struktura t

t W gałęzi matematyki zwanej algebrą homologiczną struktura jest sposobem aksjomatyzacji właściwości podkategorii abelowej kategorii pochodnej . T -struktura na ${\ Displaystyle ({\ mathcal {D}} ^ {\ równoważnik 0}, {\$ się z dwóch podkategorii ${$ ≥ kategorii triangulowanej lub stabilnej kategoria nieskończoności , która abstrahuje ideę kompleksów, których kohomologia zanika w dodatnich lub odpowiednio ujemnych stopniach. W tej samej kategorii może istnieć wiele różnych t , a wzajemne oddziaływanie między tymi strukturami ma implikacje dla algebry i geometrii. Pojęcie struktury t pojawiło się w pracy Beilinsona, Bernsteina, Deligne'a i Gabbera na temat przewrotnych snopów .

Definicja

$}$ kategorię za pomocą funktora translacji ${\ displaystyle [1]$ . T { -struktura na to $re$ ( $\ mathcal {D}} ^ {\ równoważnik 0}, {\ mathcal {D} }}^{\geq 0})}$ pełnych podkategorii, z których każda jest stabilna w warunkach izomorfizmu, które spełniają następujące trzy aksjomaty.

1. Jeśli X jest obiektem ${\ Displaystyle {\ mathcal {D}} ^ {\ równoważnik 0}},$ a Y jest obiektem ${\ Displaystyle {\ mathcal {D}} ^ {\ geq 0}}$ , to ${\ Displaystyle \ operatorname {Hom} _ {\ mathcal {D}} (X, Y [-1]) = 0.}$
2. Jeśli X jest obiektem ${\ displaystyle {\ mathcal {D}} ^ {\ równoważnik 0}}$ , to X [1] jest również obiektem ${\ displaystyle {\ mathcal {D}} ^ { \równik 0}}$ . Podobnie, jeśli Y jest obiektem , to Y [-1] jest również obiektem $}^{\geq 0}}$${\ displaystyle {\ mathcal {D }} ^ {$$geq 0}$ .
3. Jeśli A jest obiektem , to istnieje wyróżniony trójkąt $\ Displaystyle X \ do A \ do Y$${$ tak, że X jest obiektem z ${\ displaystyle {\ mathcal {D}} ^ {\ równoważnik 0}},$ a Y jest obiektem z ${\ displaystyle {\ mathcal {D}}^{\geq 0}}$ .

Można wykazać, że podkategorie są zamknięte pod rozszerzeniami ${\ displaystyle {\ mathcal$$D}} ^ {\ równoważnik 0}$ w ${\ displaystyle {\ mathcal {D}}}$ . W szczególności są stabilne przy skończonych sumach bezpośrednich.

Załóżmy, że ${\ Displaystyle ({\ mathcal {D}} ^ {\ równoważnik 0}, {\ mathcal {D}} ^ {\ geq 0})} jest$ strukturą t na ${ \ displaystyle {\ mathcal {D}}}$ . W tym przypadku dla dowolnej liczby całkowitej n definiujemy pełną podkategorię ${\ Displaystyle {\ mathcal {D}} ^ {\ równoważnik n}}$ której re ≤ ${\ displaystyle {\ mathcal {D}}}$ obiekty mają postać ${\ Displaystyle X [-n]}$${\ Displaystyle {\ mathcal {D}} ^ {\ równoważnik 0}$ gdzie jest obiektem $}$ . Podobnie, jest pełną podkategorią obiektów $Displaystyle Y [-n]}$$,$ gdzie $Y}$ jest obiektem ${\ displaystyle {\ mathcal {D}} ^ {\ geq 0}}$ . Krótko mówiąc, definiujemy

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} {\ mathcal {D}} ^ {\ równoważnik n} & = {\ mathcal {D}} ^ {\ równoważnik 0} [-n], \\ {\ mathcal {D} }^{\geq n}&={\mathcal {D}}^{\geq 0}[-n].\end{wyrównane}}}$

Za pomocą tego zapisu powyższe aksjomaty można przepisać jako:

1. Jeśli X jest przedmiotem ${\ Displaystyle {\ mathcal {D}} ^ {\ równoważnik 0}},$ a Y jest obiektem ${\ Displaystyle {\ mathcal {D}} ^ {\ geq 1} }$ , a następnie ${\ Displaystyle \ operatorname {Hom} _ {\ mathcal {D}} (X, Y) = 0.}$
2. ${\ Displaystyle {\ mathcal {D}} ^ {\ równoważnik 0} \ subseteq {\ mathcal {D}} ^ {\ równoważnik 1}} i re ≥ ⊇$ re $\ mathcal {D}} ^ {\ geq 0} \ supseteq {\ mathcal {D}} ^ {\ geq 1}}$ .
3. Jeśli A jest obiektem , to istnieje wyróżniony trójkąt $]}$$1$$\ Displaystyle X \ do A \ do Y \ do X [$ tak, że X jest przedmiotem ${\ Displaystyle {\ mathcal {D}} ^ {\ równoważnik 0}},$ a Y jest obiektem ${\ Displaystyle {\ mathcal {D}} ^ {\ geq 1}}$ .

Sercem lub rdzeniem struktury t $jest$ pełna podkategoria składająca się z obiektów zawartych zarówno w ${\ mathcal {D}} ^ {\ równoważnik 0}}$ i , czyli ${\ Displaystyle {\ mathcal {D}} ^ {\ geq 0}$ }

${\ Displaystyle {\ mathcal {D}} ^ {\ heartsuit} = {\ mathcal {D}} ^ {\ równoważnik 0} \ cap {\ mathcal {D}} ^ {\ geq 0}.}$

Sercem struktury t jest kategoria abelowa (podczas gdy kategoria triangulowana jest addytywna, ale prawie nigdy abelowa) i jest stabilna w przypadku rozszerzeń.

Kategoria triangulowana z możliwością wyboru struktury t jest czasami nazywana kategorią t .

Wariacje

Oczywiste jest, że aby zdefiniować strukturę t , wystarczy ustalić liczby całkowite m i n i określić ${\ Displaystyle {\ mathcal {D}} ^ {\ równoważnik m}}$ i ${\ displaystyle { \mathcal {D}}^{\geq n}}$ . Niektórzy autorzy definiują t jako parę ${\ Displaystyle ({\ mathcal {D}} ^ {\ równoważnik 0}, {\ mathcal {D}} ^ {\ geq 1} )}$ .

Te $podkategorie$ i $_$ _ Obiekt X jest w ${\ Displaystyle {\ mathcal {D}} ^ {\ równoważnik 0}}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\ Displaystyle \ operatorname {Hom} (X, Y) = 0}$ dla wszystkich obiektów Y w ${\ Displaystyle {\ mathcal {D}} ^ {\ geq 1}}$ i odwrotnie. Oznacza to, że ${\ Displaystyle ({\ mathcal {D}} ^ {\ równoważnik 0}, {\ mathcal {D}} ^ {\ geq 1})} są lewymi i prawymi dopełnieniami$ ortogonalnymi od siebie. $geq 1}}$ związku z tym wystarczy określić tylko jeden z ${\ Displaystyle {\ mathcal {D}} ^$ { . Ponadto, ponieważ podkategorie te są z definicji pełne, wystarczy określić ich obiekty.

Powyższy zapis jest przystosowany do badania kohomologii. Kiedy celem jest badanie homologii, stosuje się nieco inną notację. Homologiczna ( {\ mathcal { struktura t na to para $($$}} _ {\ geq 0}, {\ mathcal$ takie, że jeśli zdefiniujemy

${\ Displaystyle ({\ mathcal {D}} ^ {\ równoważnik 0}, {\ mathcal {D}} ^ {\ geq 0}) = ( {\mathcal {D}}_{\geq 0},{\mathcal {D}}_{\leq 0}),}$

wtedy ${\ Displaystyle ({\ mathcal {D}} ^ {\ równoważnik 0}, {\ mathcal {D}} ^ {\ geq 0})} jest (kohomologiczną)$ strukturą t na ${\ Displaystyle {\ mathcal {D}}}$ . Oznacza to, że definicja jest taka sama $zamieniane$ z wyjątkiem tego, że górne indeksy są konwertowane na dolne indeksy, a $i$ są . Jeśli zdefiniujemy

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} {\ mathcal {D}} _ {\ geq n} i = {\ mathcal {D} }_{\geq 0}[n],\\{\mathcal {D}}_{\równoważnik n}&={\mathcal {D}}_{\równoważnik 0}[n],\end{wyrównane} }}$

wówczas aksjomaty homologicznej struktury t można zapisać wprost jako

1. Jeśli X jest przedmiotem ${\ Displaystyle {\ mathcal {D}} _ {\ geq 0}},$ a Y jest obiektem ${\ Displaystyle {\ mathcal {D}} _ {\ równoważnik - 1}}$ , a następnie ${\ Displaystyle \ operatorname {Hom} _ {\ mathcal {D}} (X, Y) = 0.}$
2. ${\ Displaystyle {\ mathcal {D}} _ {\ geq 1} \ subseteq {\ mathcal {D}} _ {\ geq 0}} i re ≤ 1$ ⊇ $\ mathcal {D}}_ {\ równoważnik 1} \ supseteq {\ mathcal {D}} _ {\ równoważnik 0}}$ .
3. Jeśli A jest obiektem , to istnieje wyróżniony trójkąt $]}$$1$$\ Displaystyle X \ do A \ do Y \ do X [$ tak, że X jest obiektem z ${\ displaystyle {\ mathcal {D}} _ {\ geq 0}},$ a Y jest obiektem z ${\ displaystyle {\ mathcal {D}} _ { \leq -1}}$ .

Przykłady

Naturalna struktura t

Najbardziej podstawowym przykładem struktury t jest naturalna struktura t na kategorii pochodnej. Niech $będzie$$jej$ i niech pochodną Wtedy naturalna struktura t jest definiowana przez parę podkategorii

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} D ({\ mathcal {A}}) ^ {\ równoważnik 0} & = \ {X \ dwukropek \ forall i> 0, \ H ^ {i} (X) = 0 \ },\\D({\mathcal {A}})^{\geq 0}&=\{X\colon \forall i<0,\ H^{i}(X)=0\}.\end{ wyrównany}}}$

Od razu wynika, że

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} D ({\ mathcal {A}}) ^ {\ równoważnik n} & = \ {X \ dwukropek \ forall i> n, \ H ^ {i} (X) = 0 \ },\\D({\mathcal {A}})^{\geq n}&=\{X\colon \forall i<n,\ H^{i}(X)=0\},\\D ({\mathcal {A}})^{\heartsuit}&=\{X\colon \forall i\neq 0,\ H^{i}(X)=0\}\cong {\mathcal {A}} .\end{wyrównane}}}$

W tym przypadku trzeci aksjomat dla struktury t , istnienie pewnego wyróżnionego trójkąta, można wyjaśnić w następujący sposób. Załóżmy, że $A ^ {$ kołańcuchowym z wartościami w $\ punktor}}$ . Definiować

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ tau ^ {\ równoważnik 0} A ^ {\ punktor} & = (\ cdots \ do A ^ {-2} \ do A ^ {-1} \ do \ ker d ^ {0}\do 0\do 0\do \cdots ),\\\tau ^{\geq 1}A^{\bullet }&=(\cdots \do 0\do 0\do A^{0}/ \ker d^{0}\do A^{1}\do A^{2}\do \cdots ).\end{wyrównane}}}$

Jest oczywiste, że ${\ Displaystyle \ tau ^ {\ geq 1} A ^ {\ punktor} = A ^ {\ punktor} / \ tau ^ {\ równoważnik 0} A^{\bullet }}$ i że istnieje krótki dokładny ciąg zespołów

${\ Displaystyle 0 \ do \ tau ^ {\ równoważnik 0} A ^ {\ punktor} \ do A ^ {\ punktor} \ do \ tau ^ {\geq 1}A^{\punktor}\do 0.}$

Ta dokładna sekwencja zapewnia wymagany wyróżniony trójkąt.

Ten przykład można uogólnić na dokładne kategorie (w sensie Quillena). Istnieją również podobne t dla ograniczonych, ograniczonych powyżej i ograniczonych poniżej kategorii pochodnych. Jeśli $\ mathcal {C} } ({\ mathcal {A}})}$ abelową podkategorią $,$${\ Displaystyle {\ mathcal {A}}}$ to pełna podkategoria re $({\ mathcal {A}})}$${C}}}$ , których kohomologia jest w ma podobną strukturę t , której sercem jest do $mathcal$ .

Przewrotne snopy

Kategoria krążków przewrotnych jest z definicji rdzeniem tzw. przewrotnej struktury t na kategorii pochodnej kategorii krążków na zespolonej przestrzeni analitycznej X lub (pracując z krążkami l-adycznymi) rozmaitości algebraicznej nad a skończone pole. Jak wyjaśniono powyżej, serce standardowej struktury t zawiera po prostu zwykłe snopy, traktowane jako kompleksy skoncentrowane w stopniu 0. Na przykład kategoria przewrotnych snopów na (prawdopodobnie pojedynczej) krzywej algebraicznej X (lub analogicznie ewentualnie pojedyncza powierzchnia) jest zaprojektowana tak, aby zawierała w szczególności przedmioty o określonej formie

${\ Displaystyle i_ {*} F_ {Z}, j_ {*} F_ {U} [1]}$

gdzie $\ do X}$$F_ {Z}}$ jest włączeniem punktu, jest zwykłym snopkiem, jest gładko otwartym podschematem i $\ displaystyle$${\ displaystyle F_ {U}}$ jest lokalnie stałym snopkiem na U . Zwróć uwagę na obecność przesunięcia zgodnie z wymiarem odpowiednio Z i U. Ta zmiana powoduje, że kategoria perwersyjnych snopów jest dobrze wychowana na przestrzeniach osobliwych. Obiekty proste w tej kategorii to kohomologii przecięcia podrozmaitości ze współczynnikami w nieredukowalnym układzie lokalnym. Ta struktura t została wprowadzona przez Beilinsona, Bernsteina i Deligne'a. Beilinson wykazał, że pochodna kategoria serca ${\ Displaystyle D ^ {b} (Perv (X))}$ jest w rzeczywistości równoważna z pierwotną pochodną kategorią snopów. Jest to przykład ogólnego faktu, że triangulowana kategoria może być wyposażona w kilka różnych t-struktur.

Stopniowane moduły

Niestandardowy przykład struktury t na pochodnej kategorii (stopniowanych) modułów na stopniowanym pierścieniu ma tę właściwość, że jego serce składa się z kompleksów

${\ Displaystyle \ kropki \ do P ^ {n} \ do P ^ {n + 1} \ do \ kropki}$

gdzie jest modułem generowanym przez jego ( $)$ n . Ta t-struktura zwana t-strukturą geometryczną odgrywa znaczącą rolę w dualności Koszula .

Widma

Kategoria widm jest obdarzona strukturą t generowaną w powyższym znaczeniu przez pojedynczy obiekt, a mianowicie widmo sferyczne . Kategoria jest kategorią spójnych widm, tj. tych, $ujemne$ homotopii . (W obszarach związanych z teorią homotopii często stosuje się konwencje homologiczne, $indeks górny$ przeciwieństwie do kohomologicznych, więc w tym przypadku często zastępuje się " ( ) przez " ${\ displaystyle \ geq}$ " (indeks dolny). Używając tej konwencji, kategoria spójnych widm oznaczona jest notacją ${\ displaystyle Sp _ {\ geq 0}}$ .)

Motywy

Przypuszczalnym przykładem w teorii motywów jest tak zwana t-struktura motywiczna . Jego (domniemane) istnienie jest ściśle związane z pewnymi standardowymi przypuszczeniami dotyczącymi cykli algebraicznych i przypuszczeniami znikającymi, takimi jak hipoteza Beilinsona-Soulé.

Funktory obcinające

W powyższym przykładzie naturalnej struktury t na pochodnej kategorii kategorii abelowej wyróżniony trójkąt gwarantowany przez trzeci aksjomat został skonstruowany przez obcięcie. Jako operacje na kategorii kompleksów, obcięcia i ${\ Displaystyle \ tau$$A ^ {\ punktor}}$ są funkcjonalne, a wynikająca z tego krótka dokładna sekwencja kompleksów jest naturalna w ${\ Displaystyle A ^ {\ punktor}}$ . Korzystając z tego, można wykazać, że w kategorii pochodnej istnieją funktory obcinające i że indukują one naturalny wyróżniony trójkąt.

W rzeczywistości jest to przykład ogólnego zjawiska. Podczas gdy aksjomaty dla t nie zakładają istnienia funktorów obcinających, funktory takie zawsze można skonstruować i są zasadniczo unikalne. Załóżmy, że $D$ kategorią triangulowaną i że $}}^{\geq 0})}$${\ Displaystyle ({\ mathcal {D}} ^ {\ równoważnik 0}, {\ mathcal {$ jest strukturą t . Dokładne stwierdzenie jest takie, że funktory inkluzji

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ jota ^ {\ równoważnik n} \ dwukropek & {\ mathcal {D}} ^ {\ równoważnik n}\to {\mathcal {D}},\\\iota ^{\geq n}\dwukropek &{\mathcal {D}}^{\geq n}\to {\mathcal {D}}\end{ wyrównany}}}$

przyznać łącznika . To są funktory

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ tau ^ {\ równoważnik n} \ dwukropek & {\ mathcal {D}} \ do {\ mathcal {D}}^{\leq n},\\\tau ^{\geq n}\dwukropek &{\mathcal {D}}\to {\mathcal {D}}^{\geq n}\end{ wyrównany}}}$

takie że

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ jota ^ {\ równoważnik n} \ myślnik \ tau ^ {\ równoważnik n}, \\\ tau ^ {\ geq n} \ myślnik \ jota ^ {\ geq n}. \ koniec {wyrównany}}}$

Co więcej, dla każdego obiektu istnieje unikalny obiekt ZA $\ displaystyle {\ mathcal {$$}}}$

${\ Displaystyle d \ w \ operatorname {Hom} ^ {1} (\ tau ^ {\ geq 1} A, \ tau ^ {\ równoważnik 0} ZA )}$

tak, że d oraz jednostka i jednostka dodatków razem definiują wyróżniony trójkąt

${\ Displaystyle \ tau ^ {\ równoważnik 0} A \ do A \ do \ tau ^ {\ geq 1} A \ {\ stackrel {d} {\ do}} \ \ tau ^ {\ równoważnik 0} A [1 ].}$

Aż do unikalnego izomorfizmu jest to unikalny wyróżniony trójkąt w postaci ${\ Displaystyle X \ do A \ do Y \ do X [1]}$ z ${\ Displaystyle X}$ i ${\ Displaystyle Y}$ obiekty odpowiednio ${\ Displaystyle {\ mathcal {D}} ^ {\ równoważnik 0}}$ i ${\ Displaystyle {\ mathcal {D}} ^ {\ geq 1}$ } Z istnienia tego trójkąta wynika, że ​​obiekt ${\ Displaystyle A}$ leży w ${\ Displaystyle {\ mathcal {D}} ^ {\ równoważnik n}}$ (odp. ${\ Displaystyle {\ mathcal {D}} ^ {\ geq n}}$ ) wtedy i tylko wtedy, gdy ${\ Displaystyle \ tau ^ {\ geq n + 1} (A) = 0}$ (odp. ${\ Displaystyle \ tau ^{\równik n-1}(A)=0}$ ).

Istnienie implikuje istnienie innych funktorów obcinania poprzez przesuwanie i przyjmowanie $przeciwnych$ Jeśli jest obiektem ${$ trzeci aksjomat struktury $\ mathcal {D}} ^ {\ równoważnik 0}}$$potwierdza$ istnienie w re $}$$displaystyle$ i morfizm ${\ Displaystyle X \ do A}$ mieszczących się w pewnym wyróżnionym trójkącie. Dla każdego $ZA$ jeden taki trójkąt i zdefiniuj ${\ Displaystyle \ tau ^ {\ równoważnik 0} (A) = X$ . Aksjomaty struktury t sugerują, że dla dowolnego obiektu z ${\$$Displaystyle {\ mathcal {D}} ^ {\ równoważnik 0$ }

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {Hom} (T, X) \ cong \ nazwa operatora {Hom} (T, A)}$

przy czym izomorfizm jest indukowany przez morfizm ${\ Displaystyle X \ do A}$ . To pokazuje $rozwiązanie$ pewnego uniwersalnego problemu z mapowaniem $,$ że jest unikalny izomorfizmu i że istnieje unikalny sposób definiowania morfizmów, który $.$ go właściwym przylegający Dowodzi to istnienia ${\ Displaystyle \ tau ^ {\ równoważnik 0}}$ stąd istnienie wszystkich funktorów obcinania.

Powtarzane obcinanie dla struktury t zachowuje się podobnie do powtarzanego obcinania dla kompleksów. Jeśli ${\ Displaystyle n \ równoważnik m}$ , to są naturalne przekształcenia

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ tau ^ {\ równoważnik n} i \ do \ tau ^ {\ równoważnik m}, \\\ tau ^ {\geq n}&\do \tau ^{\geq m},\end{wyrównane}}}$

które dają naturalne równoważności

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ tau ^ {\ równoważnik n} \ & {\ stackrel {\ sim} {\ do}} \ \ tau ^ {\ równoważnik n} \ circ \ tau ^ {\ równoważnik m} ,\\\tau ^{\geq m}\ &{\stackrel {\sim }{\to }}\ \tau ^{\geq m}\circ \tau ^{\geq n},\\\tau ^ {\geq n}\circ \tau ^{\leq m}\ &{\stackrel {\sim }{\to}}\ \tau ^{\leq m}\circ \tau ^{\geq n}.\ koniec {wyrównany}}}$

Funktory kohomologiczne

N - ty funktor kohomologii jest zdefiniowany jako ${\ displaystyle H ^ {n}}$

${\ Displaystyle H ^ {n} = \ tau ^ {\ równoważnik 0} \ circ \ tau ^ {\ geq 0} \ circ [n].}$

Jak sama nazwa wskazuje, jest to funktor kohomologiczny w zwykłym znaczeniu dla kategorii triangulowanej. Oznacza to, że dla dowolnego wyróżnionego trójkąta otrzymujemy długą dokładną sekwencję ${\ Displaystyle X \ do Y \ do Z \ do X [1]}$

${\ Displaystyle \ cdots \ do H ^ {i} (X) \ do H ^ {i} (Y) \ do H ^ {i} (Z) \ do H ^ {i + 1} (X) \ do \ kropki .}$

$}$ algebraicznej funktory kohomologii można oznaczać zamiast ${\ displaystyle \ pi _ {n}$ . Funktory kohomologii przyjmują wartości w sercu ${\ Displaystyle {\ mathcal {D}} ^ {\ heartsuit}}$ . Przez jedną z powtarzających się tożsamości obciętych powyżej, aż do naturalnej równoważności jest to równoważne zdefiniowanie

${\ Displaystyle H ^ {n} = \ tau ^ {\ geq 0} \ circ \ tau ^ {\ równoważnik 0} \ circ [n].}$

Dla naturalnej struktury t na kategorii pochodnej funktor kohomologii jest, aż do quasi-izomorfizmu, $\$$Displaystyle D ({\ mathcal {A}})$ , zwykła n- ta grupa kohomologiczna kompleksu. Jednak rozpatrywane jako funktory na kompleksach nie jest to prawdą. Rozważmy na przykład, jak zdefiniowano w kategoriach naturalnej struktury t . ${\ displaystyle H ^ {0}}$ Z definicji tak jest

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} H ^ {0} (A ^ {\ punktor}) & = \ tau ^ {\ równoważnik 0} (\ tau ^ {\ geq 0} (A ^ {\ punktor}}) \\&=\tau ^{\leq 0}(\cdots \do 0\do A^{-1}/\ker d^{-1}\do A^{0}\do A^{1}\ do \cdots )\\&=(\cdots \do 0\do A^{-1}/\ker d^{-1}\do \ker d^{0}\do 0\do \cdots ).\ koniec {wyrównany}}}$

Ten kompleks jest niezerowy w stopniach $\$$,$ co zerowa grupa kohomologii kompleksu $punktor}}$ { . Jednak nietrywialna różnica jest iniekcją, więc jedyna nietrywialna kohomologia jest w stopniu ${\ Displaystyle \ ker d ^ {0} / \operatorname {im} d^{-1}}$ gdzie jest $1$ , zerowa grupa kohomologii kompleksu ${\ Displaystyle A ^ {\ punktor}}$ . Wynika z tego, że dwie $możliwe$ .

Struktura t nie jest zdegenerowana, jeśli przecięcie wszystkich $re$ a także przecięcie wszystkich , ${D}}^{\geq n}}$$Displaystyle {\ mathcal {$ , składa się tylko z zerowych obiektów. $_$ niezdegenerowanej t zbiór _ Ponadto w niniejszej sprawie ${\ Displaystyle {\ mathcal {D}} ^ {\ równoważnik n}}$ (odp. ${\ Displaystyle {\ mathcal {D}} ^ {\ geq n}}$ ) można zidentyfikować z pełną podkategorią z tych obiektów dla których $ZA$${\ Displaystyle H ^ {i} (A) = 0}$${\ styl wyświetlania i<n}$ > $Displaystyle i> n}$ (odp. ).

Dokładne funktory

Dla $1,2}$$Displaystyle i$ = , niech będzie kategorią triangulowaną ${\ Displaystyle ({\ mathcal {D}} _ {i} ^ {\ równoważnik 0}, {\ mathcal {D}} _ {i} ^ {\ geq 0})}$ stałą strukturą . Załóżmy, że ${\ Displaystyle F \ okrężnica {\ mathcal {D}} _ {1} \ do {\ mathcal {D}} _ {2}}$ jest dokładnym funktorem (w zwykłym znaczeniu dla kategorii triangulowanych, to znaczy aż do naturalnej równoważności dojeżdża z translacją i zachowuje wyróżnione trójkąty). Wtedy jest: ${\ displaystyle F}$

• Lewy t - dokładnie , jeśli ${\ Displaystyle F ({\ mathcal {D}} _ {1} ^ {\ geq 0}) \ subseteq {\ mathcal {D}} _ {2 }^{\geq 0}}$ ,
• Prawo t -dokładnie , jeśli ${\ Displaystyle F ({\ mathcal {D}} _ {1} ^ {\ równoważnik 0}) \ subseteq {\ mathcal {D}} _ {2 }^{\równik 0}}$ , i
• t -dokładnie , jeśli jest zarówno lewe, jak i prawe t -dokładnie.

Jest elementarne, aby zobaczyć, że jeśli jest w pełni wierny i t $displaystyle {\ mathcal {D}} _$ , to obiekt jest $w$${\$ } ${\ Displaystyle {\ mathcal {D}} _ {1} ^ {\ równoważnik 0}}$ (odp. ${\ Displaystyle {\ mathcal {D}} _ {1} ^ {\ geq 0} }$ ) wtedy i tylko wtedy $re$ w ${\ Displaystyle {\ mathcal {D}} _ {2} ^ {\ równoważnik 0}}$ (odp. ${\ displaystyle {\ mathcal {D}} _ {2} ^ {\ geq 0}})$ . Jest również elementarne, $,$ lewa odpowiednio prawy) t -dokładny funktor, to złożony jest również lewy ( $odp$ prawy) t

Motywacją do badania jednostronnych właściwości t -dokładności jest to, że prowadzą one do jednostronnych właściwości dokładności na sercach. Niech ${\ Displaystyle \ jota _ {i} ^ {\ heartsuit} \ okrężnica {\ mathcal {D}} _ {i} ^ {\ heartsuit} \ do {\ mathcal {D }}_{i}}$ będzie inkluzją. Następnie istnieje złożony funktor

${\ Displaystyle {} ^ {p} F = H ^ {0} \ circ F \ circ \ jota _ {1} ^ {\ heartsuit} \ okrężnica {\ mathcal {D}} _ {1} ^ {\ heartsuit} \do {\mathcal {D}}_{2}^{\heartsuit}.}$

Można pokazać, że jeśli jest $odp$ . Prawy) dokładny, to również ${\ Displaystyle {} ^ {p}$ lewy (odp. Prawy) dokładny, a jeśli $} \ Displaystyle G}$ jest również lewy (odpowiednio prawy) dokładny, a następnie ${\ Displaystyle {} ^ {p} (G \ circ F) = ({} ^ {p }G)\cyrk F}$ .

Jeśli ma $t$ (odpowiednio po lewej) -dokładnie , a jeśli jest w ( $}$ ZA $\ Displaystyle A$${\ Displaystyle {\ mathcal {D}} ^ {\ geq 0}} )$ , wtedy istnieje naturalny izomorfizm ${\ Displaystyle {} ^ {p} F (H^{0}A)\ {\stackrel {\sim}}}\ H^{0}F(A)}$ (odp. ${\ Displaystyle H ^ {0} F (A) \ {\ stackrel {\ sim} {\ do}} \ {} ^ {p} F (H ^ { 0}A)}$ ).

Jeśli ${\ Displaystyle (T ^ {*}, T_ {*}) \ dwukropek {\ mathcal {D}} _ {1} \ leftrightarrows {\ mathcal {D} } _ {2}}$ są dokładnymi funktorami z lewym sprzężeniem z ${\ Displaystyle T_ {*}}$ , a następnie ${\ Displaystyle T ^ {*}$$^ {*} }$ ma rację t T -dokładnie wtedy i tylko wtedy, gdy pozostaje ${\ displaystyle T_ {*}}$ t -dokładnie iw tym przypadku są parą ${\ Displaystyle ({} ^ {p} T ^ {*}, {} ^ {p} T_ {*})}$${\ Displaystyle {\ mathcal {D}} _ {1} ^ {\ heartsuit} \ leftrightarrows {\ mathcal {D}} _ {2} ^ {\ heartsuit}$ } .

Konstrukcje t -struktur

Niech ${\ Displaystyle ({\ mathcal {D}} ^ {\ równoważnik 0}, {\ mathcal {D}} ^ {\ geq 0})} będzie$ t -strukturą na ${\ styl wyświetlania {\ mathcal {D}}}$ . Jeśli n jest liczbą całkowitą, to tłumaczenie przez n t -structure jest ${\ Displaystyle ({\ mathcal {D}} ^ {\ równoważnik n}, {\ mathcal {D}} ^ {\ geq n})}$ . Podwójny t _ re op {\ displaystyle ${\ displaystyle (({\mathcal {D}}^{\geq 0})^{\text{op}},({\mathcal {D}}^{\leq 0})^{\text{op}})}$ } $}}$ zdefiniowany przez op re .

Niech będzie triangulowaną podkategorią triangulowanej kategorii ${$$\ displaystyle {\ mathcal {D}}}$ . Jeśli ${\ Displaystyle ({\ mathcal {D}} ^ {\ równoważnik 0}, {\ mathcal {D}} ^ {\ geq 0})} jest strukturą$ t na re $\ styl wyświetlania {\mathcal {D}}}$ , a następnie

${\ Displaystyle (({\ mathcal {D}} ') ^ {\ równoważnik 0}, ({{ \mathcal {D}}')^{\geq 0})=({\mathcal {D}}'\cap {\mathcal {D}}^{\leq 0},{\mathcal {D}}'\ czapka {\mathcal {D}}^{\geq 0})}$

jest t -strukturą na ${\ Displaystyle {\ mathcal {D}} '}$ wtedy i tylko wtedy, gdy jest stabilna pod funktorem obcinania $Displaystyle { \ mathcal {$$} '}$ . Gdy ten warunek jest spełniony, t -struktura ${\ Displaystyle ({{\ mathcal {D}} ') ^ {\ równoważnik 0}, ({\ mathcal {D} }')^{\geq 0})}$ nazywa się indukowaną strukturą t . $są$$kohomologii$ dla indukowanej t ograniczeniem do tych . $re$ włączenie do jest t -dokładne $_$${\ Displaystyle ({\ mathcal {D}}') ^ {\ heartsuit} = {\ mathcal {D}} ^ {\ heartsuit} \ cap {\ mathcal {D}} '}$ .

Aby skonstruować kategorię krążków przewrotnych, ważna jest możliwość zdefiniowania struktury t na kategorii krążków w przestrzeni, pracując lokalnie w tej przestrzeni. Dokładne warunki niezbędne do tego, aby było to możliwe, można nieco streścić w następującej konfiguracji. Załóżmy, że istnieją trzy triangulowane kategorie i dwa morfizmy

${\ Displaystyle {\ mathcal {D}} _ {F} \ {\ stackrel {i_ {*}} {\ do}} \ {\ mathcal {D}} \ { \stackrel {j^{*}}{\do}}\ {\mathcal {D}}_{U}}$

spełniające następujące właściwości.

• Istnieją dwie sekwencje trójek sprzężonych funktorów ${\ Displaystyle (j_ {!}, ^ {*}, j_ {*})}$ i ${\ Displaystyle (i ^ {*}, i_ {*}, ja ^ {!})}$ .
• Funktory ${\ displaystyle i_ {*}$ } $}$$*} i_ {*} = 0$ i są pełne i wierne i spełniają jot $Displaystyle j ^$ .
• Istnieją unikalne różnice, które tworzą dla każdego K w dokładnych trójkątach ${\ displaystyle {\ mathcal {D}}}$

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} j_ {!} J ^ {*} K & \ do K \ do i_ {*} i ^ {*} K \ do j_ {!} J ^ {*} K [1], \\i_{*}i^{!}K&\do K\do j_{*}j^{*}K\do i_{*}i^{!}K[1].\end{wyrównane}}}$

W tym przypadku, biorąc pod uwagę t -struktury ${\ Displaystyle ({\ mathcal {D}} _ {U} ^ {\ równoważnik 0}, {\ mathcal {D}} _ {U} ^ {\ geq 0})}$ i ${\ Displaystyle ({\ mathcal {D}} _ {F} ^ {\ równoważnik 0}, {\ mathcal {D}} _ {F } ^ {\ geq 0}}}$ na re $\ Displaystyle {\ mathcal {D}} _ {U}}$ i ${\ Displaystyle {\ mathcal {D}} _ {F}}$ odpowiednio, istnieje t -struktura zdefiniowana przez ${\ displaystyle {\ mathcal {D}}}$

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} {\ mathcal {D}} ^ {\ równoważnik 0} & = \ {K \ w {\ mathcal {D}} \ dwukropek j ^ {*} K \ w {\ mathcal { D}}_ {U}^{\równik 0},\ i^{*}K\in {\mathcal {D}}_{F}^{\równik 0}\},\\{\mathcal {D }}^{\geq 0}&=\{K\in {\mathcal {D}}\dwukropek j^{*}K\in {\mathcal {D}}_{U}^{\geq 0}, \ i^{!}K\in {\mathcal {D}}_{F}^{\geq 0}\}.\end{wyrównane}}}$

ta t -struktura jest sklejeniem t - struktur na U i F . Zamierzone przypadki użycia to sytuacje, w których re ${D}} _ {U}}$$\ displaystyle {\ mathcal$ re $\ displaystyle {\ mathcal {D}} _{F}}$ są ograniczone poniżej pochodnych kategorii krążków w przestrzeni X , otwartym podzbiorze U i zamkniętym dopełnieniu F z U . Funktory i $i$ zwykłymi $. Działa$$pierścieni$ w szczególności, gdy omawiane krążki są pozostawionymi modułami nad snopem na X i gdy krążki są krążkami ℓ-adic.

$}$ t powstaje w wyniku następującego faktu: w triangulowanej kategorii z dowolnymi sumami bezpośrednimi i zbiorem zwartych obiektów w , ${\ displaystyle S_ {0}$ podkategorie

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} {\ mathcal {D}} ^ {\ geq 1} & = \ {X \ w {\ mathcal {D}} \ okrężnica \ operatorname {Hom} (S_ {0} [- n],X)=0,n\geq 0\},\\{\mathcal {D}}^{\leq 0}&=\{Y\in {\mathcal {D}}\colon \operatorname {Hom } (Y,{\mathcal {D}}^{\geq 1})=0\},\end{wyrównane}}}$

można pokazać, że jest strukturą t. Mówi się, że wynikowa t jest generowana przez ${\ displaystyle S_ {0}}$ .

Biorąc pod uwagę abelową podkategorię triangulowanej kategorii , możliwe jest skonstruowanie podkategorii z $}}}$$mathcal$${D}}} do {$$\ displaystyle {\ mathcal {D}}$ i strukturę t w tej podkategorii, której sercem jest do {\ displaystyle {\ mathcal { $}}}$ .

Na stabilnych ∞-kategoriach

Elementarna teoria t -struktur przenosi się na przypadek ∞-kategorii z kilkoma zmianami. Niech $.$ stabilną kategorią ∞ t \ displaystyle -struktura na jest zdefiniowana jako t -struktura w swojej kategorii homotopii (co jest $\ mathcal {D}}}$$\ operatorname {$ kategoria trójkątna). t _ -struktura na ∞-kategorii może być notowana homologicznie lub kohomologicznie, tak jak w przypadku kategorii triangulowanej.

Załóżmy, że $re {$ kategorią ∞ z kategorią homotopii i że $jest$$displaystyle \ operatorname {h} {\ mathcal {D}}$ t na _ ${\ Displaystyle \ operatorname {h} {\ mathcal {D}}}$ . Następnie dla każdej liczby całkowitej n definiujemy ${\ Displaystyle {\ mathcal {D}} _ {\ geq n}}$ i ${\ Displaystyle {\ mathcal {D}} _ {\ równoważnik n}}$ być pełnymi podkategoriami ${\ displaystyle { \ mathcal {D}}}$ rozpięte przez obiekty w ${\ Displaystyle \ operatorname {h} {\ mathcal {D}} _ {\ geq n}}$ i ${\ displaystyle \ operatorname {h } {\ mathcal {D}} _ {\ równoważnik n}}$ odpowiednio. Definiować

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ jota _ {\ geq n} i \ okrężnica {\ mathcal {D}} _ {\ geq n}\to {\mathcal {D}},\\\iota _{\równoważnik n}&\colon {\mathcal {D}}_{\równik n}\to {\mathcal {D}}\koniec{ wyrównany}}}$

być funktorami inkluzji. Podobnie jak w przypadku kategorii triangulowanej, dopuszczają one odpowiednio prawe i lewe sprzężenie, funktory obcięcia

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ tau _ {\ geq n} i \ okrężnica {\ mathcal {D}} \ do {\ mathcal {D}}_{\geq n},\\\tau _{\leq n}&\colon {\mathcal {D}}\to {\mathcal {D}}_{\leq n}\end{ wyrównany}}}$

Te funktory spełniają te same powtarzające się tożsamości obcięte, jak w przypadku kategorii triangulowanej.

Serce struktury t na jest zdefiniowane jako podkategoria ∞ ${$$}={\mathcal {D}}_{\geq 0}\cap {\mathcal {D}}_{\leq 0}}$ ≥ ${\ displaystyle {\ mathcal {D}} ^$ . Kategoria $\ Displaystyle \ operatorname {h} {\ mathcal {D}} ^$ nerwowi jego kategorii homotopii $godz re$ . Funktor kohomologii ${\ Displaystyle \ pi _ {n}}$ jest zdefiniowany jako ${\ Displaystyle \ tau _ {\ geq 0} \ circ \ tau _ {\ równoważnik 0} \ circ [-n]}$ lub równoważnie ${\ Displaystyle \ tau _ {\ równoważnik 0} \ circ \ tau _ {\ geq 0} \ circ [-n]}$ .

Istnienie $\ tau _ {\ równoważnik n}}$$,$ że ​​jest z funktorem lokalizacji. $.$ rzeczywistości istnieje bijekcja między t -strukturami na a pewnymi rodzajami funktorów lokalizacji zwanych t -lokalizacjami Są to funktory lokalizacji L , których obraz esencjalny jest domknięty w rozciągnięciu, co oznacza, że ​​jeśli ${\ Displaystyle X \ do Y \ do Z}$ jest sekwencją włókien z X i Z w podstawowym obrazie L , wtedy Y jest również w podstawowym obrazie L . Mając taki funktor lokalizacji L , odpowiednia struktura t jest zdefiniowana przez

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} {\ mathcal {D}} _ {\ geq 0} & = \ {A \ dwukropek LA \ simeq 0 \}, \\ {\ mathcal {D}} _ {\ równoważnik - 1}&=\{A\dwukropek LA\simeq A\}.\end{wyrównane}}}$

t -lokalizacji można również scharakteryzować za pomocą morfizmów f , dla których Lf jest równoważnością. Zbiór morfizmów S w kategorii ∞ jest quasi-nasycony , jeśli zawiera wszystkie równoważności, jeśli dowolny 2-simplex w z dwoma ${D}}}$$mathcal$ z jego niezdegenerowanych krawędzi w S ma swoją trzecią niezdegenerowaną krawędź w S , i jeśli jest stabilna pod wypychaniami. Jeżeli jest funktorem lokalizacji, to zbiór $.$ wszystkich morfizmów f , dla których Lf jest równoważnością, jest quasi-nasycony Wtedy L jest $funktorem$ t i tylko wtedy, gdy jest kwazinasyconym morfizmów zawierającym

Kategoria pochodna kategorii abelowej ma kilka podkategorii odpowiadających różnym warunkom ograniczoności. Struktura t na stabilnej ∞-kategorii może być użyta do skonstruowania podobnych podkategorii. Konkretnie,

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} {\ mathcal {D}} _ {+} & = \ bigcup _ {n \ w \ mathbf {Z}} {\ mathcal {C}} _ ​​{\ równoważnik n}, \ \{\mathcal {D}}_{-}&=\bigcup _{n\in \mathbf {Z}}}{\mathcal {C}}_{\geq n},\\{\mathcal {D}} _{b}&={\mathcal {D}}_{+}\cap {\mathcal {D}}_{-}.\end{wyrównane}}}$

Są to stabilne $.$ Mówi się, że $} = {\ mathcal {D} } _ {+}}$ + { \ displaystyle { $\$ , prawo ograniczone , jeśli ${\ Displaystyle {\ mathcal {D}} = {\ mathcal {D}} _ {-}}$ i ograniczone , jeśli ${\ Displaystyle {\ mathcal {D}} = {\ mathcal {D}} _ {b}}$ .

Możliwe jest również utworzenie lewego lub prawego dopełnienia w odniesieniu do struktury t . Jest to analogiczne do formalnie przylegających granic skierowanych lub skierowanych współgranicy. Lewe dopełnienie jest granicą homotopii diagramu ${\ displaystyle {\ hat {\ mathcal {D}}}}$ re ${\ displaystyle {\ mathcal {D}}}$

${\ Displaystyle \ cdots \ do {\ mathcal {D}} _ {\ równoważnik 2} \ {\ stackrel {\ tau _ {\ równoważnik 1}} {\ do}} \ {\ mathcal {D}} _ {\ równoważnik 1}\ {\stackrel {\tau _{\równik 0}}{\do}}\ {\mathcal {D}}_{\równik 0}\ {\stackrel {\tau _{\równik -1} }{\do }}\ \cdots .}$

Właściwe zakończenie definiowane jest dwojako. Uzupełnienia lewe i prawe same są stabilnymi ∞-kategoriami, które dziedziczą kanoniczną t . Istnieje mapa kanoniczna od $z jej uzupełnień$ do jednego z jej uzupełnień, a ta mapa jest t -dokładna. Mówimy, że jest pozostawione kompletne lub prawe kompletne, $jeśli$ mapa kanoniczna odpowiednio do jego lewego lub prawego zakończenia jest równoważna

Pojęcia pokrewne

Jeśli wymaganie ${\ Displaystyle D ^ {\ równoważnik 0} \ podzbiór D ^ {\ równoważnik 1}}$ , ${\ Displaystyle D ^ {\ geq 1} \ podzbiór D ^ {\ geq 0};}$ zostaje zastąpiony przeciwną inkluzją

${\ Displaystyle D ^ {\ równoważnik 0} \ supset D ^ {\ równoważnik 1}}$ , ${\ Displaystyle D ^ {\ geq 1} \ supset D ^ {\ geq 0},}$

a pozostałe dwa aksjomaty pozostały niezmienione, wynikowe pojęcie nazywa się strukturą co-t lub strukturą wagową .