Przypuszczenie Milnora

Aby zapoznać się z hipotezą Milnora dotyczącą rodzaju plasterków węzłów torusa, zobacz hipoteza Milnora (topologia) .

W matematyce hipoteza Milnora była propozycją Johna Milnora ( 1970 ) opisu K-teorii Milnora (mod 2) pola ogólnego F o charakterystyce różnej od 2, za pomocą kohomologii Galois (lub równoważnie étale ) z F ze współczynnikami w Z / 2 Z . Udowodnił to Vladimir Voevodsky ( 1996 , 2003a , 2003b ).

Oświadczenie

Niech F będzie ciałem o charakterystyce różnej od 2. Wtedy mamy do czynienia z izomorfizmem

${\ Displaystyle K_ {n} ^ {M} (F) / 2 \ cong H _ {{\ ostry {e}} t }^{n}(F,\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}$

dla wszystkich n ≥ 0, gdzie KM ^oznacza pierścień Milnora .

O dowodzie

Dowód tego twierdzenia Władimira Wojewodskiego wykorzystuje kilka pomysłów rozwiniętych przez Wojewodzkiego, Aleksandra Merkurjewa , Andrieja Suslina , Markusa Rosta , Fabiena Morela , Erica Friedlandera i innych, w tym nowo powstałą teorię kohomologii motywicznej (rodzaj substytutu kohomologii liczby pojedynczej dla odmian algebraicznych ) i motywicznej algebry Steenroda.

Uogólnienia

Analogia tego wyniku dla liczb pierwszych innych niż 2 była znana jako hipoteza Blocha-Kato . Praca Voevodsky'ego i Markusa Rosta dostarczyła pełnego dowodu tej hipotezy w 2009 roku; wynik jest teraz nazywany twierdzeniem o izomorfizmie reszty normowej .

•    Mazza, Carlo; Wojewodski, Włodzimierz ; Weibel, Charles (2006), Notatki z wykładów na temat kohomologii motywicznej , Monografie Clay Mathematics , tom. 2, Providence, RI: Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne , ISBN 978-0-8218-3847-1 , MR 2242284
•    Milnor, John Willard (1970), „Algebraiczna teoria K i formy kwadratowe”, Inventiones Mathematicae , 9 (4): 318–344, Bibcode : 1970InMat...9..318M , doi : 10.1007/BF01425486 , ISSN 0020- 9910 , MR 0260844
• Voevodsky, Vladimir (1996), Przypuszczenie Milnora , Preprint
•    Voevodsky, Vladimir (2003a), „Operacje o zmniejszonej mocy w kohomologii motywicznej” , Institut des Hautes Études Scientifiques. Publikacje Mathématiques , 98 (98): 1–57, arXiv : math/0107109 , doi : 10.1007/s10240-003-0009-z , ISSN 0073-8301 , MR 2031198
•    Voevodsky, Vladimir (2003b), „Kohomologia motywów ze współczynnikami Z / 2” , Institut des Hautes Études Scientifiques. Publikacje Mathématiques , 98 (98): 59–104, doi : 10.1007/s10240-003-0010-6 , ISSN 0073-8301 , MR 2031199

Dalsza lektura

•    Kahn, Bruno (2005), „La conjecture de Milnor (d'après V. Voevodsky)”, w: Friedlander, Eric M.; Grayson, DR (red.), Handbook of K -theory (w języku francuskim), tom. 2, Springer-Verlag , s. 1105–1149, ISBN 3-540-23019-X , Zbl 1101.19001