Przewrotny snop

Matematyczny termin krążki przewrotne odnosi się do pewnej kategorii abelowej związanej z przestrzenią topologiczną X , która może być rzeczywistą lub złożoną rozmaitością lub bardziej ogólną topologicznie uwarstwioną przestrzenią , zwykle pojedynczą. Koncepcja ta została wprowadzona w tezie Zoghmana Mebkhouta , zyskując większą popularność po (niezależnych) pracach Josepha Bernsteina , Alexandra Beilinsona i Pierre'a Deligne'a (1982) jako sformalizowanie Korespondencja Riemanna-Hilberta , która dotyczyła topologii przestrzeni osobliwych ( homologia przecięć Marka Goresky'ego i Roberta MacPhersona ) oraz algebraicznej teorii równań różniczkowych ( rachunek mikrolokalny i holonomiczne moduły D Josepha Bernsteina , Masaki Kashiwary i Takahiro Kawai ). Od początku było jasne, że krążki przewrotne są podstawowymi obiektami matematycznymi na skrzyżowaniu geometrii algebraicznej , topologii , analiza i równania różniczkowe . Odgrywają również ważną rolę w teorii liczb , algebrze i teorii reprezentacji . Własności charakteryzujące krążki perwersyjne pojawiły się już w artykule Kashiwary z lat 75-tych na temat konstruowalności rozwiązań holonomicznych D-modułów .

Uwagi wstępne

Nazwa przewrotny snop pochodzi z przybliżonego tłumaczenia francuskiego „faisceaux pervers”. Uzasadnieniem jest to, że snopy przewrotne to kompleksy snopów, które mają kilka cech wspólnych ze snopami: tworzą kategorię abelową, mają kohomologię , a żeby ją skonstruować, wystarczy ją skonstruować lokalnie wszędzie. Przymiotnik „zboczeńcy” wywodzi się z homologii skrzyżowania , a jego pochodzenie wyjaśnił Goresky (2010) .

Definicja przewrotnego snopka Beilinsona-Bernsteina-Deligne'a przechodzi przez maszynerię triangulowanych kategorii w algebrze homologicznej i ma bardzo silny posmak algebraiczny, chociaż główne przykłady wynikające z teorii Goresky'ego-MacPhersona mają charakter topologiczny, ponieważ proste obiekty w kategorii krążków przewrotnych to kompleksy kohomologii przecięcia. To zmotywowało MacPhersona do przekształcenia całej teorii w terminy geometryczne na podstawie teorii Morse'a . W wielu zastosowaniach w teorii reprezentacji snopy przewrotne można traktować jako „czarną skrzynkę”, kategorię o pewnych właściwościach formalnych.

Definicja i przykłady

Snop perwersyjny jest obiektem C ograniczonej pochodnej kategorii snopów z możliwą do skonstruowania kohomologią na przestrzeni X taką, że zbiór punktów x z

${\ Displaystyle H ^ {- i} (j_ {x} ^ {*} C) \ neq 0}$ lub ${\ Displaystyle H ^ { i}(j_{x}^{!}C)\neq 0}$

ma wymiar rzeczywisty co najwyżej 2 i , dla wszystkich i . Tutaj j _x jest mapą inkluzji punktu x .

Jeśli X jest gładkie i wszędzie o wymiarze d , to wtedy

${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} [d]}$

jest przewrotnym snopkiem dla dowolnego systemu lokalnego ${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$ . Jeśli X $,$ płaskim, lokalnie kompletnym schematem przecięcia (na przykład regularnym) na to stały snop przesunięty o jest snopem perwersyjnym étale.

Prosty przykład

Niech X będzie dyskiem wokół początku w $uwarstwionej,$ tak aby początek był unikalną pojedynczą warstwą. Wtedy kategoria przewrotnych krążków na X jest równoważna kategorii diagramów przestrzeni wektorowych ${\ Displaystyle V {\ overset {u} {\ underset {v} {\ rightleftarrows}}} W}$ gdzie ${\ Displaystyle \ operatorname {id} -u \ circ v}$ i ${\ displaystyle \ operatorname {id} -v \ circ u}$ są odwracalne. Mówiąc bardziej ogólnie, kołczany mogą być używane do opisywania perwersyjnych snopów.

Nieruchomości

Kategoria przewrotnych snopów jest abelową podkategorią (nieabelowej) pochodnej kategorii snopów, równą rdzeniowi odpowiedniej struktury t i jest zachowana przez dualność Verdiera .

Ograniczona kategoria pochodna snopów przewrotnych l-adycznych na schemacie X jest równoważna kategorii pochodnej konstruowalnych snopów i podobnie dla snopów na zespolonej przestrzeni analitycznej związanej ze schematem X / C .

Aplikacje

Krążki przewrotne są podstawowym narzędziem geometrii przestrzeni osobliwych. Dlatego są one stosowane w różnych dziedzinach matematyki. W - Hilberta przewrotne snopy odpowiadają regularnym holonomicznym modułom D. Ta aplikacja ustanawia pojęcie przewrotnego snopka jako występującego „w naturze”. Twierdzenie o dekompozycji , daleko idące rozszerzenie twardego rozkładu twierdzenia Lefschetza , wymaga użycia przewrotnych krążków. Moduły Hodge'a są, z grubsza mówiąc, teorią Hodge'a udoskonalenie przewrotnych snopów. Geometryczna równoważność Satake $identyfikuje$ przewrotne snopy na afinicznym Grassmannie reprezentacjami podwójnej grupy Langlandsa redukcyjnej G - patrz Mirković i Vilonen (2007) . Dowód hipotez Weila przy użyciu przewrotnych snopów podano w Kiehl & Weissauer (2001) .

Teoria strun

Bezmasowe pola w zagęszczeniach superstrun zostały zidentyfikowane za pomocą klas kohomologii w przestrzeni docelowej (tj. czterowymiarowej przestrzeni Minkowskiego z sześciowymiarową rozmaitością Calabiego-Yau (CY) ). Określenie zawartości materii i interakcji wymaga szczegółowej analizy (ko)homologii tych przestrzeni: prawie wszystkie pola bezmasowe w modelu fizyki efektywnej są reprezentowane przez pewne elementy (ko)homologii. Jednak niepokojąca konsekwencja pojawia się, gdy przestrzeń docelowa jest pojedyncza . Pojedyncza przestrzeń docelowa oznacza, że ​​tylko rozmaitość CY jest osobliwa, ponieważ przestrzeń Minkowskiego jest gładka. Taka osobliwa rozmaitość CY nazywana jest konifoldem, ponieważ jest to rozmaitość CY dopuszczająca osobliwości stożkowe . Andrew Strominger zauważył (A. Strominger, 1995), że konifoldy odpowiadają bezmasowym czarnym dziurom . Konifoldy są ważnymi obiektami w teorii strun: Brian Greene wyjaśnia fizykę konifoldów w rozdziale 13 swojej książki The Elegant Universe — w tym fakt, że przestrzeń może rozerwać się w pobliżu stożka, a jego topologia może się zmieniać. Te osobliwe przestrzenie docelowe, czyli konifoldy, odpowiadają pewnym łagodnym degeneracjom rozmaitości algebraicznych , które pojawiają się w dużej klasie teorii supersymetrycznych , w tym w teorii superstrun (E. Witten, 1982). Zasadniczo różne teorie kohomologii dotyczące pojedynczych przestrzeni docelowych dają różne wyniki, co utrudnia określenie, która teoria może być faworyzowana przez fizykę. Kilka ważnych cech kohomologii, które odpowiadają bezmasowym polom, opiera się na ogólnych właściwościach teorii pola, w szczególności na (2,2)-supersymetrycznej dwuwymiarowej karcie świata teorie pola . Własności te, znane jako Kählera (T. Hubsch, 1992), powinny być spełnione dla pojedynczych i gładkich przestrzeni docelowych. Paul Green i Tristan Hubsch (P. Green & T. Hubsch, 1988) ustalili, że sposób poruszania się pomiędzy osobliwymi docelowymi przestrzeniami CY wymaga poruszania się albo przez małą rozdzielczość, albo przez deformację osobliwości ( T. Hubsch, 1992) i nazwali to „konifoldowe przejście”.

Tristan Hubsch (T. Hubsch, 1997) przypuszczał, jaka powinna być ta teoria kohomologii dla osobliwych przestrzeni docelowych. Tristan Hubsch i Abdul Rahman (T. Hubsch i A. Rahman, 2005) pracowali nad rozwiązaniem hipotezy Hubscha, analizując nietranswersalny przypadek liniowego sigma modelu Wittena (E. Witten, 1993), który indukuje rozwarstwienie tych rozmaitości algebraicznych (nazywana odmianą stanu podstawowego) w przypadku izolowanych osobliwości stożkowych . W pewnych warunkach ustalono, że ta odmiana stanu podstawowego była konifoldem (P. Green i T. Hubsch, 1988; T. Hubsch, 1992) z izolowanymi stożkowymi osobliwościami nad pewną podstawą z jednowymiarową egzokrzywą (nazywaną egzo-warstwami) przyczepioną do każdego punktu osobliwego . T. Hubsch i A. Rahman ustalili (ko)-homologię tej odmiany stanu podstawowego we wszystkich wymiarach, stwierdzili, że jest ona zgodna z symetrią lustrzaną i teorią strun , ale znaleźli przeszkodę w wymiarze środkowym (T. Hubsch i A. Rahman, 2005 ). Ta przeszkoda wymagało ponownego przyjrzenia się hipotezie Hubscha o Stringy Singular Cohomology (T. Hubsch, 1997). Zimą 2002 roku T. Hubsch i A. Rahman spotkali się z RM Goreskym w celu przedyskutowania tej przeszkody , a podczas dyskusji pomiędzy RM Goresky i R. MacPhersonem R. MacPherson zauważył, że istnieje taki przewrotny snop, który może mieć kohomologię to spełniło hipotezę Hubscha i rozwiązało przeszkodę . RM Górski a T. Hubsch doradzał w rozprawie doktorskiej A. Rahmana. rozprawa doktorska na temat konstrukcji samodualnego snopka przewrotnego (A. Rahman, 2009) z wykorzystaniem konstrukcji zygzakowatej MacPhersona - Vilonena (R. MacPherson & K. Vilonen, 1986). Ten przewrotny snop potwierdził hipotezę Hübscha dotyczącą izolowanych osobliwości stożkowych , spełnił dualność Poincarègo i był zgodny z niektórymi właściwościami pakietu Kählera. Zadowolenie całego pakietu Kähler przez ten perwersyjny snop dla wyższych warstw kowymiarowych jest nadal problemem otwartym. Markus Banagl (M. Banagl, 2010; M. Banagl, et al., 2014) odniósł się do hipotezy Hubscha poprzez przestrzenie przecięcia warstw wyższych kodów inspirowanych pracami Hubscha (T. Hubsch, 1992, 1997; P. Green i T. Hubsch , 1988) oraz oryginalny ansatz A. Rahmana (A. Rahman, 2009) dla pojedynczych osobliwości .

Zobacz też

• Mieszany moduł Hodge'a
• Mieszany przewrotny snop
• Homologia przecięcia
• Kohomologia L²
• Konifold
• Teoria strun
• Supersymetria

Notatki

•   de Cataldo, Mark Andrea ; Migliorini, Luca (2010). „Co to jest przewrotny snop?” (PDF) . Zawiadomienia Amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego . 57 (5): 632–634. MR 2664042 .

•    Arinkin, Dmitrij; Bezrukawnikow, Roman (2010). „Perwersyjne spójne snopy”. Moskiewski Dziennik Matematyczny . 10 (1): 3–29. ar Xiv : 0902.0349 . Bibcode : 2009arXiv0902.0349A . doi : 10.17323/1609-4514-2010-10-1-3-29 . MR 2668828 . S2CID 14409918 .
•    Beilinson, Alexander A. (1987), „O pochodnej kategorii przewrotnych snopów”, K-teoria, arytmetyka i geometria (Moskwa, 1984–1986) , Lecture Notes in Mathematics, tom. 1289, Berlin: Springer, s. 27–41, doi : 10.1007/BFb0078365 , ISBN 978-3-540-18571-0 , MR 0923133

•   Beilinson, Aleksander A .; Bernstein Józef ; Deligne, Pierre (1982). „Zboczeńcy Faisceaux”. Astérisque (po francusku). Paryż: Société Mathématique de France . 100 . MR 0751966 .

•   Brasselet, Jean-Paul (2009), Wprowadzenie do homologii przecięć i przewrotnych krążków , Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada (IMPA), MR 2533465

•    Bremer, Christopher L.; Sage, Daniel S. (2013), „Uogólnione warunki Serre'a i przewrotne spójne snopy”, Journal of Algebra , 392 : 85–96, arXiv : 1106,2616 , doi : 10,1016/j.jalgebra.2013.06.018 , MR 3085024 , S2CID 14754630

• Goresky, Mark (2010). „Jaka jest etymologia terminu „przewrotny snop”? .
•    Iluzja, Luc (2003). „Perversité et variation”. Manuscripta Mathematica . 112 (3): 271–295. doi : 10.1007/s00229-003-0407-z . MR 2067039 . S2CID 122652995 .
•    Kiehl, Reinhardt ; Weissauer, Rainer (2001), Weil conjectures, perverse snops and l'adic Fourier transform , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. Seria nowoczesnych ankiet z matematyki [Wyniki z matematyki i dziedzin pokrewnych. 3. seria. Seria współczesnych badań matematycznych, tom. 42, Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-41457-5 , MR 1855066
• MacPherson, Robert (15 grudnia 1990). „Homologia przecięcia i przewrotne snopy” (PDF) (rękopis niepublikowany). {{ cite journal }} : Cite journal wymaga |journal= ( pomoc )
•     Mirković, Ivan; Vilonen, Kari (2007), „Dwoistość geometryczna Langlandsa i reprezentacje grup algebraicznych nad pierścieniami przemiennymi”, Annals of Mathematics , Second Series, 166 (1): 95–143, arXiv : math / 0401222 , doi : 10.4007 / annals.2007.166 .95 , ISSN 0003-486X , MR 2342692 , S2CID 14127684
• Rietsch, Konstancja (2003). „Wprowadzenie do przewrotnych snopów”. arXiv : math.RT/0307349 .
•   Beilinson, Aleksander; Bernstein, Józef; Deligne, Pierre; Gabber, Ofer (2018). Faisceaux Pervers . Asterisque. Tom. 100 (wyd. 2). ISBN 978-2-85629-878-7 .
•   Strominger, Andrew (1995). „Bezmasowe czarne dziury i konifoldy w teorii strun”. Fizyka Jądrowa B. 451 (1–2): 96–108. arXiv : hep-th/9504090 . Bibcode : 1995NuPhB.451...96S . doi : 10.1016/0550-3213(95)00287-3 . S2CID 6035714 .
• Witten, Edward (1982). „Supersymetria i teoria Morse'a” . Dziennik geometrii różniczkowej . 17 (4): 661–692. doi : 10.4310/jdg/1214437492 .
•   Witten, Edward (1993). „Fazy n = 2 teorie w dwóch wymiarach”. Fizyka Jądrowa B. 403 (1–2): 159–222. arXiv : hep-th/9301042 . Bibcode : 1993NuPhB.403..159W . doi : 10.1016/0550-3213(93)90033-L . S2CID 16122549 .
•   Zielony, Paweł S.; Hübsch, Tristan (1988). „Łączenie przestrzeni modułowych trójek Calabiego-Yau” . Komunikacja w fizyce matematycznej . 119 (3): 431–441. Bibcode : 1988CMaPh.119..431G . doi : 10.1007/BF01218081 . S2CID 119452483 .
•   Hübsch, Tristan (1997). „O żylastej pojedynczej kohomologii”. Współczesne litery fizyki A. A12 (8): 521–533. arXiv : hep-th/9612075 . Bibcode : 1997MPLA...12..521H . doi : 10.1142/S0217732397000546 . S2CID 11779832 .
•   Hübsch, Tristan (1994). Rozmaitości Calabiego-Yau: bestiariusz dla fizyków . Świat naukowy. ISBN 978-981-02-1927-7 .
•     Hübsch, Tristan; Rahman, Abdul (2005). „O geometrii i homologii niektórych prostych odmian warstwowych”. Journal of Geometry and Physics . 53 (1): 31–48. arXiv : math.AG/0210394 . Bibcode : 2005JGP....53...31H . doi : 10.1016/j.geomphys.2004.04.010 . ISSN 0393-0440 . MR 2102048 . S2CID 119584805 .
•   MacPherson, Robert; Vilonen, Kari (1986). „Elementarne konstrukcje krążków przewrotnych”. Inventiones Mathematicae . 84 (2): 403–435. Bibcode : 1986InMat..84..403M . doi : 10.1007/BF01388812 . S2CID 120183452 .
•   Greene, Brian (2003). Elegancki Wszechświat . Norton. ISBN 0-393-05858-1 .
•   Rahman, Abdul (2009). „Przewrotne podejście snopka w kierunku teorii kohomologii dla teorii strun”. Postępy w fizyce teoretycznej i matematycznej . 13 (3): 667–693. ar Xiv : 0704.3298 . doi : 10.4310/ATMP.2009.v13.n3.a3 . S2CID 14787272 .
•   Banagl, Markus (2010). Przestrzenie przecięć, obcinanie homologii przestrzennej i teoria strun . Notatki z wykładów z matematyki. Tom. 1997. Springera. ISBN 978-3-642-12588-1 .
•    Banagl, Markus; Budur, Nero; Maxim, Laurenţiu (2014). „Przestrzenie przecięcia, snopy przewrotne i teoria strun typu IIB” . Postępy w fizyce teoretycznej i matematycznej . 18 (2): 363–399. arXiv : 1212.2196 . doi : 10.4310/ATMP.2014.v18.n2.a3 . MR 3273317 . S2CID 62773026 .

Dalsza lektura

• Homologia przecięć i snopy perwersyjne , notatki Bruno Klinglera.