Kategoria sztywna

W teorii kategorii , gałęzi matematyki , kategoria sztywna jest kategorią monooidalną , w której każdy obiekt jest sztywny, to znaczy ma podwójne X ^* ( wewnętrzne Hom [ X , 1 ]) i morfizm 1 → X ⊗ X ^* spełniający naturalne warunki. Kategoria ta nazywana jest prawą sztywną lub lewą sztywną w zależności od tego, czy zawiera prawe podwójne, czy lewe podwójne. Zostały one po raz pierwszy zdefiniowane (po Alexandre Grothendieck ) Neantro Saavedry Rivano w jego rozprawie o kategoriach tannakowskich .

Definicja

Istnieją co najmniej dwie równoważne definicje sztywności.

Obiekt X kategorii monooidalnej nazywany jest sztywnym, jeśli istnieje obiekt Y i morfizmy i ${\ displaystyle \ eta _ {X}: \ mathbf {1} \ do X \ otimes Y$ } ${\ Displaystyle \ epsilon _ {X}: Y \ otimes X \ do \ mathbf {1} }$ tak, że obie kompozycje

${\ Displaystyle X ~ {\ xrightarrow {\ eta _ {X} \ otimes \ operatorname {id} _ {X}}} ~ (X \ otimes Y) \ otimes X ~ {\ xrightarrow {\ alfa _ {X, Y ,X}^{-1}}}~X\otimes (Y\otimes X)~{\xrightarrow {\mathrm {id} _{X}\otimes \epsilon _{X}}}~X}$

${\ Displaystyle Y ~ {\ xrightarrow {\ operatorname {id } _{Y}\otimes \eta _{X}}}~Y\otimes (X\otimes Y)~{\xrightarrow {~\alpha _{X,Y,X}~}}~(Y\otimes X )\otimes Y~{\xrightarrow {\epsilon _{X}\otimes \mathrm {id} _{Y}}}~Y}$

są tożsamości. W podobny sposób definiuje się prawy sztywny obiekt.

Odwrotnością jest obiekt X ⁻¹ taki, że zarówno X ⊗ X ^−1, jak i X ⁻¹ ⊗ X są izomorficzne z 1 , obiektem tożsamości kategorii monooidalnej. Jeśli obiekt X ma lewą (odpowiednio prawą) odwrotność X ⁻¹ w odniesieniu do iloczynu tensora, to pozostaje on (odpowiednio prawy) sztywny i X ^* = X ⁻¹ .

Operacja brania liczb podwójnych daje funktor kontrawariantny na sztywnej kategorii.

Używa

Jednym z ważnych zastosowań sztywności jest definicja śladu endomorfizmu sztywnego obiektu. Ślad można zdefiniować dla dowolnej kategorii kluczowej , tj. kategorii sztywnej takiej, że ( ) ^** , funktor uwzględnienia liczby podwójnej dwukrotnie powtórzonej, jest izomorficzny z funktorem tożsamościowym. Następnie dla dowolnego sztywnego obiektu X i dowolnego innego obiektu Y możemy zdefiniować izomorfizm

${\ Displaystyle \ phi _ {X, Y}: \ lewo \ {{\ początek {tablica} {rcl} \ operatorname {Hom} (\ mathbf {1}, X ^ {*} \ otimes Y) i \ longrightarrow i \mathrm {Hom} (X,Y)\\f&\longmapsto &(\epsilon _{X}\otimes id_{Y})\circ (id_{X}\otimes f)\end{array}}\right. }$

i jego wzajemny izomorfizm

${\ Displaystyle \ psi _ {X, Y}: \ lewo \ {{\ początek {tablica} {rcl} \ operatorname {Hom} (X, Y) i \ longrightarrow i \ operatorname {Hom} (\ mathbf {1} ,X^{*}\otimes Y)\\g&\longmapsto &(id_{X^{*}}\otimes g)\circ \eta _{X}\end{array}}\right.}$ .

Następnie dla dowolnego endomorfizmu ślad $displaystyle f: X \ do X}$ jest zdefiniowany jako skład: fa : X

${\ Displaystyle \ mathop {\ operatorname {tr}} f: \ mathbf {1 } {\xrightarrow {\psi _{X,X}(f)}}X^{*}\otimes X{\xrightarrow {\gamma _{X,X}}}X\otimes X^{*}{\ xrightarrow {\epsilon _{X}}}\mathbf {1},}$

Możemy kontynuować dalej i zdefiniować wymiar sztywnego obiektu jako:

${\ Displaystyle \ dim X: = \ mathop {\ operatorname {tr} } \ \ operatorname {id} _ {X}}$ .

Sztywność jest również ważna ze względu na jej związek z wewnętrznymi Homami. Jeśli X jest obiektem sztywnym lewostronnym, to każdy wewnętrzny Hom postaci [ X , Z ] istnieje i jest izomorficzny z Z ⊗ Y . W szczególności w sztywnej kategorii istnieją wszystkie wewnętrzne Homy.

Terminologia alternatywna

Kategoria monooidalna, w której każdy obiekt ma lewą (odpowiednio prawą) dualność, jest czasami nazywana lewą ( odpowiednio prawą) kategorią autonomiczną . Kategoria monooidalna, w której każdy obiekt ma zarówno lewy, jak i prawy dual, jest czasami nazywana kategorią autonomiczną . Kategoria autonomiczna, która jest również symetryczna , nazywana jest zwartą kategorią zamkniętą .

Dyskusja

Kategoria monooidalna to kategoria z iloczynem tensorowym, dokładnie taki rodzaj kategorii, dla którego sztywność ma sens.

Kategorię czystych motywów tworzy się poprzez usztywnienie kategorii skutecznych czystych motywów.

Notatki

^ Rivano, N. Saavedra (1972). Kategorie Tannakiennes . Notatki z wykładów z matematyki (w języku francuskim). Tom. 265. Springer. doi : 10.1007/BFb0059108 . ISBN 978-3-540-37477-0 .

Dawidow, AA (1998). „Kategorie monooidalne i funktory”. Journal of Mathematical Sciences . 88 (4): 458–472. doi : 10.1007/BF02365309 .
Kategoria sztywna monooidalna w n Lab

[1] Rivano, N. Saavedra (1972). Kategorie Tannakiennes . Notatki z wykładów z matematyki (w języku francuskim). Tom. 265. Springer. doi : 10.1007/BFb0059108 . ISBN 978-3-540-37477-0 .