Motyw (geometria algebraiczna)

W geometrii algebraicznej motywy (lub czasami motywy , zgodnie z francuskim użyciem) to teoria zaproponowana przez Alexandra Grothendiecka w latach 60. XX wieku w celu ujednolicenia szerokiego wachlarza podobnie zachowujących się teorii kohomologii , takich jak kohomologia pojedyncza , kohomologia de Rham , kohomologia etale i kohomologia krystaliczna . Z filozoficznego punktu widzenia „motyw” jest „esencją kohomologii” odmiany .

W sformułowaniu Grothendiecka dla gładkich odmian rzutowych motywem jest potrójna $gładką$ X $Displaystyle p:X\vdash X} jest$ rzutową korespondencją idempotentną , a m liczbą całkowitą , jednak taka trójka nie zawiera prawie żadnych informacji poza kontekstem kategorii czystych motywów Grothendiecka, gdzie a ${\ Displaystyle (X, p, m)}$ $nm$ ( $(Y, q, n)}$ Displaystyle jest dana przez zgodność stopnia n . Podejście bardziej skoncentrowane na obiektach stosuje Pierre Deligne w Le Groupe Fondamental de la Droite Projective Moins Trois Points . W artykule tym motywem jest „system realizacji” – czyli krotka

{\ Displaystyle \ lewo (M_ {B}, M _ {\ operatorname {DR}}, M _ {\ mathbb {A} ^ {f}}, M _ {\ operatorname {cris}, p}, \ operatorname {comp} _ {\mathrm {DR} ,B},\operatorname {comp} _{\mathbb {A} ^{f},B},\operatorname {comp} _{\operatorname {cris} p,\mathrm {DR}} ,W,F_{\infty},F,\phi,\phi _{p}\right)}

składający się z modułów

{\ Displaystyle M_ {B}, M _ {\ operatorname {DR}}, M _ {\ mathbb {A} ^ {f}}, M _ {\ operatorname { cris} , p}}

nad pierścieniami

{\ Displaystyle \ mathbb {Q}, \ mathbb {Q}, \ mathbb {A} ^ {f}, \ mathbb {Q} _ {p},}

odpowiednio różne izomorfizmy porównania

{\ Displaystyle \ operatorname {comp} _ {\ operatorname {DR}, B} \ operatorname {comp} _ {\ mathbb {A} ^{f},B},\operatorname {comp} _{\operatorname {cris} p,\mathrm {DR} }}

między oczywistymi podstawowymi zmianami tych modułów, filtracje ${\ Displaystyle W, F}$ , za ${\ Displaystyle \ operatorname {Gal} ({\ overline {\ mathbb {Q}}} , \ mathbb {Q} }}$ -action ${\ Displaystyle \ phi}$ na ${\ Displaystyle M _ {\ mathbb {A} ^ {f}},}$ i automorfizm „Frobeniusa” ${\ Displaystyle \phi _{p}$ M ${\ displaystyle M _ {\ operatorname {cris}, p}}$ . Dane te są wzorowane na kohomologiach gładkiej rzutowej $oraz$ strukturach i zgodnościach, które dopuszczają, i dają wyobrażenie o tym, jakiego rodzaju informacje są zawarte w motywie.

Wstęp

Teorię motywów pierwotnie przypuszczano jako próbę ujednolicenia szybko mnożącego się szeregu teorii kohomologii, w tym kohomologii Bettiego , kohomologii de Rhama , kohomologii l -adycznej i kohomologii krystalicznej . Ogólna nadzieja polega na tym, że równania takie jak

[linia rzutu] = [linia] + [punkt]
[płaszczyzna rzutu] = [płaszczyzna] + [linia] + [punkt]

można postawić na coraz solidniejszych podstawach matematycznych o głębokim znaczeniu. Oczywiście powyższe równania są już znane pod wieloma względami, na przykład w sensie CW-kompleksu , gdzie „+” odpowiada przyczepianiu się komórek, oraz w sensie różnych teorii kohomologii, gdzie „+” odpowiada suma bezpośrednia.

Z innego punktu widzenia motywy kontynuują sekwencję uogólnień, od funkcji wymiernych na rozmaitościach, przez dzielniki na rozmaitościach, aż po grupy Chow rozmaitości. Uogólnienie odbywa się w więcej niż jednym kierunku, ponieważ motywy można rozpatrywać w odniesieniu do większej liczby rodzajów równoważności niż równoważności racjonalnej. Dopuszczalne równoważności są określone przez definicję adekwatnej relacji równoważności .

Definicja czystych motywów

Kategoria czystych motywów przebiega często w trzech krokach . Poniżej opisujemy przypadek motywów Chow ${\ Displaystyle \ operatorname {Chow} (k)}$ , gdzie k jest dowolnym polem.

Krok pierwszy: kategoria korespondencji (stopień 0), Corr( k )

Obiekty ${\ Displaystyle \ operatorname {Corr} (k)}$ są po prostu gładkimi odmianami rzutowymi na k . Morfizmy są odpowiednikami . Uogólniają morfizmy odmian $wymiarowymi$ $X \razy Y}$ można powiązać z ich wykresami w $stałymi$ cyklami Chow na .

Przydatne będzie opisanie odpowiedników dowolnego stopnia, chociaż morfizmy w ${\ displaystyle \ operatorname {Corr} (k)}$ są odpowiednikami stopnia 0. Szczegółowo niech X i Y będą gładkimi odmianami rzutowymi i rozważmy rozkład X na połączone komponenty:

{\ Displaystyle X = \ coprod _ {i} X_ {i}, \ qquad d_ {i}: = \ dim X_ {i}.}

Jeśli ${\ displaystyle r \ in \ mathbb {Z}}$ , to odpowiedniki stopnia r od X do Y są

{\ Displaystyle \ operatorname {Corr} ^ {r} (k) (X, Y): = \ bigoplus _{i}A^{d_{i}+r}(X_{i}\razy Y),}

gdzie $_$ cykle _ _ Korespondencje są często oznaczane za pomocą notacji „⊢”, np. ${\ Displaystyle \ alpha: X \ vdash Y}$ . α ${\ Displaystyle \ alfa \ w \ nazwa operatora {Corr} ^ {r} (X, Y)$ i ${\ Displaystyle \ beta \ in \ operatorname {Corr} ^ {s} (Y, Z)}$ ich skład jest określony przez

\ Displaystyle \ beta \ circ \ alfa: = \ pi _{XZ*}\left(\pi _{XY}^{*}(\alpha )\cdot \pi _{YZ}^{*}(\beta)\right)\in \operatorname {Corr} ^ {r+s}(X,Z),}

gdzie kropka oznacza produkt w pierścieniu Chow (tj. przecięcie).

Wracając do konstruowania kategorii ${\ Displaystyle \ operatorname {Corr} (k)}$ zauważ, że złożenie odpowiedników stopnia 0 to stopień 0. Stąd definiujemy morfizmy ${\ Displaystyle \ nazwa_operatora {Corr} (k)}$ jako odpowiedniki stopnia 0.

Następujące skojarzenie jest funktorem (tutaj oznacza wykres ${\ Displaystyle \ Gamma _ {f} \ subseteq X \ razy Y$ ${\ Displaystyle f: X \ do Y}$ } :

{\ Displaystyle F: {\ rozpocząć {przypadki} \ operatorname {SmProj} (k) \ longrightarrow \ operatorname {Corr} (k) \\X\longmapsto X\\f\longmapsto \Gamma _{f}\end{cases}}}

Podobnie jak ${\ Displaystyle \ operatorname {SmProj} (k)}$ kategoria ${\ Displaystyle \ operatorname {Corr} (k)}$ ma bezpośrednie sumy ( $X \oplus Y : = X ∐ Y$ ) i produkty tensorowe ( $X \otimes Y := X \times Y$ ). Jest to kategoria preaddytywna . Suma morfizmów jest określona przez

{\ Displaystyle \ alfa + \ beta: = (\ alfa, \ beta) \ w A ^ {*} (X \ razy X) \ oplus A ^ {*} (Y \ razy Y) \ hookrightarrow A ^ {*} \left(\left(X\coprod Y\right)\times \left(X\coprod Y\right)\right).}

Drugi krok: kategoria czysto efektywnych motywów Chow, Chow ^eff ( k )

Przejście do motywów odbywa się poprzez przyjęcie pseudoabelowej koperty Corr $\ Displaystyle \ operatorname {Corr} (k)}$ :

{\ Displaystyle \ operatorname {Chow} ^ {\ operatorname {eff}} (k): = Split (\ operatorname {Corr} (k ))}

.

Innymi słowy, efektywne motywy Chow to pary gładkich rozmaitości rzutowych X i odpowiedników idempotentnych α: X ⊢ X , a morfizmy mają określony typ korespondencji:

{\ Displaystyle \ nazwa operatora {Ob} \ lewo (\ nazwa operatora {Chow} ^ {\ nazwa operatora {eff}} (k) \ prawej): = \ {(X, \ alfa) \ mid (\ alfa: X \ vdash X )\in \operatorname {Corr} (k){\mbox{ takie, że }}\alpha \circ \alpha =\alpha \}.} Mor

{\ Displaystyle \ nazwa operatora {Mor} ((X, \ alfa), (Y, \ beta)): = \ {f: X \ vdash Y | f \ circ \ alfa = f = \ beta \ circ f \}. }

Złożenie jest zdefiniowanym powyżej złożeniem odpowiedników, a morfizm tożsamościowy ( X , α ) jest zdefiniowany jako α : X ⊢ X .

Stowarzyszenie,

{\ Displaystyle h: {\ rozpocząć {przypadki} \ nazwa operatora {SmProj} (k) & \ longrightarrow \ nazwa operatora {Chow ^ {eff}} (k) \\ X & \ longmapsto [X]: = (X, \ Delta _ {X})\\f&\longmapsto [f]:=\Gamma _{f}\subset X\times Y\end{cases}}}

,

gdzie Δ _X := [ id _X ] oznacza przekątną X × X , jest funktorem. Motyw [ X ] jest często nazywany motywem związanym z odmianą X.

Zgodnie z zamierzeniami, Chow ^eff ( k ) jest kategorią pseudoabelową . Bezpośrednią sumę skutecznych motywów podaje wzór

{\ Displaystyle ([X], \ alfa) \ oplus ([Y], \ beta) :=\left(\left[X\coprod Y\right],\alpha +\beta \right),}

Iloczyn tensorowy efektywnych motywów jest określony przez

{\ Displaystyle ([X], \ alfa) \ czasami ([Y] ,\beta):=(X\razy Y,\pi _{X}^{*}\alpha \cdot \pi _{Y}^{*}\beta ),}

Gdzie

{\ Displaystyle \ pi _ {X}: (X \ razy Y) \ razy (X \ razy Y) \ do X \ razy X, \ quad {\ tekst {i}} \ quad \ pi _ {Y}: ( X\razy Y)\razy (X\razy Y)\do Y\razy Y.}

Można również zdefiniować iloczyn tensorowy morfizmów. Niech f ₁ : ( X ₁ , α ₁ ) → ( Y ₁ , β ₁ ) i f ₂ : ( X ₂ , α ₂ ) → ( Y ₂ , β ₂ ) będą morfizmami motywów. Niech więc γ ₁ ∈ A ^* ( X ₁ × Y ₁ ) i γ ₂ ∈ ZA ^* ( X ₂ × Y ₂ ) być przedstawicielami f ₁ i fa ₂ . Następnie

{\ Displaystyle f_ {1} \ czasami f_ {2}: (X_ {1}, \ alfa _ {1}) \ czasami (X_ {2}, \ alfa _ {2}) \ vdash (Y_ {1} },\beta _{1})\otimes (Y_{2},\beta _{2}),\qquad f_{1}\otimes f_{2}:=\pi _{1}^{*}\ gamma _{1}\cdot \pi _{2}^{*}\gamma _{2}}

,

gdzie π _i : X ₁ × X ₂ × Y ₁ × Y ₂ → X _i × Y _i są rzutami.

Krok trzeci: kategoria czystych motywów Chow, Chow( k )

Aby przejść do motywów, dołączymy do Chow ^eff ( k ) formalną odwrotność (w odniesieniu do iloczynu tensorowego) motywu zwanego motywem Lefschetza. Efekt jest taki, że motywy stają się potrójne zamiast par. Motyw Lefschetza L jest

{\ Displaystyle L: = (\ mathbb {P} ^ {1}, \ lambda), \ qquad \lambda :=pt\times \mathbb {P} ^{1}\in A^{1}(\mathbb {P} ^{1}\times \mathbb {P} ^{1})}

.

Jeśli zdefiniujemy motyw 1 , zwany trywialnym motywem Tate'a , przez 1 := h(Spec( k )), to eleganckie równanie

{\ Displaystyle [\ mathbb {P} ^ {1}] = \ mathbf {1} \ oplus L}

trzyma, ponieważ

{\ Displaystyle \ mathbf {1} \ cong \ lewo (\ mathbb {P} ^ {1}, \ mathbb {P} ^ {1} \ razy \ operatorname {pt} \ prawej).}

Odwrotność tensorowa motywu Lefschetza jest znana jako motyw Tate'a , T := L ^-1 . Następnie definiujemy kategorię czystych motywów Chow wg

{\ Displaystyle \ operatorname {Chow} (k): = \ operatorname {Chow} ^ {\ operatorname {eff}} (k) [T]}

.

Motyw jest wtedy potrójny

{\ Displaystyle (X \ w \ nazwa operatora {SmProj} (k), p: X \ vdash X, n \ w \ mathbb {Z} )}

takie, że morfizmy są podane przez korespondencje

{\ Displaystyle f: (X, p,m)\to (Y,q,n),\quad f\in \operatorname {Corr} ^{nm}(X,Y){\mbox{ takie, że }}f\circ p=f=q\ zakreśl f,}

a kompozycja morfizmów pochodzi od kompozycji korespondencji.

Zgodnie z zamierzeniami ${\ displaystyle \ operatorname {Chow} (k)}$ jest sztywną kategorią pseudoabelową.

Inne rodzaje motywów

Aby zdefiniować iloczyn przecięcia, cykle muszą być „ruchome”, abyśmy mogli przecinać je w pozycji ogólnej. Wybór odpowiedniej relacji równoważności na cyklach zagwarantuje, że każda para cykli ma parę równoważną w pozycji ogólnej, którą możemy przeciąć. Grupy Chow są definiowane przy użyciu racjonalnej równoważności, ale możliwe są inne równoważności, a każda z nich definiuje inny rodzaj motywu. Przykładami równoważności, od najsilniejszego do najsłabszego, są

Racjonalna równoważność
Równoważność algebraiczna
Równoważność zerowej mocy (czasami nazywana równoważnością Voevodsky'ego)
Równoważność homologiczna (w sensie kohomologii Weila)
Równoważność liczbowa

Literatura czasami nazywa każdy typ czystego motywu motywem Chow, w którym to przypadku motyw odnoszący się do równoważności algebraicznej byłby nazywany motywem Chow równoważnością modulo algebraiczną .

Mieszane motywy

Dla stałego pola bazowego k kategoria motywów mieszanych jest przypuszczalną kategorią tensora abelowego wraz z funktorem kontrawariantnym ${\ Displaystyle MM (k)}$

{\ Displaystyle \ nazwa operatora {Var} (k) \ do MM (k)}

wartościowanie wszystkich odmian (nie tylko gładkich projekcyjnych, jak to miało miejsce w przypadku motywów czystych). Powinno to być takie, że kohomologia motywiczna zdefiniowana przez

{\ Displaystyle \ operatorname {Ext} _ {MM} ^ {*} (1,?)}

pokrywa się z przewidywaną przez algebraiczną teorię K i zawiera kategorię motywów Chow w odpowiednim sensie (i inne właściwości). Istnienie takiej kategorii przypuszczał Alexander Beilinson .

Deigne zaproponował, aby najpierw skonstruować kategorię DM mającą właściwości oczekiwane dla kategorii pochodnej

{\ Displaystyle D ^ {b} (MM (k))}

.

Odzyskanie MM z DM byłoby wtedy dokonane przez (domniemaną) motywiczną t-strukturę .

Obecny stan teorii jest taki, że mamy odpowiednią kategorię DM . Już ta kategoria jest przydatna w aplikacjach. Medal Fieldsa Vladimira Voevodsky'ego – zwycięski dowód hipotezy Milnora wykorzystuje te motywy jako kluczowy składnik.

Istnieją różne definicje ze względu na Hanamurę, Levine'a i Voevodsky'ego. Wiadomo, że w większości przypadków są one równoważne i poniżej podamy definicję Voevodsky'ego. Kategoria zawiera motywy Chow jako pełną podkategorię i daje „właściwą” kohomologię motywiczną. Jednak Voevodsky pokazuje również, że (ze współczynnikami całkowymi) nie dopuszcza motywicznej struktury t.

Geometryczne motywy mieszane

Notacja

0 $Tutaj$ ustalimy pole $charakterystyki$ i niech pierścieniem Ustaw jako kategorię quasi-rzutowych rozmaitości $k$ $oddzielnymi$ . $.$ również odmian

Gładkie odmiany z odpowiednikami

Biorąc $pod$ $uwagę$ płynną rozmaitość $X$ i rozmaitość $Y$ $X i suriekcyjny$ nazwijmy całkowy domknięty podschemat , który jest skończony na na składniku jako pierwszy od $X$ $Y$ Następnie możemy wziąć zbiór pierwszorzędnych odpowiedników od $X$ do $Y$ i skonstruować wolny $A$ -moduł ${\ Displaystyle C_ {A} (X, Y)}$ . Jej elementy nazywane są skończonymi odpowiednikami . Następnie możemy utworzyć kategorię addytywną, $obiektami$ są gładkie odmiany, a morfizmy są określone Jedyną nietrywialną częścią tej „definicji” jest fakt, że musimy opisywać kompozycje. Są one podane przez wzór przeciwsobny z teorii pierścieni Chow.

Przykłady korespondencji

$} }$ z wykresu morfizmu odmian $\ Displaystyle \ Gamma _ {f} \ podzbiór X$ .

Lokalizacja kategorii homotopii

$_$ możemy kategorię _ Tutaj gładkie odmiany zostaną oznaczone. ${\ Displaystyle [X]}$ . Jeśli zlokalizujemy tę kategorię względem najmniejszej grubej podkategorii (czyli zamkniętej pod rozszerzeniami) zawierającej morfizmy

{\ Displaystyle [X \ razy \ mathbb {A} ^ {1}] \ do [X]}

I

{\ Displaystyle [U \ czapka V] {\ xrightarrow {j_ {U} '+ j_ { V}'}}[U]\oplus [V]{\xrightarrow {j_{U}-j_{V}}}[X]}

wówczas możemy utworzyć triangulowaną kategorię efektywnych motywów geometrycznych ${\ Displaystyle {\ mathcal {DM}} _ {\ tekst {gm}} ^ {\ tekst {eff}} (k, A).} Zauważ, że pierwsza klasa$ morfizmów lokalizuje ${\ Displaystyle \ mathbb { A} ^{1}}$ -homotopie rozmaitości, podczas gdy druga kategoria geometrycznych motywów mieszanych nada ciąg Mayera-Vietorisa .

Należy również zauważyć, że ta kategoria ma strukturę tensorową określoną przez iloczyn odmian, więc ${\ Displaystyle [X] \ otimes [Y] = [X \ razy Y]}$ .

Odwrócenie motywu Tate

Korzystając ze struktury triangulowanej, możemy skonstruować trójkąt

{\ Displaystyle \ mathbb {L} \ do [\ mathbb {P} ^ {1}] \ do [\ operatorname {Spec} (k )] {\xrightarrow {[+1]}}}

z mapy kanonicznej ${\ Displaystyle \ mathbb {P} ^ {1} \ do \ operatorname {Spec} (k)}$ . Ustawimy $_$ _ _ _ Biorąc iteracyjny iloczyn tensorowy, możemy skonstruować ${\ Displaystyle A (k)}$ . Jeśli mamy efektowny motyw geometryczny $M$ pozwalamy ${\ Displaystyle M (k)}$ oznaczać ${\ Displaystyle M \ otimes A (k).}$ Co więcej, zachowuje się to funkcjonalnie i tworzy triangulowany funktor. Wreszcie, możemy $)$ kategorię geometrycznych motywów mieszanych $Displaystyle (M, n)$ kategorię par dla $M$ efektywny geometryczny motyw mieszany i $n$ liczba całkowita reprezentująca zwrot przez motyw Tate. Grupy hom są wtedy colimitem

{\ Displaystyle \ operatorname {Hom} _ {\ mathcal {DM}} ((A, n), (B, m)) = \ lim _ {k \ geq -n, -m} \ operatorname {Hom} _ { {\mathcal {DM}}_ {gm}^{\operatorname {eff}}}(A(k+n),B(k+m))}

Przykłady motywów

Motywy Tate'a

Istnieje kilka elementarnych przykładów łatwo dostępnych motywów. $oznaczone$ $n$ motywy , ZA $_ displaystyle A(n)}$ , w zależności od współczynników użytych w konstrukcji kategorii Motywy. Są to podstawowe elementy budulcowe w kategorii motywów, ponieważ stanowią „drugą część” poza odmianami abelowymi.

Motywy krzywych

Motyw krzywej można stosunkowo łatwo zrozumieć: ich pierścień Chow jest sprawiedliwy

{\ Displaystyle \ mathbb {Z} \ oplus {\ tekst {Rysunek}} (C)}

dla dowolnej gładkiej krzywej rzutowej

, stąd jakobiany

się w kategorii motywów.

Wyjaśnienie dla niespecjalistów

Powszechnie stosowaną techniką w matematyce jest badanie obiektów o określonej strukturze poprzez wprowadzenie kategorii, której morfizmy zachowują tę strukturę. Następnie można zapytać, kiedy dwa dane obiekty są izomorficzne i poprosić o „szczególnie ładnego” przedstawiciela w każdej klasie izomorfizmu. Klasyfikacja rozmaitości algebraicznych, czyli zastosowanie tej idei w przypadku rozmaitości algebraicznych , jest bardzo trudne ze względu na wysoce nieliniową budowę obiektów. Zrelaksowana kwestia badania odmian aż do izomorfizmu biracyjnego doprowadziła do dziedziny geometrii biracyjnej . Innym sposobem poradzenia sobie z tym pytaniem jest dołączenie do danej rozmaitości X obiektu o charakterze bardziej liniowym, tj. obiektu podatnego na techniki algebry liniowej , na przykład przestrzeni wektorowej . Ta „linearyzacja” występuje zwykle pod nazwą kohomologii .

Istnieje kilka ważnych teorii kohomologii, które odzwierciedlają różne aspekty strukturalne odmian. (Częściowo hipotetyczna) teoria motywów jest próbą znalezienia uniwersalnego sposobu linearyzacji rozmaitości algebraicznych, tj. motywy mają dostarczać teorii kohomologii, która zawiera w sobie wszystkie te szczególne kohomologie. Na przykład rodzaj gładkiej krzywej rzutowej C , która jest interesującym niezmiennikiem krzywej, jest liczbą całkowitą, którą można odczytać z wymiaru pierwszej grupy kohomologii Bettiego C . Tak więc motyw krzywej powinien zawierać informacje o rodzaju. Oczywiście rodzaj jest raczej zgrubnym niezmiennikiem, więc motywem C jest coś więcej niż tylko ta liczba.

Poszukiwanie uniwersalnej kohomologii

Każda odmiana algebraiczna X ma odpowiedni motyw [ X ], więc najprostszymi przykładami motywów są:

[punkt]
[linia rzutowa] = [punkt] + [linia]
[płaszczyzna rzutu] = [płaszczyzna] + [linia] + [punkt]

Te „równania” mają zastosowanie w wielu sytuacjach, a mianowicie dla kohomologii de Rhama i kohomologii Bettiego , kohomologii l -adycznej , liczby punktów na dowolnym ciele skończonym oraz w notacji multiplikatywnej dla lokalnych funkcji zeta .

Ogólna idea jest taka, że jeden motyw ma taką samą strukturę w każdej rozsądnej teorii kohomologii o dobrych właściwościach formalnych; w szczególności każda kohomologii Weila będzie miała takie właściwości. Istnieją różne teorie kohomologii Weila, mają one zastosowanie w różnych sytuacjach i mają wartości w różnych kategoriach oraz odzwierciedlają różne aspekty strukturalne danej odmiany:

Kohomologia Bettiego jest zdefiniowana dla rozmaitości na (podobszarach) liczb zespolonych , ma tę zaletę, że jest zdefiniowana na liczbach całkowitych i jest niezmiennikiem topologicznym
kohomologia de Rham (dla odmian powyżej ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ma mieszaną strukturę Hodge'a , jest niezmiennikiem różniczkowo-geometrycznym do
l -adyczna kohomologia (na dowolnym polu charakterystyki ≠ l) ma kanoniczne działanie grupowe Galois , tj. ma wartości w reprezentacjach (absolutnej) grupy Galois
kohomologia krystaliczna

$istnienie$ np Mayera , iloczyn X z linią afiniczną ) i inne. Ponadto są one połączone izomorfizmami porównawczymi, na przykład kohomologia Bettiego ${\ Displaystyle H _ {\ tekst {Betti}} ^ {*} (X, \ mathbb {Z} / n)}$ gładkiej rozmaitości X nad ${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$ ze skończoną współczynników jest izomorficzna z l -adyczną kohomologią ze skończonymi współczynnikami.

Teoria motywów jest próbą znalezienia uniwersalnej teorii, która ucieleśnia wszystkie te szczególne kohomologie i ich struktury oraz zapewnia ramy dla „równań”, takich jak

[linia rzutowania] = [linia]+[punkt].

W szczególności obliczenie motywu dowolnej odmiany X bezpośrednio daje wszystkie informacje o kilku teoriach kohomologii Weila H ^*_Betti ( X ), H ^*_DR ( X ) itd.

Począwszy od Grothendiecka, przez wiele lat próbowano precyzyjnie zdefiniować tę teorię.

Kohomologia motywów

kohomologia motywów została wynaleziona przed stworzeniem motywów mieszanych za pomocą algebraicznej K-teorii . Powyższa kategoria zapewnia zgrabny sposób na (ponowne) zdefiniowanie jej poprzez

{\ Displaystyle H ^ {n} (X, m) :=H^{n}(X,\mathbb {Z} (m)):=\operatorname {Hom} _{DM}(X,\mathbb {Z} (m)[n]),}

gdzie n i m są liczbami całkowitymi i jest m -tą potęgą tensorową obiektu Tate $) {\ Displaystyle \ mathbb {Z} (1) ,}$ $\ Displaystyle \ mathbb {Z} ($ , który w ustawieniu Voevodsky'ego jest zespołem $.$ –2, a n] oznacza zwykłe przesunięcie triangulowanej kategorii .

Domysły związane z motywami

Standardowe przypuszczenia zostały najpierw sformułowane w kategoriach wzajemnego oddziaływania cykli algebraicznych i teorii kohomologii Weila. Kategoria czystych motywów dostarcza kategorycznych ram dla tych przypuszczeń.

Standardowe przypuszczenia są powszechnie uważane za bardzo trudne i są otwarte w przypadku ogólnym. Grothendieck wraz z Bombierim pokazał głębię podejścia motywicznego, przedstawiając warunkowy (bardzo krótki i elegancki) dowód hipotez Weila (które zostały udowodnione na różne sposoby przez Deligne'a ), zakładając, że standardowe hipotezy są spełnione.

Na przykład standardowa hipoteza Künnetha , która stwierdza istnienie cykli algebraicznych π ⁱ ⊂ X × X indukujących projektory kanoniczne H ^* ( X ) → H ⁱ ( X ) ↣ H ^* ( X ) (dla dowolnej kohomologii Weila H ) implikuje że każdy czysty motyw M rozkłada się na stopniowane kawałki wagi n : M = ⨁ Gr _n M. _ Wagi terminologiczne pochodzą z podobnego rozkładu, powiedzmy, kohomologii de-Rhama gładkich rozmaitości projekcyjnych, patrz teoria Hodge'a .

Hipoteza D , stwierdzająca zgodność równoważności numerycznej i homologicznej , implikuje równoważność czystych motywów względem równoważności homologicznej i numerycznej. (W szczególności pierwsza kategoria motywów nie zależałaby od wyboru teorii kohomologii Weila). Jannsen (1992) udowodnił następujący bezwarunkowy wynik: kategoria (czystych) motywów nad polem jest abelowa i półprosta wtedy i tylko wtedy, gdy wybraną relacją równoważności jest równoważność liczbowa.

Przypuszczenie Hodge'a można zgrabnie przeformułować przy użyciu motywów: zachodzi, jeśli realizacja Hodge'a odwzorowuje dowolny czysty motyw o racjonalnych współczynnikach (na podpolu ) $jego$ strukturę $.$ H $H: M (k) _ {\ mathbb {Q}} \ do HS _ {\ mathbb {Q}}}$ Displaystyle racjonalne struktury Hodge'a ). Tutaj czysty motyw oznacza czysty motyw w odniesieniu do równoważności homologicznej.

Podobnie $jest$ Tate'a tak ciągłe reprezentacje absolutnej grupy Galois ciała bazowego k ), które przyjmuje wartości w półprostych reprezentacjach. (Ta ostatnia część jest automatyczna w przypadku analogu Hodge).

Formalizm tannakowski i grupa motywiczna Galois

Aby zmotywować (domniemaną) motywiczną grupę Galois, ustal pole k i rozważ funktor

skończone rozłączne rozszerzenia K od k → niepuste skończone zbiory z (ciągłym) przechodnim działaniem absolutnej grupy Galois k

który odwzorowuje K na (skończony) zestaw osadzeń K na algebraiczne zamknięcie k . W teorii Galois ten funktor jest pokazany jako równoważność kategorii. Zauważ, że pola są 0-wymiarowe. Motywy tego rodzaju nazywane są motywami Artina . Przez $-linearyzację powyższych obiektów, innym$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ wyrażenia powyższego jest stwierdzenie, że motywy Artina są równoważne skończonym przestrzeniom wektorowym wraz z działaniem z grupy Galois.

Celem motywicznej grupy Galois jest rozszerzenie powyższej równoważności na odmiany o wyższych wymiarach. W tym celu wykorzystuje się techniczną maszynerię teorii kategorii Tannaki (cofając się do dualizmu Tannaka-Kreina , ale teorii czysto algebraicznej). Jego celem jest rzucenie światła zarówno na hipotezę Hodge'a , jak i hipotezę Tate'a , nierozstrzygnięte kwestie w teorii cykli algebraicznych . Napraw teorię kohomologii Weila H . Daje to funktor z M _num (czyste motywy wykorzystujące równoważność liczbową) do skończonych wymiarów $przestrzeni$ . Można wykazać, że pierwsza kategoria jest kategorią tannakowską. Zakładając równoważność równoważności homologicznej i numerycznej, czyli powyższą standardową hipotezę D , funktor H jest dokładnie wiernym tensorem-funktorem. Stosując formalizm tannakowski, dochodzimy do wniosku, że M _num jest równoważne kategorii reprezentacji grupy algebraicznej G , znanej jako motywiczna grupa Galois.

Motywiczna grupa Galois jest dla teorii motywów tym, czym grupa Mumforda-Tate'a dla teorii Hodge'a . Ponownie, mówiąc z grubsza, hipotezy Hodge'a i Tate'a są rodzajem teorii niezmienniczej (przestrzenie, które z moralnego punktu widzenia są cyklami algebraicznymi, są wybierane przez niezmienniczość w ramach grupy, jeśli ustanowi się prawidłowe definicje). Motywiczna grupa Galois ma otaczającą teorię reprezentacji. (To, czym nie jest, to grupa Galois ; jednak w kategoriach hipotezy Tate i reprezentacji Galois w kohomologii étale , przewiduje obraz grupy Galois, a dokładniej jej algebry Liego ).

Zobacz też

Artykuły ankietowe

Beilinson, Aleksander ; Vologodsky, Vadim (2007), Przewodnik po motywach Voevodsky'ego , s. 4004, arXiv : math/0604004 , Bibcode : 2006math......4004B (wprowadzenie techniczne ze stosunkowo krótkimi dowodami)
Motywy nad polami skończonymi - JS Milne
Mazur, Barry (2004), „Co to jest… motyw?” (PDF) , Zawiadomienia Amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego , 51 (10): 1214–1216, ISSN 0002-9920 , MR 2104916 (tekst z motywami dla manekinów).
Serre, Jean-Pierre (1991), „Motifs” (PDF) , Astérisque (po francusku) (198): 11, 333–349 (1992), ISSN 0303-1179 , MR 1144336 , zarchiwizowane z oryginału (PDF) na 2022-01-10 (wysokopoziomowe wprowadzenie do motywów w języku francuskim).
Tabauda, Goncalo (2011), „Wycieczka z przewodnikiem po ogrodzie motywów nieprzemiennych” , Journal of K-theory , arXiv : 1108,3787

Książki

André, Yves (2004), Une wprowadzenie motywów aux (motywy purs, motywy mixtes, périodes) , Panoramas et Synthèses, tom. 17, Paryż: Société Mathématique de France, ISBN 978-2-85629-164-1 , MR 2115000
Uwe Jannsen ... wyd. (1994), Jannsen, Uwe; Kleiman, Steven; Serre, Jean-Pierre (red.), Motywy , Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, tom. 55, Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-1636-3 , MR 1265518 {{ cytat }} : |author= ma nazwę rodzajową ( pomoc )
- L. Breen: kategorie Tannakian .
- S. Kleiman: Przypuszczenia standardowe .
- A. Scholl: Motywy klasyczne . (szczegółowa ekspozycja motywów Chow)
Huber, Anette; Müller-Stach, Stefan (20.03.2017), Okresy i motywy Nori , Springer, ISBN 978-3-319-50925-9
Mazza, Carlo; Wojewodski, Włodzimierz ; Weibel, Charles (2006), Notatki z wykładów na temat kohomologii motywicznej , Monografie Clay Mathematics , tom. 2, Providence, RI: Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne, ISBN 978-0-8218-3847-1 , MR 2242284
Levine, Marc (1998). Motywy mieszane . Ankiety i monografie matematyczne, 57. Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne. ISBN 978-0-8218-0785-9 .
Friedlander, Eric M.; Grayson, Daniel R. (2005). Podręcznik teorii K . Skoczek. ISBN 978-3-540-23019-9 .

Literatura referencyjna

Jannsen, Uwe (1992), „Motywy, równoważność liczbowa i półprostota” (PDF) , Inventiones Math. , 107 : 447–452, Bibcode : 1992InMat.107..447J , doi : 10.1007/BF01231898 , S2CID 120799359
Kleiman, Steven L. (1972), „Motywy”, w: Oort, F. (red.), Geometria algebraiczna, Oslo 1970 (Proc. Fifth Nordic Summer-School in Math., Oslo, 1970) , Groningen: Wolters-Noordhoff , s. 53–82 (odpowiednie relacje równoważności na cyklach).
Milne, James S. Motywy - Sen Grothendiecka
Wojewodski, Włodzimierz ; Suslin, Andrzej ; Friedlander, Eric M. (2000), Cykle, transfery i teorie homologii motywicznej , Annals of Mathematics Studies, Princeton, New Jersey: Princeton University Press, ISBN 978-0-691-04814-7 (Definicja motywów mieszanych według Voevodsky'ego. Bardzo techniczny).
Huber, Annette (2000). „Realizacja motywów Wojewodzkiego” (PDF) . Dziennik geometrii algebraicznej . 9 : 755–799. S2CID 17160833 . Zarchiwizowane od oryginału (PDF) w dniu 2017-09-26.

Przyszłe kierunki

Linki zewnętrzne

Cytaty związane z Motive (geometria algebraiczna) w Wikicytatach