Wyjątkowy odwrotny funktor obrazu

W matematyce , a dokładniej w teorii snopów , gałęzi topologii i geometrii algebraicznej , wyjątkowy odwrotny funktor obrazowy jest czwartym i najbardziej wyrafinowanym z serii funktorów obrazowych dla snopów . Jest potrzebny do wyrażenia dwoistości Verdiera w jej najbardziej ogólnej formie.

Definicja

Niech f : X → Y będzie ciągłą mapą przestrzeni topologicznych lub morfizmem schematów . Wtedy wyjątkowy obraz odwrotny jest funktorem

Rf ^! _ : re( Y ) → re ( X )

gdzie D(–) oznacza pochodną kategorię krążków grup lub modułów abelowych nad ustalonym pierścieniem .

Definiuje się go jako prawe sprzężenie całkowitego pochodnego funktora R f _! bezpośredniego obrazu z kompaktowym wsparciem . Jego istnienie wynika z pewnych własności R f _! i ogólne twierdzenia o istnieniu funktorów sprzężonych, podobnie jak jedność.

Notacja Rf ^! jest nadużyciem notacji, ponieważ w ogóle nie ma funktora f ^! którego pochodnym funktorem byłoby R f ^! .

Przykłady i właściwości

• Jeśli f : X → Y jest zanurzeniem lokalnie domkniętej podprzestrzeni, to można zdefiniować

f ^! ( F ) := f ^∗ G ,

gdzie G jest podstemplem F , którego przekroje na pewnym otwartym podzbiorze U z Y są przekrojami s ∈ F ( U ) których podpora jest zawarta w X . Funktor f ^! pozostaje dokładny , a powyższe R f ^! , którego istnienie jest gwarantowane przez abstrakcyjny nonsens , jest rzeczywiście funktorem pochodnym tego f ^! . ponadto f ^! jest tuż obok f _! , zbyt.

• Nieco bardziej ogólnie, podobne stwierdzenie odnosi się do każdego quasi-skończonego morfizmu, takiego jak morfizm étale .
• Jeśli f jest otwartym zanurzeniem , wyjątkowy obraz odwrócony jest równy zwykłemu obrazowi odwróconemu .

Dualność wyjątkowego odwrotnego funktora obrazu

Niech $będzie$ gładką rozmaitością wymiaru $która$ niech $wszystko$ unikalną mapą, W przypadku pierścienia $że$ się, ${\ Displaystyle f ^ {!} \ Lambda = \ omega _ {X, \ Lambda} [d]}$ jest przesunięty snop orientacji Λ $\ Displaystyle \ Lambda}$ .

$.$ drugiej $strony$ , $będzie$ -różnorodnością wymiaru Jeśli ${\ Displaystyle f: X \ rightarrow \ nazwa operatora {Spec} (k)}$ oznacza morfizm struktury, to ${\ Displaystyle f ^ {!} k \ cong \ omega _ {X} [d]}$ to przesunięty snop kanoniczny na ${\ Displaystyle X}$ .

$Co$$więcej$ , niech będzie płynną różnorodnością wymiarów i $liczbą$$}$ odwracalną w $displaystyle k$ wtedy $_$ _ ${\ Displaystyle (d)}$ oznacza skręt Tate .

Przywołując definicję kompaktowo obsługiwanej kohomologii jako niższego wrzasku pushforward $,$ zauważając, że poniżej ostatniego oznacza stały snop na $displaystyle X}$ a reszta oznacza że na ${\ Displaystyle *}$ , ${\ Displaystyle f: X \ do *}$ i

${\ Displaystyle \ operatorname {H } _{c}^{n}(X)^{*}\cong \operatorname {Hom} \left(f_{!}f^{*}\mathbb {Q} _{\ell }[n],\ mathbb {Q} _{\ell }\right)\cong \operatorname {Hom} \left(\mathbb {Q} _{\ell },f_{*}f^{!}\mathbb {Q} _{\ ell }[-n]\right),}$

powyższe obliczenia dostarczają $Poincarégo$ dualności

${\ Displaystyle \ operatorname {H} _ {c} ^ {n} \ lewo (X; \ mathbb {Q} _{\ell }\right)^{*}\cong \mathrm {H} ^{2d-n}(X;\mathbb {Q} (d))}$

z wielokrotnego zastosowania warunku dodatkowego.

•    Iversen, Birger (1986), Cohomology snopów , Universitext, Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-16389-3 , MR 0842190 traktuje ustawienie topologiczne
•   Artin, Michael (1972). Aleksandra Grothendiecka ; Jean-Louis Verdier (red.). Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1963-64 - Théorie des topos et cohomologie étale des schémas - (SGA 4) - tom. 3 . Notatki z wykładów z matematyki (w języku francuskim). Tom. 305. Berlin; Nowy Jork: Springer-Verlag . s. vi+640. doi : 10.1007/BFb0070714 . ISBN 978-3-540-06118-2 . traktuje przypadek snopów etale na schematach. Patrz Exposé XVIII, sekcja 3.
• Gallauer, Martin, An Introduction to Six Functor Formalizms (PDF) , s. 10-11 podaje stwierdzenia dotyczące dualności.