Kompaktowa kategoria zamknięta

W teorii kategorii , gałęzi matematyki , zwarte kategorie zamknięte stanowią ogólny kontekst traktowania obiektów dualnych . Idea obiektu dualnego uogólnia bardziej znaną koncepcję dualizmu skończonej wymiarowej przestrzeni wektorowej . Tak więc motywującym przykładem zwartej kategorii zamkniętej jest FdVect , kategoria mająca skończenie wymiarowe przestrzenie wektorowe jako obiekty i mapy liniowe jako morfizmy , z iloczynem tensorowym jako strukturą monoidalną . Innym przykładem jest Rel , kategoria mająca zbiory jako obiekty i relacje jako morfizmy o kartezjańskiej strukturze monoidalnej .

Symetryczna zwarta kategoria zamknięta

Symetryczna kategoria monoidalna jest zwarto zamknięta $,$ jeśli każdy obiekt A $Displaystyle A \ in \$ podwójny przedmiot . Jeśli tak jest, podwójny obiekt jest unikalny aż do izomorfizmu kanonicznego i jest oznaczony ${\ displaystyle A ^ {*}}$ .

Bardziej szczegółowo, obiekt nazywany jest dualnym od $,$$\ Displaystyle A}$${ \ Displaystyle \ eta _ {A}: I \ do A ^ {*} \ otimes A}$ jest wyposażony w dwa morfizmy zwane jednostką i counit ${\ Displaystyle \ varepsilon _ {A}: A \ otimes A ^ {* }\to I}$ , spełniając równania

$\ Displaystyle \ lambda _ {A} \ circ (\ varepsilon _ {A}\otimes A)\circ \alpha _{A,A^{*},A}^{-1}\circ (A\otimes \eta _{A})\circ \rho _{A}^ {-1}=\mathrm {identyfikator} _{A}}$

I

$\ Displaystyle \ rho _ {A ^ { *}}\circ (A^{*}\otimes \varepsilon _{A})\circ \alpha _{A^{*},A,A^{*}}\circ (\eta _{A}\ czasami A^{*})\circ \lambda _{A^{*}}^{-1}=\mathrm {id} _{A^{*}},}$

gdzie $, \ rho}$$.$ to wprowadzenie jednostki odpowiednio po lewej i prawej stronie, a jest asocjatorem

Dla jasności przepisujemy powyższe kompozycje schematycznie. Aby ${\ Displaystyle (\ mathbf {C}, \ czasami, ja)} było zwarto$ , potrzebujemy, aby następujące złożone były równe ${\ Displaystyle \ operatorname {id} _ {A}}$ :

${\ Displaystyle A {\ xrightarrow {\ cong}} A\otimes I{\xrightarrow {A\otimes \eta }}A\otimes (A^{*}\otimes A){\xrightarrow {\cong }}(A\otimes A^{*})\otimes A{ \xrightarrow {\epsilon \otimes A}}I\otimes A{\xrightarrow {\cong}}A}$

i ${\ Displaystyle \ operatorname {id} _ {A ^ {*}}}$ :

${\ Displaystyle$

Definicja

Bardziej ogólnie, załóżmy $że$ jest kategorią monoidalną jak w przypadku . Powyższe pojęcie posiadania podwójnego $\ displaystyle A ^$${\ Displaystyle A ^ {r}}$ obiektu zostaje zastąpione pojęciem posiadania zarówno lewego, jak i prawego sprzężenia i ZA $l}}$ { , z odpowiednią lewą jednostką ${\ Displaystyle \ eta _ {A} ^ {l}: ja \ do A \ otimes A ^ {l} }$ , prawa jednostka ${\ Displaystyle \ eta _ {A} ^ {r}: ja \ do A ^ {r} \ czasami A}$ , lewa jednostka ${\ Displaystyle \ varepsilon _ {A} ^ {l}: A ^ {l} \ czasami A \ do ja}$ i prawy counit ${\ Displaystyle \ varepsilon _ { A}^{r}:A\czasami A^{r}\to I}$ . Muszą one spełniać cztery warunki szarpania , z których każdy jest tożsamością:

${\ Displaystyle A \ do A \ otimes ja {\ xrightarrow {\ eta ^ {r}}}A\otimes (A^{r}\otimes A)\to (A\otimes A^{r})\otimes A{\xrightarrow {\epsilon ^{r}}}I\otimes A\ do A}$

${\ Displaystyle A \ do I \ otimes A {\ xrightarrow { \eta ^{l}}}(A\otimes A^{l})\otimes A\to A\otimes (A^{l}\otimes A){\xrightarrow {\epsilon ^{l}}}A\ czasami I \ do A}$

I

${\ Displaystyle A ^ {r} \ do ja \otimes A^{r}{\xrightarrow {\eta ^{r}}}(A^{r}\otimes A)\otimes A^{r}\to A^{r}\otimes (A\otimes A ^ {r}) {\ xrightarrow {\ epsilon ^ {r}}} A ^ {r} \ czasami I \ do A ^ {r}}$

${\ Displaystyle A ^ {l} \ do A ^ {l} \ czasami ja {\ xrightarrow {\ eta ^ {l} }}A^{l}\otimes (A\otimes A^{l})\to (A^{l}\otimes A)\otimes A^{l}{\xrightarrow {\epsilon ^{l}}} ja\czasami A^{l}\do A^{l}}$

Oznacza to, że w ogólnym przypadku zwarta kategoria domknięta jest zarówno lewostronna, jak i prawostronnie sztywna i bicykliczna .

Niesymetryczne zwarte kategorie zamknięte znajdują zastosowanie w językoznawstwie , w dziedzinie gramatyk kategorialnych , a zwłaszcza w gramatykach pregrupowych , gdzie odrębne lewe i prawe spójniki są wymagane do uchwycenia szyku wyrazów w zdaniach. W tym kontekście zwarte, zamknięte kategorie monoidalne nazywane są ( Lambek ) pregrupami .

Nieruchomości

Zwarte kategorie zamknięte są szczególnym przypadkiem monoidalnych kategorii zamkniętych , które z kolei są szczególnym przypadkiem kategorii zamkniętych .

Zwarte kategorie zamknięte są dokładnie symetrycznymi kategoriami autonomicznymi . Są również *-autonomiczne .

Każda zwarta, zamknięta kategoria C dopuszcza ślad . Mianowicie, dla każdego morfizmu można zdefiniować $\ Displaystyle f: A \ otimes C \ do B \ otimes C$

${\ Displaystyle \ operatorname {Tr_ {A, B} ^ {C}} (f) = \ rho _ {B} \ circ (id_ {B} \ otimes \varepsilon _{C})\circ \alpha _{B,C,C^{*}}\circ (f\otimes C^{*})\circ \alpha _{A,C,C^{* }}^{-1}\circ (id_{A}\otimes \eta _{C^{*}})\circ \rho _{A}^{-1}:A\to B}$

co można wykazać jako właściwy ślad. Pomocne jest narysowanie tego schematycznie: ${\ Displaystyle A {\ xrightarrow {\ cong}} A \ otimes ja {\ xrightarrow {A \ otimes \ eta _ {C ^ {*}}}} A \ otimes (C \ otimes C ^ {*}) {\ xrightarrow {\cong }}(A\otimes C)\otimes C^{*}{\xrightarrow {\;\;f\otimes C^{*}\;\;}}(B\otimes C)\otimes C ^{*}{\xrightarrow {\cong}}B\otimes (C\otimes C^{*}){\xrightarrow {B\otimes \varepsilon _{C}}}B\otimes I{\xrightarrow {\cong }}B.}$

Przykłady

Kanonicznym przykładem jest kategoria FdVect ze skończonymi wymiarami przestrzeni wektorowych jako obiektami i mapami liniowymi jako morfizmami. Tutaj $\ displaystyle A }$ zwykłą podwójną przestrzenią wektorową $∗$ .

Kategoria skończenie wymiarowych reprezentacji dowolnej grupy jest również zwarto zamknięta.

Kategoria Vect , ze wszystkimi przestrzeniami wektorowymi jako obiektami i mapami liniowymi jako morfizmami, nie jest zwarto zamknięta; jest symetrycznie zamknięty monooidalnie.

Kategoria simplex

Kategorię simplex można wykorzystać do skonstruowania przykładu niesymetrycznej zwartej kategorii zamkniętej. Kategoria simplex to kategoria niezerowych skończonych liczb porządkowych (postrzeganych jako zbiory całkowicie uporządkowane ); jego morfizmy to mapy zachowujące porządek ( monotoniczne ). Przechodzimy do kategorii monoidalnej, przechodząc do kategorii strzałek , więc obiekty są morfizmami oryginalnej kategorii, a morfizmy są kwadratami dojeżdżającymi . Wtedy iloczyn tensorowy kategorii strzałek jest oryginalnym operatorem kompozycji. Lewe i prawe sprzężenia to operatory min i max; w szczególności dla mapy monotonicznej f jedna ma prawe sprzężenie

${\ Displaystyle f ^ {r} (n) = \ sup \ {m \ in \ mathbb {N} \ mid f (m) \ lek n\}}$

i lewy przylegający

${\ Displaystyle f ^ {l} (n) = \ inf \ {m \ w \ mathbb {N} \ mid n \ równoważnik f ( M)\}}$

Lewe i prawe jednostki i hrabstwa to:

${\ Displaystyle {\ mbox {id}} \ równoważnik f \ circ f ^ {l} \ qquad {\ mbox {(lewa jednostka)}}}$

${\ Displaystyle \, {\ mbox {id}} \ równoważnik f ^ {r} \ circ f \ quad \ \ \ {\ mbox {(prawa jednostka)}}} fa l$

${\ Displaystyle f ^ {l} \ circ f \ równoważnik {\ mbox {id}} \ qquad {\ mbox {(lewa jednostka)}}} fa ∘ fa r ≤ id (prawa$

$circ f ^ {r} \ równoważnik {\ mbox {id}} \ qquad {\ mbox {(prawa jednostka)}}}$

Jeden z warunków szarpania jest wtedy

${\ Displaystyle f = f \ circ {\ mbox {id}} \ równoważnik f \ circ (f ^ {r} \ circ f) = (f \ circ f ^ {r}) \ circ f \ równoważnik {\ mbox { id}}\circ f=f.}$

Pozostali postępują podobnie. Odpowiedniość można wyjaśnić, pisząc strzałkę $}$ i używając $displaystyle \ otimes}$$\$ do składu funkcji $circ$ .

Kategoria kompaktowa sztyletu

Symetryczna monoidalna kategoria sztyletu , która jest zwarta, jest zwartą kategorią sztyletu .

Kategoria sztywna

Kategoria monoidalna, która nie jest symetryczna, ale poza tym jest zgodna z powyższymi aksjomatami dualności, jest znana jako kategoria sztywna . Kategoria monoidalna, w której każdy obiekt ma lewą (odpowiednio prawą) podwójną kategorię, jest również czasami nazywana lewą ( odpowiednio prawą) kategorią autonomiczną . Kategoria monoidalna, w której każdy obiekt ma zarówno lewą, jak i prawą liczbę podwójną, jest czasami nazywana kategorią autonomiczną . Autonomiczna kategoria, która jest również symetryczna , jest wtedy zwartą kategorią zamkniętą.

Kelly, GM ; Laplaza, ML (1980). „Spójność dla zwartych kategorii zamkniętych” . Dziennik algebry czystej i stosowanej . 19 : 193–213. doi : 10.1016/0022-4049(80)90101-2 .