Wstępny krążek z transferami

W geometrii algebraicznej snop wstępny z transferami jest z grubsza snopem wstępnym , który podobnie jak teoria kohomologii zawiera mapy „przesunięć” typu pushforward. Dokładniej, jest to z definicji kontrawariantny funktor addytywny z kategorii skończonych odpowiedników (zdefiniowanych poniżej) z kategorią grup abelowych (w teorii kategorii „snop wstępny” to inne określenie funktora kontrawariantnego).

Kiedy snop F z transferami jest ograniczony do podkategorii gładko oddzielonych schematów, można go postrzegać jako snop wstępny w kategorii z dodatkowymi mapami. ${\ displaystyle F (Y) \ do F (X )}$ , nie pochodzące z morfizmów schematów , ale także ze skończonych odpowiedników od X do Y

snop F z transferami jest $X$ niezmiennikiem -homotopii , jeśli $simeq F (X\times \mathbb {A} ^{1})}$ dla każdego X .

Na przykład grupy Chow, a także grupy kohomologii motywicznej tworzą koła wstępne z transferami.

Skończona korespondencja

Zobacz także: Korespondencja (geometria algebraiczna)

Niech $\ displaystyle X, Y}$$jest$ będą schematami algebraicznymi (tj. oddzielnymi i skończonego typu na polu) i załóżmy, że gładki. Wtedy $połączonego$ korespondencja $_$ podrozmaitością ${\ displaystyle W \ do Y}$ składnika takiego W _ jest skończony i surjektywny. Niech ${\ displaystyle \ operatorname {Cor} (X, Y)}$ będzie wolną grupą abelową generowaną przez elementarne odpowiedniki od X do Y ; elementy ${\ displaystyle \ operatorname {Cor} (X, Y)}$ nazywane są wówczas skończonymi odpowiednikami .

Kategoria skończonych odpowiedników, oznaczona jako $,$ to kategoria, w której obiekty są gładkimi schematami algebraicznymi gdzie zbiór Hom jest podany jako: ${\ displaystyle \ operatorname {Hom} (X, Y) = \ operatorname {Cor} (X, Y)}$ skład definiuje się jak w teorii przecięć : przy danych elementarnych odpowiednikach od $displaystyle X}$$displaystyle$ do $displaystyle Y}$${\ displaystyle Z$ i od $Y}$ do $Z$ }

${\ Displaystyle \ beta \ circ \ alfa = p_ {{13}, *} (p_ {12} ^ {*} \ alfa \ cdot p_{23}^{*}\beta )}$

gdzie oznacza iloczyn przecięcia $i$ p $\ Displaystyle p_ {12}: X \ razy Y \ razy Z \ do X \ razy Y}$ . Należy zauważyć, że kategoria jest kategorią addytywną $każdy$ Hom $operatorname {Cor} (X, Y)}$ jest grupą abelową.

$\ displaystyle {\textbf {Sm}} \ do Cor}$ zawiera kategorię $gładkich$ schematów algebraicznych jako podkategorię w następującym sensie: istnieje wierny funktor , który wysyła obiekt do siebie i morfizm na wykres ${\ displaystyle f: X \$$}$ Y

$W$ przypadku iloczynu schematów przyjętych jako operacja monoidowa, kategoria symetryczną kategorią

Snopy z transferami

Podstawowym pojęciem leżącym u podstaw wszystkich różnych teorii są krążki wstępne z transferami . Są to kontrawariantne funktory addytywne

${\ Displaystyle F: {\ tekst {Cor}} _ {k} \ do {\ tekst {Ab}}}$

$a powiązana$$kategoria$ oznaczana lub po prostu, pole Każda z kategorii w tym rozdziale jest kategoriami abelowymi, stąd nadają się do wykonywania algebry homologicznej.

Snopy Etale z transferami

Definiuje się je jako krążki wstępne z przeniesieniami w taki sposób, że ograniczeniem do dowolnego schematu $snop$ etale. $etale$ to, że jeśli $jest$ i jest snopem wstępnym z transferami, jest to Etale z transferami, sekwencja

${\ Displaystyle 0 \ do F (X) {\ xrightarrow {\ tekst {diag}}} F (U) { \xrightarrow {(+,-)}}F(U\times _{X}U)}$

jest dokładna i istnieje izomorfizm

${\ Displaystyle F (X \ coprod Y) = F (X) \ oplus F (Y)}$

dla dowolnych ustalonych, gładkich schematów. ${\ displaystyle X, Y$ }

Nisnevich splata transfery

Podobna jest definicja snopka Nisnevicha z transferami , gdzie topologia Etale jest zamieniona z topologią Nisnevicha.

Przykłady

Jednostki

Snop jednostek $snop$ z transferami $N$ korespondencja indukuje skończoną mapę stopnia ${\ displaystyle N}$ nad $X}$ indukowany morfizm

${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} ^ {*} (Y) \ do {\ mathcal {O}} ^ {*} (W ){\xrightarrow {N}} {\mathcal {O}}^{*}(X)}$

pokazując, że jest to wstępny snop z transferami.

Funktory reprezentowalne

Jednym z podstawowych przykładów krążków wstępnych z przeniesieniami są reprezentowalne funktory. Biorąc pod uwagę płynny schemat, istnieje wstępny snop z transferami. ${Z} _ {tr} (X)}$$\$ U ${\ Displaystyle U \ mapsto {\ tekst {Hom}} _ {Cor} (U, X)}$ .

Funktor reprezentowalny powiązany z punktem

Powiązany snop wstępny z transferami $displaystyle$ jako $Z}}$ .

Wskazane schematy

Inna klasa elementarnych przykładów pochodzi ze schematów spiczastych ${\ Displaystyle (X, x)}$ z ${\ Displaystyle x: {\ tekst {Spec}} (k) \ do X }$ . Ten morfizm indukuje morfizm, którego kokernel jest oznaczony $\ displaystyle x_ {*}: \ mathbb {Z} \ do \ mathbb {Z} _$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {tr} (X, x)}$ . Następuje rozszczepienie wynikające z morfizmu struktury. ${\ Displaystyle X \ do {\ tekst {Spec}} (k)}$ , więc istnieje mapa indukowana. ${\ displaystyle \mathbb {Z} _{tr}(X)\to \mathbb {Z} }$ , stąd ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {tr} (X) \ cong \ mathbb {Z} \ oplus \ mathbb {Z} _ {tr} (X, x)}$ .

Funktor reprezentowalny powiązany z A ¹ -0

Istnieje reprezentowalny funktor powiązany ze spiczastym schematem. ${\ Displaystyle \ mathbb {G} _ {m} = (\ mathbb {A} ^ {1} - \ {0 \ },1)}$ oznaczony ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {tr} (\ mathbb {G} _ {m})}$ .

Rozbić produkt spiczastych schematów

${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {tr} ({X_ {1}, x_ {1}) \ klin \ cdots \ klin (X_ {n}, x_ {n})} }$$)$ rodzinę spiczastych schematów, snop z , oznaczany także ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {tr} (X_ {1} \ klin \ cdots \ klin X_ {n})}$ z ich produktu Smash . Jest to zdefiniowane jako kokernel

${\ Displaystyle {\ tekst {coker}} \ lewo (\bigoplus _ {i} \ mathbb {Z} _ {tr} (X_ {1} \ razy \ cdots \ razy {\ kapelusz {X}} _ {i} \times \cdots \times X_{n}){\xrightarrow {id\times \cdots \times x_{i}\times \cdots \times id}}\mathbb {Z} _{tr}(X_{1}\ razy \cdots \times X_{n})\right)}$

Na przykład, biorąc pod uwagę dwa spiczaste schematy , istnieje powiązany snop z transferami $,$$Displaystyle (X, x)$ równy kokernelowi

${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {tr} (X) \ oplus \ mathbb { Z} _{tr}(Y){\xrightarrow {\begin{bmatrix}1\times y&x\times 1\end{bmatrix}}}\mathbb {Z} _{tr}(X\times Y)}$

$_$ iloczynu _ mody relacji na zewnątrz ${\ Displaystyle X \ razy \ {y \} \ Puchar \ {x \} \ razy Y}$ .

Klin pojedynczej przestrzeni

Oznaczono skończony klin spiczastej przestrzeni ${\ Displaystyle (X, x)}$${\ displaystyle \ mathbb {Z} _{tr}(X^{\wedge q})=\mathbb {Z} _{tr}(X\wedge \cdots \wedge X)}$ . Jednym z przykładów tej konstrukcji jest $\ displaystyle \ mathbb {Z} (q)}$ jest używany w definicji kompleksów motywycznych $) {$ stosowane w kohomologii Motivica .

Niezmienne krążki homotopijne

Snop wstępny z transferami $jest niezmiennikiem$${\ Displaystyle p ^ {*}: F (X) \ do F (X \ razy \ mathbb {A} ^ {1})}$ , jeśli morfizm projekcji indukuje izomorfizm p. ${\ Displaystyle p: X \ razy \ mathbb {A} ^ {1} \ do X$ dla każdego gładkiego schematu ${\ displaystyle X}$ . $niezmienny$ konstrukcja łącząca snop homotopii dla każdego snopa wstępnego z transferami przy użyciu analogii uproszczonej homologii.

Uproszczona homologia

Jest pewien schemat

${\ Displaystyle \ Delta ^ {n} = {\ tekst {Spec}} \ lewo ({\ Frac {k [ x_{0},\ldots,x_{n}]}{\sum _{0\leq i\leq n}x_{i}-1}}\right)}$

dając schemat kosmimplecjonalny , gdzie morfizmy $^{n+1}}$$do$${\ displaystyle \ częściowe _ {j}: \ Delta ^ {n} \$ są podane przez $x_{j}=0$ . To jest,

${\ Displaystyle {\ Frac {k [x_ {0}, \ ldots, x_ {n + 1}]} {\ suma _ {0 \ równoważnik i \ równoważnik n} x_ {i} -1)}} \ do {\frac {k[x_{0},\ldots,x_{n+1}]}}} }$

daje $_$ morfizm Następnie do wstępnego snopa z transferami $.$$powiązany$ wstępnych snopów z

${\ Displaystyle C_ {i} F: U \ mapsto F (U \ razy \ Delta ^ {i})}$

i ma indukowane morfizmy łańcucha

$\sum _{i=0}^{j}(-1)^{i}\partial _{i}^{*}:C_{j}F\to C_{j-1}F$

dając kompleks krążków wstępnych z transferami. Niezmienniki $_$ _ W szczególności jest uniwersalnym, niezmiennym snopem wstępnym homotopii z transferami powiązanymi z $)$${\ displaystyle H_ {0} (C_ {*}$ }

Związek z grupą Chow o cyklach zerowych

Oznacz ${\ Displaystyle H_ {0} ^ {śpiewać} (X / k): = H_ { 0}(C_{*}\mathbb {Z} _{tr}(X))({\text{Spec}}(k))}$ . Istnieje indukowana $Displaystyle H_ {0} ^ {śpiewać} (X / k) \ do {\ tekst {CH}} _ {0} (X)}, co jest$$projekcyjnym$ izomorfizmem .

Homologia zerowa Z _tr (X)

Zerowa homologia ${\ Displaystyle H_ {0} (C_ {*} \ mathbb {Z} _ {tr} (Y)) (X)}$ to ${\ Displaystyle {\ tekst {Hom}} _ {Cor} (X, Y) / \ mathbb {A} ^ {1} {\ tekst {hotopia}}} gdzie$ homotopia równoważność jest podana w następujący sposób. Dwie skończone odpowiedniki ${\ Displaystyle f, g: X \ do Y}$ są równoważne -homotopii, jeśli istnieje morfizm. ${\ Displaystyle \ mathbb {A} ^ {1}}$${\ displaystyle h:X\times \mathbb {A} ^{1}\do X}$ tak, że ${\ displaystyle h | _ {X \ razy 0} = f}$ i ${\ displaystyle h | _ {X \ razy 1} = g}$ .

Kompleksy motywacyjne

W przypadku kategorii motywów mieszanych Voevodsky'ego motywem powiązanym z $}$$X$$mathbb {Z} _ {tr} (X)}$ klasa do ${\ displaystyle C_ {$ w ${\ displaystyle DM_ {Nis} ^ {eff, -} (k, R)}$ . Jednym z elementarnych kompleksów motywacyjnych są ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} (q)}$ dla ${\ Displaystyle q \ geq 1}$ , zdefiniowane przez klasę

${\ Displaystyle \ mathbb {Z} (q) = C_ {*} \ mathbb {Z} _ {tr} (\ mathbb {G } _{m}^{\klin q})[-q]}$

Dla grupy abelowej $Displaystyle$ takiej jak $\ mathbb {Z} / \ ell}$ , istnieje kompleks motywyczny. ${\ displaystyle A ( q)=\mathbb {Z} (q)\otimes A}$ . Dają one motywyczne grupy kohomologii zdefiniowane przez

${\ Displaystyle H ^ {p, q} (X, \ mathbb {Z}) = \ mathbb {H} _ { Zar}^{p}(X,\mathbb {Z} (q))}$

ponieważ kompleksy $się$ ograniczają do $.$ Nazywa się je $-tymi$$kohomologii$ motywycznej wadze . Można je również rozszerzyć na dowolną grupę abelową, za $displaystyle A}$ \

${\ Displaystyle H ^ {p, q} (X, A) = \ mathbb {H} _ {Zar} ^ { p}(X,A(q))}$

podając $kohomologię$$współczynnikami$ ze wagi

Specjalne przypadki

Istnieje kilka szczególnych przypadków, które można szczegółowo przeanalizować. Mianowicie, kiedy ${\ displaystyle q = 0,1$ } Wyniki te można znaleźć w czwartym wykładzie książki Clay Math.

Z(0)

W tym przypadku ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} (0) \ cong \ mathbb {Z} _ {tr} (\ mathbb {G} _ {m} ^ { \ klin 0})}$ , który jest quasi-izomorficzny z $\ mathbb {Z }}$ na górze strony 17), stąd grupy kohomologii są izomorficzne z Z ${\ displaystyle$

${\ Displaystyle H ^ {p, 0} (X, \ mathbb {Z}) = {\ początek {przypadki} \ mathbb {Z} ( X)&{\text{if }}p=0\\0&{\text{w przeciwnym razie}}\end{cases}}}$

gdzie $\ Displaystyle \ mathbb {Z} (X) = {\ tekst {Hom}} _ {Cor} (X, {\ tekst {Spec} }(k))}$ . Od otwartej pokrywy

Z(1)

Ten przypadek wymaga więcej pracy, ale efektem końcowym jest quasi-izomorfizm między a ${\ displaystyle \ mathbb {Z} (1)} {*}[-1]}$$\ displaystyle {\ mathcal {O}}$ ^ Z . Daje to dwie motywyczne grupy kohomologii

${\ Displaystyle {\ początek {wyrównane} H ^ {1,1} (X, \ mathbb {Z}) i = H_ {Zar} ^ {0} (X, {\ mathcal {O}} ^ {*}) ={\mathcal {O}}^{*}(X)\\H^{2,1}(X,\mathbb {Z} )&=H_{Zar}^{1}(X,{\mathcal { O}}^{*})={\text{Pic}}(X)\end{aligned}}}$

gdzie środkowe grupy kohomologii to kohomologia Zariskiego.

Przypadek ogólny: Z(n)

Ogólnie rzecz biorąc, na idealnym polu $Z$ się ładny opis krążków wstępnych z przeniesieniem $displaystyle \ mathbb {Z} (n)}$${ \ displaystyle \ mathbb {Z} _ {tr} (\ mathbb {P} ^ {n})}$ . Istnieje quasi-ismorfizm

${\ displaystyle C_ {*} (\ mathbb {Z} _ {tr}(\mathbb {P} ^{n})/\mathbb {Z} _{tr}(\mathbb {P} ^{n-1}))\simeq C_{*}\mathbb {Z} _ {tr}(\mathbb {G} _{m}^{\wedge q})[n]}$

stąd

${\ Displaystyle \ mathbb {Z} (n) \ simeq C_ {*} (\ mathbb {Z} _{tr}(\mathbb {P} ^{n})/\mathbb {Z} _{tr}(\mathbb {P} ^{n-1}))[-2n]}$

który można znaleźć za pomocą technik podziału wraz z serią quasi-izomorfizmów. Szczegóły znajdują się w wykładzie 15 książki Clay Math.

Zobacz też

• Cykl względny
• Kohomologia motywacyjna
• Motywy mieszane (matematyka)
• Topologia Étale
• Topologia Nisnevicha

•    Mazza, Carlo; Wojewódzki, Włodzimierz ; Weibel, Charles (2006), Notatki z wykładów na temat kohomologii motywycznej , Clay Mathematics Monographs , tom. 2, Providence, RI: Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne , ISBN 978-0-8218-3847-1 , MR 2242284

Linki zewnętrzne

• https://ncatlab.org/nlab/show/sheaf+with+transfer