ {{\ mathcal {O}} _ {S, s}} ( {\mathcal {O}}_{X,x},{\mathcal {O}}_{S',s'})=0}$ .

• Spełniony jest jeden z poniższych warunków:
  • $}}}$$F$ ma skończoną płaską amplitudę względem , co oznacza że ​​jest quasi-izomorficzny w ${\ Displaystyle D ^ { -} (f ^ {-1} {\ mathcal {O}} _ {S} {\ tekst {-mod}}}} do złożonego takiego, że fa ′ {\ displaystyle {$ \ mathcal ${\ Displaystyle ({\ mathcal {F}} ') ^ {i}}$$} '}$ jest ${\ Displaystyle f ^ {-1} {\ mathcal {O}} _ {S}}$ - mieszkanie dla wszystkich $[$ pewnym ograniczonym przedziałem $\ Displaystyle [m, n]}$ ; $_$$\ Displaystyle D ^ {-} (f ^ {-1} {\ mathcal {O}} _ {S} {\ text {-mod}})}, jeden ma Tor$ przedział $taki$ dowolnego $złożonego$ w ja $Displaystyle \ operatorname {Tor} _ {i} ({\ mathcal {F}}, {\ mathcal {G}}) = 0}$ dla wszystkich ${\ Displaystyle i}$ na zewnątrz ${\ Displaystyle [m, n ]}$ ; Lub
  • ${\ displaystyle g}$ ma skończony wymiar Tor, co oznacza, że $​​ma$ płaską stosunku do $.$

Jedną z zalet tego sformułowania jest osłabienie hipotezy płaskości. Jednak wykonanie konkretnych obliczeń kohomologii lewej i prawej strony wymaga teraz sekwencji widmowej Grothendiecka .

Zmiana podstawy w pochodnej geometrii algebraicznej

Wyprowadzona geometria algebraiczna $zapewnia$ sposób na odrzucenie założenia o płaskości, pod warunkiem, że wycofanie wycofaniem homotopii . W najprostszym przypadku, gdy X , S i $notacją$ jak powyżej), wycofanie homotopii jest określone przez iloczyn tensorowy

${\ Displaystyle X '= \ operatorname {Spec} (B'\ otimes _ {B} ^ {L} A)}$

Następnie, zakładając, że schematy (lub bardziej ogólnie schematy pochodne) są quasi-zwarte i quasi-oddzielone, naturalna transformacja

$\ Displaystyle Lg ^ {*} Rf_ {*} {\ mathcal {F}} \ do Rf'_ {*} Lg' ^ {*} {\mathcal {F}}}$

jest quasi-izomorfizmem dla dowolnego quasi-spójnego snopka, lub bardziej ogólnie kompleksu quasi-spójnych snopów. Wspomniany powyżej wynik zmiany płaskiej podstawy jest w rzeczywistości przypadkiem szczególnym, ponieważ dla g flat cofnięcie homotopii (które jest lokalnie określone przez pochodny iloczyn tensorowy) zgadza się ze zwykłym wycofaniem (lokalnie określonym przez pochodny iloczyn tensorowy), a ponieważ wycofanie wzdłuż płaskich map g i g ' jest wyprowadzane automatycznie (tj. ${\ Displaystyle Lg ^ {*} = g ^ {*}} )$ . Założenia pomocnicze związane z niezależnością Tora lub amplitudą Tora w poprzednim twierdzeniu o zmianie podstawy również stają się niepotrzebne.

W powyższej postaci zmiana bazowa została rozszerzona przez Ben-Zvi, Francis & Nadler (2010) na sytuację, w której X , S i S' są (prawdopodobnie pochodnymi) stosami , pod warunkiem, że mapa f jest mapą doskonałą (która obejmuje przypadek, w którym f jest quasi-zwartą, quasi-rozdzieloną mapą schematów, ale obejmuje również bardziej ogólne stosy, takie jak stos klasyfikacyjny BG grupy algebraicznej w charakterystycznym zerze).

Warianty i zastosowania

Właściwa zmiana podstawy obowiązuje również w kontekście złożonych rozmaitości i złożonych przestrzeni analitycznych . Twierdzenie o funkcjach formalnych jest wariantem właściwej zmiany bazy, w której cofnięcie jest zastąpione operacją uzupełniania .

Zasada huśtawki i twierdzenie o sześcianie , które są fundamentalnymi faktami w teorii rozmaitości abelowych , są konsekwencją właściwej zmiany podstawy.

Zmiana podstawy dotyczy również D-modułów : jeśli X , S , X' i S' są gładkimi odmianami (ale f i g nie muszą być płaskie ani właściwe itp.), Istnieje quasi-izomorfizm

${\ Displaystyle g ^ {\ sztylet} \ int _ {f} {\ mathcal {F}} \ do \ int _ {f'} g' ^ {\ sztylet }{\mathcal {F}},}$

gdzie $i oznaczają$$bezpośrednie$ i dla modułów D.

Zmiana podstawy dla krążków étale

W przypadku étale krążków skrętnych $istnieją$ dwa wyniki zmiany podstawy, określane odpowiednio jako właściwa i zmiana podstawy : zmiana podstawy zachodzi, jeśli ${\ displaystyle f: X \ strzałka w prawo S}$ jest poprawna . Obowiązuje również, jeśli $,$ jest gładkie , pod warunkiem że f jest quasi-zwarte i pod warunkiem, że skręcanie jest liczbą pierwszą względem charakterystyki pól resztowych X .

$zmianą$ jest następujący fakt (oba twierdzenia są zwykle udowadniane jednocześnie): niech X będzie rozmaitością na rozłącznie zamkniętym polu i konstruowalnym snopkiem na ${ \displaystyle X_ {\text{et}}}$ . Wtedy są skończone w każdym z następujących przypadków: ${\ Displaystyle H ^ {r} (X, {\ mathcal {F}})}$

• X jest kompletny lub
• ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}$ nie ma p -skrętu, gdzie p jest cechą k .

Przy dodatkowych założeniach Deninger (1988) rozszerzył właściwe twierdzenie o zmianie podstawy na nieskrętne snopy étale.

Aplikacje

W ścisłej analogii do wspomnianej powyżej sytuacji topologicznej, podstawowa mapa zmian dla otwartego zanurzenia f ,

${\ Displaystyle g ^ {*} f_ {*} {\ mathcal {F}} \ do f'_ {*} g' ^ {*} {\ mathcal { F}}}$

zwykle nie jest izomorfizmem. Zamiast tego rozszerzenie o funktor zerowy ${\ displaystyle f_ {!}}$ spełnia izomorfizm

${\ Displaystyle g ^ {*} f_ {!} {\ mathcal {F}} \ do f'_ {!} g ^ {*} {\ mathcal {F}}.}$

Ten fakt i właściwa zmiana bazy sugerują zdefiniowanie bezpośredniego funktora obrazu ze zwartym wsparciem dla mapy f by

${\ Displaystyle Rf_ {!}: = Rp_ {*} j_ {!}}$

gdzie ${\ displaystyle f = p \ circ j}$ jest zwartością f , tj. faktoryzacją do otwartego zanurzenia, po którym następuje właściwa mapa. Potrzebne jest odpowiednie twierdzenie o zmianie bazy, aby pokazać, że jest to dobrze zdefiniowane, tj. niezależne (z dokładnością do izomorfizmu) od wyboru zagęszczenia. $dla$ , ponownie analogicznie do przypadku krążków w przestrzeni topologicznej, wzór na zmianę vs. ${\ Displaystyle Rf_ {!}}$ dotyczy niewłaściwych map f .

Dla mapy $k$ na _ ${\ Displaystyle Rf_ {!} ({\ mathcal {F}})}$ , oznaczony przez ${\ Displaystyle H_ {c} ^ {*} (X, {\ mathcal {F }})}$ określane jako kohomologia ze zwartym wsparciem . Jest to ważny wariant zwykłej kohomologii etale .

Podobne idee są również wykorzystywane do konstruowania analogu funktora ${\ Displaystyle Rf_ {!}}$ w teorii A ¹ -homotopii .

Zobacz też

• Względny punkt widzenia Grothendiecka w geometrii algebraicznej
• Zmiana bazy (ujednoznacznienie)
• Podnoszenie zmian bazowych form automorficznych

Dalsza lektura

•   Esnault, H.; Kerz, M.; Wittenberg, O. (2016), „Izomorfizm restrykcyjny dla cykli o wymiarze względnym zero”, Cambridge Journal of Mathematics , 4 (2): 163–196, arXiv : 1503.08187v2 , doi : 10.4310/CJM.2016.v4.n2 a1 , S2CID 54896268

Notatki

•   Artin, Michał ; Grothendieck, Aleksandr; Verdier, Jean-Louis (1972), Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1963-64 - Théorie des topos et cohomologie étale des schémas - (SGA 4) - tom. 3 (PDF) , Notatki z wykładów z matematyki (w języku francuskim), tom. 305, Berlin; Nowy Jork: Springer-Verlag , s. vi+640, doi : 10.1007/BFb0070714 , ISBN 978-3-540-06118-2
•    Ben-Cwi, Dawid; Franciszek, Jan; Nadler, David (2010), „Przekształcenia całkowe i centra Drinfelda w wyprowadzonej geometrii algebraicznej”, J. Amer. Matematyka soc. , 23 (4): 909–966, arXiv : 0805.0157 , doi : 10.1090/S0894-0347-10-00669-7 , MR 2669705 , S2CID 2202294
•   Berthelot, Pierre ; Grothendieck, Aleksandr ; Illusie, Luc (1971), Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1966-67 - Théorie des skrzyżowania et théorème de Riemann-Roch - (SGA 6) (Notatki z wykładów z matematyki 225 ) (w języku francuskim), Berlin; Nowy Jork: Springer-Verlag , xii+700, doi : 10.1007/BFb0066283 , ISBN 978-3-540-05647-8
• Deninger, Christopher (1988), „Właściwe twierdzenie o zmianie podstawy dla snopów nieskrętnych w kohomologii etale”, Journal of Pure and Applied Algebra , 50 (3): 231–235, doi : 10.1016 / 0022-4049 (88) 90102 -8
• Gabber, „ Twierdzenia o skończoności dla kohomologii doskonałych schematów etale ”
•    Grauert, Hans (1960), „Ein Theorem der analytischen Garbentheorie und die Modulräume komplexer Strukturen” (PDF) , Publications Mathématiques de l'IHÉS , 5 : 5–64, doi : 10.1007/BF02684746 , S2CID 122593346 , Zbl 0100.08001
• Grothendieck, A. (1963), "Éléments de géométrie algébrique. III. Etude cohomologique des faisceaux cohérents. II" , Publ. Matematyka IHES , zarchiwizowane z oryginału w dniu 05.01.2017 , pobrane 04.01.2017
•     Hartshorne, Robin (1977), Geometria algebraiczna , Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90244-9 , MR 0463157 , OCLC 13348052
• Hotta, Ryoshi; Takeuchi, Kiyoshi; Tanisaki, Toshiyuki (2008), D -moduły, perwersyjne snopy i teoria reprezentacji , Birkäuser
•    Iversen, Birger (1986), Kohomologia snopów , Universitext, Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-3-642-82783-9 , ISBN 978-3-540-16389-3 , MR 0842190
•    Lurie, Jacob (2009), Wyższa teoria toposu , Annals of Mathematics Studies, tom. 170 , Princeton University Press _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
•   Milne, James S. (1980), kohomologia Étale , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-08238-7
• Milne, James S. (2012), Wykłady z kohomologii Étale (PDF)
•     Mumford, David (2008) [1970], Odmiany abelowe , Tata Institute of Fundamental Research Studies in Mathematics, tom. 5, Providence, RI: Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne , ISBN 978-81-85931-86-9 , MR 0282985 , OCLC 138290
• Toën, Bertrand (2012), Właściwe lokalne morfizmy pełnego skrzyżowania zachowują doskonałe kompleksy , arXiv : 1210,2827 , Bibcode : 2012arXiv1210,2827T
•   Schnürer, OM; Soergel, W. (2016), „Właściwa zmiana bazy dla wydzielonych lokalnie właściwych map”, Rend. Semin. Mata. Uniw. Padova , 135 : 223–250, arXiv : 1404.7630v2 , doi : 10.4171/RSMUP/135-13 , S2CID 118024164
• Vakil, Ravi (2015), Podstawy geometrii algebraicznej (PDF)

Linki zewnętrzne

• Ulotka Briana Conrada
• Kłopot z półciągłością