Standardowe przypuszczenia dotyczące cykli algebraicznych

W matematyce standardowe przypuszczenia dotyczące cykli algebraicznych to kilka przypuszczeń opisujących związek między cyklami algebraicznymi a teoriami kohomologii Weila . Jednym z pierwotnych zastosowań tych przypuszczeń, przewidzianym przez Aleksandra Grothendiecka , było udowodnienie, że jego konstrukcja czystych motywów dała kategorię abelową , która jest półprosta . Co więcej, jak zauważył, standardowe przypuszczenia implikują również najtrudniejszą część przypuszczeń Weila , a mianowicie hipoteza „hipotezy Riemanna”, która pozostała otwarta pod koniec lat sześćdziesiątych i została później udowodniona przez Pierre'a Deligne'a ; szczegółowe informacje na temat związku między przypuszczeniami Weila i standardowymi można znaleźć w Kleiman (1968) . Standardowe przypuszczenia pozostają problemami otwartymi, więc ich zastosowanie daje jedynie warunkowe dowody wyników. W wielu przypadkach, w tym w przypadku hipotezy Weila, znaleziono inne metody, które bezwarunkowo dowodzą takich wyników.

Klasyczne sformułowania przypuszczeń standardowych obejmują ustaloną teorię kohomologii Weila $H$ . Wszystkie przypuszczenia dotyczą „algebraicznych” klas kohomologii, co oznacza morfizm kohomologii gładkiej rozmaitości rzutowej

H. * (X) \to H. * (X)

indukowane przez cykl algebraiczny z wymiernymi współczynnikami na iloczynie $X \times X$ za pośrednictwem mapy klas cykli , która jest częścią struktury teorii kohomologii Weila.

Hipoteza A jest równoważna Hipotezie B (zob. Grothendieck (1969) , s. 196) i dlatego nie jest wymieniona.

Przypuszczenie standardowe typu Lefschetza (przypuszczenie B)

Jednym z aksjomatów teorii Weila jest tzw. twarde twierdzenie (lub aksjomat) Lefschetza :

Rozpocznij od ustalonej gładkiej sekcji hiperpłaszczyzny

W = H \cap X

,

gdzie $X$ jest daną gładką rozmaitością rzutową w otaczającej przestrzeni rzutowej $P N$ i $H$ jest hiperpłaszczyzną. Wtedy dla $i \leq n = dim(X)$ , operator Lefschetza

L : Hi ja (X) \to Hi ja +2 (X)

,

która jest zdefiniowana przez przecięcie klas kohomologii z $W$ , daje izomorfizm

L n - ja : H. ja (X) \to H. 2 n - ja (X)

.

Teraz, dla $i \leq n$ zdefiniujmy:

Λ = (L n - ja +2) -1 \circ L \circ (L n - ja) : H ja (X) \to H. ja -2 (X)

Λ = (L n - ja) \circ L \circ (L n - ja +2) -1 : H. 2 n - ja +2 (X) \to H 2 n - ja (X)

Przypuszczenie mówi, że operator Lefschetza ( $Λ$ ) jest indukowany przez cykl algebraiczny.

Przypuszczenie standardowe typu Künnetha (przypuszczenie C)

Przypuszcza się, że projektory

H. * (X) ↠ H. ja (X) ↣ H. * (X)

są algebraiczne, tj. indukowane przez cykl $π i \subset X \times X$ o wymiernych współczynnikach. Oznacza to, że motyw dowolnej gładkiej odmiany projekcyjnej (a bardziej ogólnie, każdy czysty motyw ) rozkłada się jako

{\ Displaystyle h (X) = \ bigoplus _ {i = 0} ^ {2dim (X)} h ^ {i} (X).}

Motywy i $_$ $.$ _ Przypuszczenie zatem natychmiast odnosi się do krzywych. Zostało to udowodnione dla powierzchni przez Murre'a (1990) . Katz i Messing (1974) wykorzystali hipotezy Weila , aby pokazać hipotezę dotyczącą rozmaitości algebraicznych zdefiniowanych w ciałach skończonych, w dowolnym wymiarze.

Šermenev (1974) udowodnił rozkład Künnetha dla odmian abelowych A . Deninger i Murre (1991) udoskonalili ten wynik, wykazując funkcjonalną dekompozycję Künnetha motywu Chow A w taki sposób , że mnożenie n na rozmaitości abelowej działa $-$ na tej sumie ${\ Displaystyle h ^ {i} (A)}$ . de Cataldo i Migliorini (2002) udowodnił rozkład Künnetha dla schematu punktów Hilberta na gładkiej powierzchni.

Hipoteza D (równoważność liczbowa a równoważność homologiczna)

równoważność liczbowa i homologiczna są zgodne. (Oznacza to w szczególności, że ta ostatnia nie zależy od wyboru teorii kohomologii Weila). To przypuszczenie implikuje hipotezę Lefschetza. Jeśli zachodzi standardowa hipoteza Hodge'a, to hipoteza Lefschetza i hipoteza D są równoważne.

To przypuszczenie zostało pokazane przez Liebermana dla odmian o wymiarze co najwyżej 4 i dla odmian abelowych .

Standardowa hipoteza Hodge'a

Standardowa hipoteza Hodge'a jest wzorowana na twierdzeniu o indeksie Hodge'a . Stwierdza określoność (dodatnią lub ujemną, w zależności od wymiaru) parowania iloczynu kubków w prymitywnych klasach kohomologii algebraicznej. Jeśli zachodzi, to hipoteza Lefschetza implikuje hipotezę D. W charakterystycznym zera obowiązuje hipoteza standardowa Hodge'a, będąca konsekwencją teorii Hodge'a . W dodatniej charakterystyce standardowa hipoteza Hodge'a jest znana dla powierzchni ( Grothendieck (1958) ) i dla odmian abelowych o wymiarze 4 ( Ancona (2020) ).

Standardowej hipotezy Hodge'a nie należy mylić z hipotezą Hodge'a , która stwierdza, że dla gładkich rozmaitości rzutowych nad $C$ każda wymierna $(p, p)$ -klasa jest algebraiczna. Hipoteza Hodge'a implikuje hipotezy Lefschetza i Künnetha oraz hipotezę D dla rozmaitości na polach charakterystycznego zera. Hipoteza Tate implikuje Lefschetza, Künnetha i hipotezę D dla kohomologii ℓ-adycznej we wszystkich dziedzinach.

Trwałość hipotez standardowych

Dla dwóch odmian algebraicznych X i Y Arapura ( 2006 ) wprowadził warunek, że Y jest motywowane przez X. Precyzyjnym warunkiem jest, aby motyw Y był (w kategorii motywów André) wyrażalny wychodząc od motywu X za pomocą sum, sum i iloczynów. Na przykład Y jest motywowany, jeśli istnieje suriekcyjny morfizm ${\ displaystyle X ^ {n} \ do Y}$ . Jeśli Y nie znajduje się w tej kategorii, nie ma motywacji w tym kontekście. Dla gładkich projekcyjnych zespolonych rozmaitości algebraicznych X i Y , takich że Y jest motywowane przez X , standardowe przypuszczenia D (równoważność homologiczna równa się numerycznej), B (Lefschetz), hipoteza Hodge'a , a także uogólniona hipoteza Hodge'a są spełnione dla Y , jeśli są spełnione dla wszystkie potęgi X. Fakt ten można zastosować, aby pokazać na przykład hipotezę Lefschetza dla schematu punktów Hilberta na powierzchnia algebraiczna .

Stosunek do innych przypuszczeń

Beilinson (2012) wykazał, że (domniemane) istnienie tak zwanej motywicznej struktury t na triangulowanej kategorii motywów implikuje standardowe przypuszczenia Lefschetza i Künnetha B i C.

Ancona, Giuseppe (2020), „Standardowe przypuszczenia dotyczące poczwórnych abelowych”, Invent. Matematyka , Arxiv : 1806.03216 , doi : 10.1007/s00222-020-00990-7 , S2CID 119579196

Arapura, Donu (2006), „Motywacja na cykle Hodge”, Advances in Mathematics , 207 (2): 762–781, Arxiv : Math/ Math/ 0501348 , doi : 10.1016/j.aim.2006.01.005 , MR 2271985 , S2CID 13897239

Beilinson, A. (2012), „Uwagi na temat standardowych przypuszczeń Grothendiecka”, Regulatory , Contemp. Matematyka, tom. 571, Am. Matematyka Soc., Providence, RI, s. 25–32, arXiv : 1006.1116 , doi : 10.1090/conm/571/11319 , ISBN 9780821853221 , MR 2953406 , S2CID 119687821

de Cataldo, Mark Andrea A .; Migliorini, Luca (2002), „Grupy Chow i motyw schematu punktów Hilberta na powierzchni”, Journal of Algebra , 251 (2): 824–848, arXiv : math/0005249 , doi : 10.1006/jabr.2001.9105 , MR 1919155 , S2CID 16431761

Deninger, Christopher; Murre, Jacob (1991), „Dekompozycja motywów schematów abelowych i transformata Fouriera”, J. Reine Angew. Matematyka , 422 : 201–219, MR 1133323

Grothendieck, A. (1969), „Standardowe przypuszczenia dotyczące cykli algebraicznych”, Geometria algebraiczna (Internat. Colloq., Tata Inst. Fund. Res., Bombaj, 1968) (PDF) , Oxford University Press, s. 193–199, MR 0268189 .

Grothendieck, A. (1958), "Sur une note de Mattuck-Tate", J. Reine Angew. Matematyka , 1958 (200): 208–215, doi : 10.1515/crll.1958.200.208 , MR 0136607 , S2CID 115548848

Katz, Mikołaj M .; Messing, William (1974), „Niektóre konsekwencje hipotezy Riemanna dla rozmaitości nad polami skończonymi”, Inventiones Mathematicae , 23 : 73–77, Bibcode : 1974InMat..23...73K , doi : 10.1007/BF01405203 , MR 0332791 , S2CID 121989640
Kleiman, Steven L. (1968), „Cykle algebraiczne i przypuszczenia Weila”, Dix exposés sur la cohomologie des schémas , Amsterdam: North-Holland, s. 359–386, MR 0292838 .

Murre, JP (1990), „Z motywu powierzchni algebraicznej”, J. Reine Angew. Matematyka , 1990 (409): 190–204, doi : 10.1515/crll.1990.409.190 , Mr 1061525 , S2CID 117483201

Kleiman, Steven L. (1994), „Standardowe hipotety”, Motives (Seattle, WA, 1991) , postępowanie Sympozjów z czystej matematyki, tom. 55, Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne, s. 3–20, MR 1265519 .

Šermenev, AM (1974), „Motyw odmiany abelowej”, Funckcional. Analny. I Priložen , 8 (1): 55–61, MR 0335523

Linki zewnętrzne

Postęp w sprawie standardowych przypuszczeń dotyczących cykli algebraicznych
Analogues Kähleriens de surees conjectures de Weil. J.-P Serre (extrait d'une lettre a A. Weil, 9 listopada 1959) skan